МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ПИЩЕВЫХ ПРОИЗВОДСТВ»

         Кафедра «Автоматика и Электротехника».

Курсовая работа.

«Численные методы решения задач управления технологическими процессами».
Группа: 07-ИУ-4

Студент: Коняхин Е. И.

Преподаватель: Михайлов А. В.
Москва 2010.
Поиск глобального максимума методом равномерного поиска.

Метод равномерного поиска заключается в последовательном вычислении целевой функции при всех допустимых значениях варьируемого параметра x:




Пусть  заданная погрешность определения максимального значения  .

Тогда для реализации алгоритма поиска следует определить значение  в




точках, равномерно относящихся друг от друга на расстоянии , т.е. в точках:




Из полученных значений показателя качества  выбирается наибольшее значение (глобальный максимум).
Алгоритм расчета.

f=f(x)

                                             ДА
                                                                                                                              
Результаты расчета.

Целевая функция имеет вид : 

Интервал (-100;100)
Шаг H	Значение X	Значение F	Кол-во вычислений
1	1	23	21
0,1	0,19999998	23	201
0,01	0,959999	23,056	2001

               Вывод : при уменьшении заданной погрешности ( точность измерений увеличивается, что позволяет нам получить верное значение глобального максимума. Недостатком метода является то, что одновременно с уменьшением заданной погрешности увеличивается требуемое количество вычислений функции, что приводит к большим затратам машинного времени.
Одномерная оптимизация методом дихотомии.

Этот метод используется для поиска экстремума класса унимодальных функций. Идея метода проста – делить интервал [
a,
b] , где расположена точка экстремума , пополам




и отбрасывать ту часть, где экстремума заведомо быть не может. С этой целью достаточно вычислить значение  в точках , отстоящих друг от друга на расстояние заданная погрешность определения оптимума. По двум вычисленным значениям  и   , в силу унимодальности функция легко установить новый интервал неопределенность по следующим условиям ( при поиске максимума):

  

 

Таким образом, в результате двух вычислений  , промежуток , где содержится экстремум сократится в двое. Следующая пара измерений производится в районе серидины нового интервала неопределенности. Вычисления производятся до тех пор, пока на k-м шаге, после 2
k вычислений длина интервала неопределенности , где находится оптимум, не станет меньше или равна .
Алгоритм расчёта.




                                                       ДА
                                                                                                                  

       ДА
                                                                                                                                                                                  

Результаты расчета.

Целевая функция имеет вид : 

Интервал (-100;100)
Погрешность Е	Значение Х	Значение F	Кол-во итераций	Кол-во вычислен.
0.1	1,06640625	22,600226978	14	7
0.1	0,954638671	23,054333993	20	10
0.01	0,959232788	23,05589651	26	13
0.001	0,96173743	23,056110564	34	17

             Вывод : как видно метод  дихотомии позволяет довольно быстро попадать в район оптимума. И требует меньшего числа расчётов по сравнению с некоторыми другими методами (например : методом равномерного приближения).
Одномерная оптимизация методом золотого сечения.

          Интервал неопределенности делится на три отрезка, причем внутренние точки располагаются симметрично по отношению к крайним .

          Берутся пробные точки и располагаются следующим образом :







          Вычисляется целевая функция в этих точках. В результате анализа двух значений  и целевой функции  исключается один из подинтервалов, где оптимума заведомо быть не может, и выбирается новый интервал неопределенности, который должен исследовать в дальнейшем.

Поиск оптимума завершается, если после k- го шага длина интервала неопределенности станет меньше или равна.
Алгоритм расчёта.





                                                   нет

                                                                                                                     нет
Результаты расчета.

Целевая функция имеет вид : 

Интервал (-100;100)
Погрешность Е	Значение Х	Значение F	Кол-во итераций	Кол-во вычислен.
1	0,895427987	22,910241869	9	8
0.1	0,94547427929	23,046790768	14	13
0.01	0,96349811902	23,055988462	18	17
0.001	0,96148191718	23,05610953	23	22

         Вывод : преимуществом этого метода над методом дихотомии является то, что на каждом шаге вычисляется лишь одно значение , а не два.
Одномерная оптимизация методом поразрядного приближения.

         Метод обладает высоким быстродействием. Это достигается тем, что используется алгоритм с переменным шагом поиска. Задаем интервал [
a,
b] , содержащий внутри себя точки максимума :  

         Задается начальное значение  и вычисляется . Задается начальный шаг поиска h и кратность изменения шага k в районе оптимума. Производится поиск максимума. Поиск из начальной точки x= осуществляется с постоянным шагом h , после каждого шага вычисляется значение критерия  , оно сравнивается с предыдущим и в случае улучшения критерия шаги продолжаются. Движение к оптимуму с неизменным шагомh продолжается до тех пор, пока очередной шаг не  окажется неудачным. После этого поиск максима продолжается из последней точки в обратном направлении с шагом вk раз меньше прежнего. Эта процедура будет продолжаться до тех пор, пока не выполнится условие:

          , где - заданная погрешность определения оптимума.
Алгоритм расчета.

 






да




                                                нет
                                        
Результаты расчета.

Целевая функция имеет вид : 

X= -100;h=10;k=10
Погрешность Е	Оптимальная точка х	Оптимальное значение ф-ции	Кол-во итераций	Кол-во вычислений
1	0,895427987	22,910241869	2	23
0.1	0,94547427929	23,046790768	3	35
0.01	0,96349811902	23,055988462	4	51
0.001	0,96148191718	23,05610953	5	65

X= -100;h=10;e=0.01
Кратность k	Оптимальная точка х	Оптимальное значение ф-ции	Кол-во итераций	Кол-во вычислений
2	0,95703125	23,0553	11	51
5	0,9632	23,0560	6	46
10	0,96	23,0560	4	51
20	0,96125	23,0560	4	65
50	0,96	23,0560	3	101

X= -100;k=10;e=0.01
Шаг h	Оптимальная точка х	Оптимальное значение ф-ции	Кол-во итераций	Кол-во вычислений
0.1	0,95999	23,05601	2	1028
0.5	0,96	23,05601	3	231
1	0,96	23,05601	3	123
5	0,96	23,05601	4	53
10	0,96	23,05601	4	51
50	0,96	23,05601	5	57
100	0,96	23,05601	5	48