Курсовая Статистические методы обработки экспериментальных данных

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.9.2024

Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный университет печати

Факультет полиграфической технологии

Дисциплина: Математика

Курсовая работа по теме:

«Статистические методы обработки

Экспериментальных данных»

Выполнил: студент

Курс 2

Группа ЗТПМ

форма обучения заочная

Номер зачетной книжки Мз 023 н

Вариант № 13

Допущено к защите

Дата защиты

Результат защиты

Подпись преподавателя

Москва – 2010 год

0;3	3;6	6;9	9;12	12;15	15;18	18;21
4	6	9	11	14	18	13

21;24	24;27	27;30	30;33
11	7	4	3

1. Построение интервального и точечного статистических распределений результатов наблюдений. Построение полигона и гистограммы относительных частот.
i – порядковый номер;

I_i – интервал разбиения;

x_i – середина интервала I_i;

n_i – частота (количество результатов наблюдений, принадлежащих данному интервалу I_i);

w_i = - относительная частота (n =- объём выборки);

H_i = - плотность относительной частоты (h – шаг разбиения, т.е. длина интервала I_i).

i	I_i	x_i	n_i	w_i	H_i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	0;3 3;6 6;9 9;12 12;15 15;18 18;21 21;24 24;27 27;30 30;33	1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3	0,04 0,06 0,09 0,11 0,14 0,18 0,13 0,11 0,07 0,04 0,03	0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,04 0,04 0,02 0,01 0,01

          Объём выборки:

              n ==100,

               w_i = n_i/100;

     контроль:     =1

         Длина интервала

          разбиения (шаг):

                   h = 3 ,

                H_i =


                                å
      :   100      1,00





           Статистическим распределением называется соответствие между результатами наблюдений (измерений) и их частотами и относительными частотами. Интервальное распределение – это наборы троек (I_i; n_i ; w_i) для всех номеров i, а точечное – наборы троек (x_i ; n_i_;w_i). Таким образом, в таблице имеются оба – и интервальное, и точечное - статистическое распределения.

          Далее, строим полигон и гистограмму   относительных частот.

Полигон.

Гистограмма.

Полигон относительных частот – ломаная, отрезки которой последовательно (в порядке возрастания x_i) соединяют точки (x_i ; w_i). Гистограмма относительных частот – фигура, которая строится следующим образом: на каждом интервале I_i, как на основании, строится прямоугольник, площадь которого равна относительной частоте w_i; отсюда следует, что высота этого прямоугольника равна H_i = ^wi/h – плотности относительной частоты. Полигон и гистограмма являются формами графического изображения статистического распределения.

2. Нахождение точечных оценок математического ожидания и

     дисперсии.
В качестве точечных оценок числовых характеристик изучаемой случайной величины используются:

-         для математического ожидания

                           =   (выборочная средняя),

-         для дисперсии

                           s² = (исправленная выборочная),

где n – объём выборки, n_i – частота значения x_i.



    Таким образом, в статистических расчетах используют приближенные равенства

                               MX »    ,           DX » s² .
          Нахождение точечных оценок математического ожидания и дисперсии по данным варианта осуществим с помощью расчетной таблицы.

i	x_i	n_i	x_i n_i	(x_i - )² n_i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11	1,5 4.5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	4 6 9 11 14 18 13 11 7 4 3	6 27 67,5 115,5 189 297 253,5 247,5 178,5 114 94,5	829,44 779,76 635,04 320,76 80,64 6,48 168,48 479,16 645,12 635,04 744,12

         = =

х_in_i/100 = 1590/100= 15,9



          s² = =

            = 5324,04/99=53,78









å
:    100       1590                   5324,04




3.Выдвижение гипотезы о распределении случайной величины.
         При выдвижении гипотезы (предположения) о законе распределения изучаемой случайной величины мы опираемся лишь на внешний вид статистического распределения. Т.е. будем руководствоваться тем, что профиль графика плотности теоретического распределения должен соответствовать профилю гистограммы: если середины верхних сторон прямоугольников, образующих гистограмму, соединить плавной кривой, то эта линия представляет в первом приближении график плотности распределения вероятностей.

          Итак, изобразим график и выпишем формулу плотности нормального (или гауссовского) распределения с параметрами а и

, - ¥ < а < + ¥,

Сравнение построенной гистограммы и графика плотности распределения приводит к следующему заключению о предполагаемом (теоретическом) законе распределения в рассматриваемом варианте исходных данных:

Вариант 13 – нормальное (или гауссовское распределение)

4.Построение графика теоретической плотности распределения.
Чтобы выписать плотность теоретического (предполагаемого) распределения, нужно определить значения параметров

и а и подставить их в соответствующую формулу. Все параметры тесно связаны с числовыми характеристиками случайной величины, т.е.

                              MX = а ,

                              DX = σ²

     Поскольку значения математического ожидания и дисперсии неизвестны, то их заменяют соответствующими точечными оценками, т.е. используют (уже упомянутые ранее) приближенные равенства MX » , DX » s² , что позволяет найти значения параметров распределения.

         По исходным данным была выдвинута гипотеза о нормальном распределении изучаемой случайной величины. Найдем параметры этого распределения:

          _

x = а, 15,9 = а, а=15,9

          s²= σ²                            53,78 = σ²                              σ=7,33


Следовательно, плотность предполагаемого распределения задается формулой

F(x)= [1/(7,33*√2π)]*e^[-(^{x-15,9)2 / 2*(7,33)2)]}=0.054*e^(0,009/((x-15,9)^2))

      Теперь необходимо вычислить значения f(x_i) плотности f (x) при x=x_i (в серединах интервалов) Для этого воспользуемся следующей схемой:

значения фунцкии

при u=u_i находятся, например, с помощью таблицы, имеющейся в любом учебнике или задачнике по теории вероятностей и математической статистике.
=15,9; s = 7,33

x _i	u_i = x_i- x / s	φ (u _i )
1,5 4,5 7,5 10,5 13,5 16,5 19,5 22,5 25,5 28,5 31,5	-1,96 -1,56 -1.15 -0,74 -0.33 0.08 0.49 0,90 1.31 1,72 2.13	0,0584 0,1182 0,2059 0,3034 0,3778 0,3977 0,3538 0,2661 0,1691 0,0909 0,0413	0,008 0,016 0,028 0,041 0,052 0,054 0,048 0,036 0,023 0,012 0,006

Далее, на одном чертеже строим гистограмму и график теоретической плотности распределения: гистограмма была построена ранее, а для получения графика плотности наносим точки с координатами (x_i ; f(x_i)) и соединяем их плавной кривой.

     5.Проверка гипотезы о распределении с помощью критерия согласия Пирсона.

    Ранее была выдвинута гипотеза о законе распределения рассматриваемой случайной величины. Сопоставление статистического распределения (гистограмма) и предполагаемого теоретического (графика плотности) показывает наличие некоторых расхождений между ними. Поэтому возникает естественный вопрос: чем объясняются эти несовпадения? Ответить на него можно двояко:

1)      Указанные расхождения несущественны и вызваны ограниченным количеством наблюдений и случайными факторами – случайностью результата единичного наблюдения, способа группировки данных и т.п. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении считается правдоподобной и принимается как не противоречащая опытным данным.
2)      Указанные расхождения являются существенными (неслучайными) и связаны с тем, что действительное распределение случайной величины отличается от предполагаемого. В этом случае выдвинутая гипотеза о распределении отвергается как плохо согласующаяся данными наблюдений.
          Для выбора первого или второго варианта ответа и служат так называемые критерии согласия. Словари толкуют слово критерий (от греч. kriterion – средство для суждения) как признак, на основании которого производится оценка, определение и классификация   чего-либо.

          Существуют различные критерии согласия: К. Пирсона, А.Н. Колмогорова, Н.В. Смирнова, В.И. Романовского и другие. Мы рассмотрим лишь один из них – критерий Пирсона, называемый также критерием c² («хи - квадрат»). (К. Пирсон (1857 - 1936) – английский математик, биолог, философ – позитивист.)

           Критерий Пирсона выгодно отличается от остальных, во – первых, применимостью к любым (дискретным, непрерывным) распределениям и, во – вторых, простотой вычислительного алгоритма.

           Правило проверки статистических гипотез с помощью критерия Пирсона будет объяснено на примерах.
Группировка исходных данных.
          Применяется критерий Пирсона к сгруппированным данным. Предположим, что произведено n независимых опытов, в каждом из которых изучаемая случайная величина приняла определенное значение. Предположим, что вся числовая ось разбита на несколько непересекающихся промежутков (интервалов и полуинтервалов). Обозначим через n_Iколичество результатов измерений (значений случайной величины), попавших в i-й промежуток. Очевидно, что ån_I = n.

           Отметим, что критерий c² будет давать удовлетворительный для практических приложений результат, если:

1)      количество n опытов достаточно велико, по крайней мере n³100;

2)      в каждом промежутке окажется не менее 5…10 результатов измерений, т.е. n_i ³5 при любом i; если количество полученных значений в отдельных промежутках мало (меньше 5), то такие промежутки следует объединить с соседними, суммируя соответствующие частоты.



          Пусть концами построенного разбиения являются точки z_i , где z₁ < z₂ < … < z_i_{– 1} , т.е. само разбиение имеет вид

                 (- ¥ º z₀; z₁) , [ z₁; z₂) , [ z₂; z₃) , … , [ z_i_{– 1}; z_i º + ¥).



          После объединения соответствующих промежутков (последних двух) и замены самой левой границы разбиения на - ¥, а самой правой на + ¥ (поскольку на промежутки должна разбиваться вся числовая ось, а не только диапазон полученных в результате опыта значений), мы приходим к следующим интервальным распределениям, пригодным для непосредственного применения критерия Пирсона:

z_{i –1}; z_i	- ¥; 6	6;9	9;12	12;15	15;18	18;21
n _i	10	9	11	14	18	13

21;24	24;27	27;30		30;+∞
11	7	4		3

Вычисление теоретических частот.
        Критерий Пирсона основан на сравнении эмпирических (опытных) частот с теоретическими. Эмпирические частоты n_I определяются по фактическим результатам наблюдений. Теоретические частоты, обозначаемые далее , находятся с помощью равенства

                                              = n × p_i,

где n – количество испытаний, а p_iº R (z_i_–1 < x < z_i) - теоретическая вероятность попадания значений случайной величины в i-й промежуток (1 £ i £ 1).Теоретические вероятности вычисляются в условиях выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины.

   Процедура отыскания теоретических вероятностей и частот показана в расчетной таблице:                                       _

                                                 n = 1
0
0;
а=x
=
15,9
;
σ
=
s=7,33

i	Концы промежутков		Аргументы фунцкции Ф₀		Значения функции Ф₀		P_i= Ф₀(u _i )- Ф₀(u _i-1 )	ν ₁ ^’ =np_i
i	z_{i -1}	z_i	U _i- ₁ = (z _i-1 -x)/s	U _i = (z _i -x)/s	Ф₀(u _i-1 )	Ф₀(u _i )	P_i= Ф₀(u _i )- Ф₀(u _i-1 )	ν ₁ ^’ =np_i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	-∞ 6 9 12 15 18 21 24 27 30	6 9 12 15 18 21 24 27 30 +∞	-∞ -1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92	-1,35 -0,94 -0,53 -0,12 0,29 0,70 1,11 1,51 1,92 +∞	-0,5000 -0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726	-0,4115 -0,3264 -0,2019 -0,0478 0,1141 0,2580 0,3665 0,4345 0,4726 0,5000	0,0885 0,0851 0,1245 0,1541 0,1619 0,1439 0,1085 0,0680 0,0381 0,0274	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,80 3,81 2,74

                                                                                                     å:     1,0000   1
0
0
,00








Статистика
c² и вычисление ее значения по опытным данным.
      Для того чтобы принять или отвергнуть гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины, в каждом из критериев согласия рассматривается некоторая (специальным образом подбираемая) величина, характеризующая степень расхождения теоретического (предполагаемого) и статистического распределения.

       В критерии Пирсона в качестве такой меры расхождения используется величина
                                           ,

называемая статистикой «хи - квадрат» или статистикой Пирсона (вообще, статистикой называют любую функцию от результатов наблюдений). Ясно, что всегда      c²³0, причем c² = 0, тогда и только тогда, когда при каждом i , т.е. когда все соответствующие эмпирические и теоретические частоты совпадают. Во всех остальных случаях c² ¹ 0; при этом значение c² тем больше, чем больше различаются эмпирические и теоретические частоты.
         Прежде чем рассказать о применении статистики c² к проверке гипотезы о закон е распределения , вычислим ее значение для данного варианта; это значение, найденное по данным наблюдений и в рамках выдвинутой гипотезы, будем обозначать через c²_набл..

i	n _i
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	10 9 11 14 18 13 11 7 4 3	8,85 8,51 12,45 15,41 16,19 14,39 10,85 6,8 3,81 2,74	0,15 0,03 0,17 0,13 0,20 0,13 0,00 0,01 0,01 0,02

                                                :   100      100               0,85

c
²
_набл.

= 0,85
       5.4. Распределение статистики
c².
          Случайная величина имеет c² – распределение с r степенями свободы (r = 1; 2; 3; …), если ее плотность имеет вид


где c_r – которая положительная постоянная ( c_r определяется из равенства ).             Случайная величина, имеющая распределение c² с r степенями свободы, будет обозначаться .

           Для дальнейшего изложения важно лишь отметить, что, во – первых, распределение   определяется одним параметром – числом r степеней свободы и, во – вторых, существуют таблицы, позволяющие произвольно найти вероятность попадания значений случайной величины   в любой промежуток.

           Вернемся теперь к статистике . Отметим, что она является случайной величиной, поскольку зависит от результатов наблюдений и, следовательно, в различных сериях опытов принимает различные, заранее не известные значения. Понятно, кроме того, закон распределения статистики зависит: 1) от действительного (но неизвестного нам) закона распределения случайной величины, измерения которой осуществляются (им определяются эмпирические частоты ) ; 2) от количества произведенных наблюдений (от числа n) и от способа разбиения числовой оси на промежутки (в частности, от числа i ); 3) от теоретического (выдвинутого в качестве гипотезы) закона распределения изучаемой случайной величины (им определяются теоретические вероятности p_i и теоретические частоты = n × p_i)

        Если выдвинутая гипотеза верна, то очевидно, закон распределения статистики зависти только от закона распределения изучаемой случайной величины, от числа n и от выбора промежутков разбиения. Но на самом же деле, в этом случае (благодаря мастерски подобранному Пирсоном выражению для ) справедливо куда более серьезное утверждение. А именно, при достаточно больших n закон распределения статистики практически не зависит от закона распределения изучаемой случайной величины и ни от количества n произведенных опытов: при распределение статистики стремится к - распределению с
r степенями свободы. Эта теорема объясняет, почему статистика Пирсона обозначается через .

         Если в качестве предполагаемого выбрано одно их трех основных непрерывных распределений (нормальное, показательное или равномерное), то r = i – 3, где i – количество промежутков, на которые разбита числовая ось (количество групп опытных данных). В общем случае



где - количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками.

           Т.е. в данном варианте после группировки исходных данных получаем количество промежутков разбиения i = 10, = 2, т.к. количество параметров предполагаемого (теоретического) распределения, которые заменены вычисленными по опытным данным оценками, = 2 – это а и s для нормального распределения.

         Следовательно

R=i-N_пар-1=10-2-1=7
5.5.
Правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины.
               Ранее отмечалось (и этот факт очевиден), что статистика принимает только не отрицательные значения (всегда c²³0), причем в нуль она обращается в одном – единственном случае – при совпадении всех соответствующих эмпирических и теоретических частот (т.е. при для каждого i).

              Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины соответствует действительности, то эмпирические и теоретические частоты должны быть примерно одинаковы, а значит, значения статистики будут группироваться около нуля. Если же выдвинутая гипотеза ложна, то эмпирические и соответствующие теоретические частоты будут существенно разниться, что приведет к достаточно большим отклонениям от нуля значений .

               Поэтому хотелось бы найти тот рубеж – называемый критическим значением (или критической точкой) и обозначаемый через , который разбил бы всю область возможных значений статистики на два непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы, характеризующаяся неравенством , и критическую область (или область отвержения гипотезы), определяемую неравенством .

Область принятия Критическая область

гипотезы

        0

         Как же найти критическое значение ?

         Если выдвинутая гипотеза о законе распределения изучаемой случайной величины верна, то вероятность попадания значений статистики в критическую область должна быть мала, так что событие {} должно быть практически неосуществимым в единичном испытании. Эта вероятность, обозначим ее через :



называется уровнем значимости.

          Чтобы определить критическое значение , поступим следующим образом. Зададим какое – либо малое значение уровня значимости (как правило = 0,05 или = 0,01) и найдем как уровень уравнения



с неизвестной x. Поскольку распределение статистики близко при к - распределению с r степенями свободы, то



и приближенное значение можно найти из уравнения



            Геометрические соображения показывают, что последнее уравнение имеет единственное решение: его корень – это такое число x > 0, при котором площадь под графиком функции (плотности- распределения) над участком равна. На практике решение последнего уравнения находят с помощью специальных таблиц, имеющихся в любом руководстве по математической статистике; эти таблицы позволяют по двум входным параметрам – уровню значимости и числу степеней свободы r определить критическое значение . (Находимое таким образом критическое значение зависит, конечно, от и   r,что при необходимости отражают и в обозначениях: ).

              Зададим уровень значимости как = 0,05 (условие курсовой работы) .

              Подводя итоги, сформулируем правило проверки гипотезы о законе распределения случайной величины с помощью - критерия Пирсона:

1)      Проводят n независимых наблюдений случайной величины (принято считать, что должно быть n ³ 100).
2)      Разбивают всю числовую ось на несколько (как правило, на 8…12) промежутков



так, чтобы количество измерений в каждом из них (называемое эмпирической

частотой ) оказалось не менее пяти (т.е. ³ 5 при каждом i).
3)      Выдвигают (например, судя по профилю гистограммы) гипотезу о законе распределения изучаемой случайной величины и находят параметры этого закона (чаще всего, заменяя математическое ожидание и дисперсию их оценками).
4)      С помощью предполагаемого (теоретического) распределения находят теоретические вероятности p_i и теоретические частоты = n × p_i попадания значений случайной величины в i-й промежуток.
5)      По эмпирическим и теоретическим частотам вычисляют значения статистики , обозначаемое через c²_набл..
6)      Определяют число r степеней свободы.
7)      Используя заданное значение уровня значимости и найденное число степеней свободы r, по таблице находят (на пересечении строки, отвечающей r, и столбца, отвечающего ) критическое значение .

8)      Формулируя вывод, опираясь на основной принцип проверки статистических гипотез:

                если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, т.е. если , то гипотезу отвергают как плохо согласующуюся с результатами эксперимента;

                если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, т.е. , то гипотезу принимают как не противоречащую результатам эксперимента.
5.6.
Вывод о соответствии выдвинутой гипотезы и опытных данных в варианте.
           Правило проверки выдвинутой гипотезы о законе распределения изучаемой случайной величины для данного варианта реализовано в таблице:

Название величины	Обозначение и числовое значение величины
Уровень значимости (задан в условии)	= 0,05
Количество промежутков разбиения	l =10
Число степеней свободы	r=7
Критическое значение (находится по таблице)	=
Наблюдаемое значение критерия	c²_набл. = 0,85
ВЫВОД	Гипотеза не принимается для данного 9 варианта, поскольку : 83,5 << 15,51

Замечания: 1. Заданное значение уровня значимости = 0,05 означает, что

                                                 ,

т.е. вероятность события {} очень мала. Однако это событие, обладая ненулевой вероятностью, и тогда (при = 0,05 примерно в 5% случаев) будет отвергнута правильная гипотеза. Отвержение гипотезы, когда она верна, называется ошибкой первого рода. Таким образом, уровень значимости - это вероятность ошибки первого рода. Отметим, что ошибкой второго рода называется принятие гипотезы в случае, когда она неверна.

          2. Иногда вместо уровня значимости задается надежность :



т.е. - это вероятность попадания значений статистики в область принятия гипотезы. Поскольку события

                                                 {} и

противоположны, то

Bukvasha