Курсовая Свойства многоугольников и их применение в решении задач

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-25

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 22.11.2024

Учреждение образования «Брестский государственный университет
им. А.С. Пушкина»
Кафедра алгебры и геометрии
Свойства многоугольников и их применение в решении задач
Курсовая работа

студентки 3 курса
Руководитель

преподаватель кафедры алгебры и геометрии
Брест 2007

ВВЕДЕНИЕ

Многими математическими знаниями люди пользовались уже в глубокой древности – тысячи лет назад. Эти знания были необходимы древним купцам и строителям храмов, дворцов и пирамид, воинам и землемерам, жрецам и путешественникам.

Знания постепенно накапливались и систематизировались. Около 4 тыс. лет назад возникла наука об измерении расстояний, площадей и объёмов, о свойствах различных фигур. Так как речь в основном шла о земельных участках, то древние греки, узнавшие об этой науке от египтян, назвали её геометрией (по-гречески «гео» - земля, а «метрео» - измеряю. Значит, «геометрия» буквально означает «землемерие». Греческие учёные узнали много новых свойств геометрических фигур, и уже тогда геометрией стали называть науку о геометрических фигурах, а для науки об измерении Земли ввели другое название – «геодезия» (происходит от греческих слов «деление земли»).

Древние люди знали, что немаловажное значение имеют такие фигуры как многоугольники. Например, древнегреческие математики (Антифон, Бризон, Архимед и др.) использовали правильные многоугольники для вычисления числа π. Они вычисляли площади вписанных в окружность и описанных вокруг неё многоугольников, постепенно увеличивая число их сторон и получая таким образом оценку площади круга.

В данной работе мне предстоит изучить некоторые свойства многоугольников и их особенности при решении задач, а также научиться применять полученные знания на практике.

1.1.МНОГОУГОЛЬНИКИ. СВОЙСТВА МНОГОУГОЛЬНИКОВ

Многоугольник — это геометрическая фигура, обычно определяется как замкнутая ломаная без самопересечений (простой многоугольник (рис.1а) ), однако иногда самопересечения допускаются (тогда многоугольник не является простым (рис.1б) )

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника, а отрезки — сторонами многоугольника. Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон. Отрезки, соединяющие несоседние вершины многоугольника, называются диагоналями.

Углом (или внутренним углом) выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, образованный его сторонами, сходящимися в этой вершине, при этом угол считается со стороны многоугольника. В частности угол может превосходить 180° если многоугольник невыпуклый.

Внешним углом выпуклого многоугольника при данной вершине называется угол, смежный внутреннему углу многоугольника при этой вершине. В общем случае внешний угол это разница между 180° и внутренним углом. Из каждой вершины -угольника при > 3 выходят — 3 диагонали, поэтому общее число диагоналей -угольника равно .

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с чётырьмя — четырёхугольником, с пятью — пятиугольником и т. д.

Многоугольник с n вершинами называется n-угольником.

Плоским многоугольником называется фигура, которая состоит из многоугольника и ограниченной им конечной части площади.

Многоугольник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих (эквивалентных) условий:

1.                      он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (т. е. продолжения сторон многоугольника не пересекают других его сторон);

2.                      он является пересечением (т. е. общей частью) нескольких полуплоскостей;

3.                      любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугольнику, целиком ему принадлежит.

Выпуклый многоугольник называется правильным, если у него все стороны равны и все углы равны, например равносторонний треугольник, квадрат и пентагон.

Выпуклый многоугольник называется вписанным в окружность, если все его вершины лежат на одной окружности.

Выпуклый многоугольник называется описанным около окружности, если все его стороны касаются некоторой окружности

Правильный многоугольник — это многоугольник, у которого все углы и все стороны равны между собой.

Свойства многоугольников:

1   Каждая диагональ выпуклого -угольника, где >3, разлагает его на два выпуклых многоугольника.

2   Сумма всех углов выпуклого -угольника равна .

Д-во: Теорему докажем методом математической индукции. При = 3 она очевидна. Предположим, что теорема верна для -угольника, где <, и докажем ее для -угольника.

Пусть— данный многоугольник. Проведем диагональ этого многоугольника. По теореме3 многоугольник разложен на треугольник и выпуклый -угольник (рис.5). По предположению индукции . С другой стороны, . Складывая эти равенства и учитывая, что ( — внутренний луч угла ) и (— внутренний луч угла), получаем .При получаем: .

3 Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

Д-во: Пусть правильный многоугольник, а и — биссектрисы углов , и (рис. 150). Так как , то , следовательно, * 180° < 180°. Отсюда следует, что биссектрисы и углов и пересекаются в некоторой точке О. Докажем, что O = ОА₂ = О = ... = ОА_п. Треугольник О равнобедренный, поэтому О= О. По второму признаку равенства треугольников , следовательно, О = О. Аналогично

доказывается, что О = О и т. д. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника, поэтому окружность с центром О радиуса О является описанной около многоугольника.

Докажем теперь, что описанная окружность только одна. Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника, например, , А₂, . Так как через эти точки проходит только одна окружность, то около многоугольника ... нельзя описать более чем одну окружность. ч.т.д.

4   В любой правильный многоугольник можно вписать окружность и притом только одну.

5   Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается сторон многоугольника в их серединах.

6   Центр окружности, описанной около правильного многоугольника, совпадает с центром окружности, вписанной в тот же многоугольник.

7   Симметрия:

Говорят, что фигура обладает симметрией (симметрична) , если существует такое движение (не тождественное), переводящее эту фигуру в себя.

7.1.    Треугольник общего вида не имеет осей или центров симметрии, он несимметричен. Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет одну ось симметрии: серединный перпендикуляр к основанию.

7.2.    Равносторонний треугольник имеет три оси симметрии (серединные перпендикуляры к сторонам) и поворотную симметрию относительно центра с углом поворота 120 ° .

7.3     У любого правильного n-угольника есть n осей симметрии, все они проходят через его центр. Он также имеет поворотную симметрию относительно центра с углом поворота .

При четном n одни оси симметрии проходят через противоположные вершины, другие - через середины противоположных сторон.

При нечетном n каждая ось проходит через вершину и середину противоположной стороны.

Центр правильного многоугольника с четным числом сторон является его центром симметрии. У правильного многоугольника с нечетным числом сторон центра симметрии нет.
8     Подобие:

При подобии и -угольник переходит в -угольник, полуплоскость – в полуплоскость, поэтому   выпуклый n-уголъник переходит    в выпуклый n-уголъник

Теорема: Если стороны и углы выпуклых многоугольников иудовлетворяют равенствам:

,               (1)
где -- коэффициент подия

,                              (2)

то эти многоугольники подобны.

8.1 Отношение периметров двух подобных многоугольников равно коэффициенту подобия.

8.2. Отношение площадей двух выпуклых подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.

2.ТРЕУГОЛЬНИКИ

2.1. СВОЙСТВА ПРОИЗВОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

В геометрии выделяют следующие основные свойства треугольников:

1.     Во всяком треугольнике:

·        Против равных сторон лежат равные углы;

·        Против большей стороны лежит больший угол;

·        Против большего угла лежит большая сторона.

2.     Сумма внутренних углов треугольника равна 180°.

3.     В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

4.     Любой внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним.

5.     Любой внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов треугольника, не смежных с ним.

6.     Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

7.     Длина любой стороны треугольника меньше суммы и больше модуля разности длин двух других сторон:

|AC-CB|<AB<AC+CB                                      (2.1)

8.     Если прямая, не проходящая ни через одну из вершин треугольника, пересекает одну из его сторон, то она пересекает только одну из двух других сторон.

9.     Два не совпадающих ни с одной из сторон треугольника отрезка, поведённых из двух разных вершин треугольника до противолежащих этим вершинам сторон, пересекаются.

10. Прямая, проходящая через вершину треугольника и пересекающая противолежащую вершине сторону, делит данный треугольник на два треугольника, площади которыхсоответственно пропорциональны отрезкам, отсекаемым прямой на стороне данного треугольника.

11. Множеством вершин треугольников с одними и теми же основанием ВС и высотой h
является множество точек двух прямых, параллельных прямой ВС и проходящих на расстоянии h
от нее.

12. Если а, b
, с - положительные числа, то треугольник со сторонами а, b
, с существует в том и только в том случае, если одновременно выполняются неравенства:

а +
b
>с,
b
+с>а, а + с>
b
                                         (2.2)

Эта система неравенств равносильна двойному неравенству

|
a
-
b
|<2
c
<
a
+
b
                                                (2.3).

13.Площадь треугольника равна половине произведения его основаниям на высоту

14.Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними.

15.Любой треугольник можно вписать в окружность.

16.Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

17.Любой треугольник имеет три вневписанные окружности. Каждая сторона треугольника касается одной и только одной из этих окружностей.

2.2. РАВНОБЕДРЕННЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАК И СВОЙСТВА

Пример равнобедренного треугольника

Рис. 2.1.

Признак равнобедренного треугольника:

Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный.

Свойства равнобедренного треугольника:

Для равнобедренного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1)                 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

2)                 В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является одновременно медианой и высотой.

3)                 В равнобедренном треугольнике медианы (а также высоты или биссектрисы), проведенные к боковым сторонам, равны.

2.3. СВОЙСТВА РАВНОСТОРОННЕГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример равностороннего треугольника

Рис. 2.2.

Свойства равностороннего треугольника:

1)                У равностороннего треугольника все углы равны между собой и составляют 60°.

2)                В равностороннем треугольнике любая биссектриса является одновременно медианой и высотой.

3)                В равностороннем треугольнике все медианы (а также высоты или биссектрисы) равны между собой.

4)                Точка пересечения медиан (высот, биссектрис) равностороннего треугольника, называемая его центром, является центром вписанной и описанной окружностей.
2.4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. ПРИЗНАКИ И СВОЙСТВА ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА

Пример прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник

Признаки прямоугольного треугольника:

1)                Если квадрат одной из сторон треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон, то такой треугольник прямоугольный.

2)                Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.

Свойства прямоугольного треугольника:

Для прямоугольного треугольника справедливы все свойства произвольного треугольника. Кроме того, имеют место следующие свойства:

1)           У прямоугольного треугольника только один прямой угол, два других его угла острые.

2)           Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

3)           В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого катета.

4)           В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°.

5)           Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы.

6)           Гипотенуза вписанного в окружность прямоугольного треугольника совпадает с диаметром этой окружности.

7)           Высота прямоугольного прямоугольника, опущенная из вершины прямого угла, делит этот треугольник на два треугольника, подобных исходному.

8)           Биссектриса прямого угла в прямоугольном треугольнике лежит между медианой и высотой и делит угол между ними пополам.

9)           Площадь равна половине произведения его катетов.

3. ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Четырехугольники бывают выпуклые (как ABCD) и невыпуклые (A₁B₁C₁D₁).

Свойства четырехугольника:

1.     Четырехугольник является выпуклым тогда и только тогда, когда его диагонали пересекаются.

2.     В любом четырехугольнике какие-то две противолежащие вершины лежат по разные стороны от прямой, проходящей через две другие вершины.

3.     Прямые, содержащие диагонали любого четырехугольника, пересекаются.

4.     Каждая сторона четырехугольника меньше суммы трех других сторон:

                                                (3.1)

5. Площадь произвольного выпуклого четырехугольника:

Произвольный выпуклый четырехугольник

d₁, d₂ — диагонали;

— угол между ними; S — площадь.

S =d₁d₂sin

(3.2)

6        Около выпуклого четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов этого четырехугольника равна, 180°.

7        В четырехугольнике, вписанном в окружность, произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон(Теорема Птолемея).

8        В выпуклый четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.
3.1. ПАРАЛЛЕЛОГРАММ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого Свойства параллелограмма

противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойствапараллелограмма:

1) противолежащие стороны равны;

2)

противоположные углы равны;

3)     диагонали точкой пересечения делятся пополам;

4)     сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;

5)    сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон: d₁²+d₂²=2(a²+b²).                                               (3.3)

6)     Около параллелограмма можно описать окружность тогда и только тогда, когда этот параллелограмм является прямоугольником.

7)     Если параллелограмм вписан в окружность, то он является ромбом.

Признакипараллелограмма:

Четырехугольник является параллелограммом, если:

1.     Две его противоположные стороны равны и параллельны.

2.     Противоположные стороны попарно равны.

3.     Противоположные углы попарно равны.

4.     Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
3.2. ТРАПЕЦИЯ. СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ ТРАПЕЦИИ

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие

непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции:

1   ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;

2   если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;

3   если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;

4   если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

5   Площадь трапеции:
a и b — основания; h —расстояние между ними; l — средняя линия
, S = lh              (3.4)

6   Около трапеции можно описать окружность тогда и только тогда, когда эта трапеция равнобедренная.

Признаки трапеции:

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

3.3. ПРЯМОУГОЛЬНИК. ЕГО СВОЙСТВА И

ПРИЗНАКИ

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника:

1   все свойства параллелограмма;

2   диагонали равны.

3   площадь равна:

S
=
ab
                 (3.5)

S
=
d₁d₂sin

(3.6)

4 если прямоугольник вписан в окружность, то он является квадратом.

Признаки прямоугольника:

Параллелограмм является прямоугольником, если:

1. Один из его углов прямой.

2. Его диагонали равны.

3.4. РОМБ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба:

1   все свойства параллелограмма;

2   диагонали перпендикулярны;

3   диагонали являются биссектрисами его углов.

4 площадь ромба:

S = ah_a(3.7)

S = a²sin (3.8)

S =d₁d₂(3.9)

Признаки ромба:

1.     Параллелограмм является ромбом, если:

2.     Две его смежные стороны равны.

3.     Его диагонали перпендикулярны.

4.     Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.
3.5. КВАДРАТ. ЕГО СВОЙСТВА И ПРИЗНАКИ

Квадратом называется прямоугольник, у которого все

стороны равны.

Свойства квадрата

1 все углы квадрата прямые;

2   диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

     3 площадь квадрата:

S = a²                            (3.10)

S =

d²                                            (3.11)

Признаки квадрата:

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

4.ПРИМЕРЫ РЕШЕННЫХ ЗАДАЧ.

Задача1

Точка Р лежит внутри прямоугольника ABCD
. Докажите, что .

РЕШЕНИЕ: Рассмотрим параллелограммы BLDP и APCL: по свойству d₁²+d₂²=2(a²+b²) получим

Т.к. ABCD прямоугольник, то BD=AC. Тогда И . Приравняем полученные равенства:

= .

Задача2

AC – наибольшая сторона треугольника ABC. На АС выбираются точки А₁ и С₁ так, что АС₁=АВ и СА₁=СВ. Затем на стороне АВ берется точка А₂ так, что АА₁=АА₂, а на стороне CD – точка С₂ так, что СС₁=СС₂. Докажите, что точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.

РЕШЕНИЕ: АА₁=АА₂и АС₁=АВ(по условию задачи), а тока А₁ и А₂ A
₁
A
₂
||
BC
₁? При чем по теореме Фалеса. Можно сделать вывод, что A
₁
A
₂
BC
₁ равнобокая трапеция. Аналогично можно доказать, что четырехугольник A
₁
ВС₂С₁ также равнобокая трапеция. Так как эти трапеции правильные, то около них можно описать окружности и соответственно. Мы получили, что точки A
₁
, В и С₁ принадлежат двум окружностям одновременно, что невозможно, т.к. по свойству окружности: через три точки может проходить только одна окружность. Тогда можно сделать вывод о том, что и совпадают. А следовательно точки А₁, А₂, С₁, С₂ лежат на одной окружности.

Задача3 Докажите, что выпуклый n-угольник является правильным тогда и только тогда, когда он переходит в себя при повороте на угол ${\frac{360^{\circ}}{n}}$ вокруг некоторой точки.

РЕШЕНИЕ: Выпуклый n-угольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Пусть A₁A₂...A_n -- правильный многоугольник, O — точка пересечения биссектрис его углов A_nA₁A₂ и A₁A₂A₃. Тогда треугольники A_nOA₁ и A₂OA₁ равны по двум сторонам и углу между ними.

Кроме того, из равенства углов n-угольника следует, что треугольники A_nOA₁A₂OA₁ — равнобедренные. Поэтому

OA_n = OA₁ = OA₂, $\displaystyle \angle$ A_nOA₁ = $\displaystyle \angle$ A₁OA₂.

Аналогично докажем, что

OA₁ = OA₂ =...= OA_n, $\displaystyle \angle$ A₁OA₂ = $\displaystyle \angle$ A₂OA₃ =...= = $\displaystyle \angle$ A_nOA₁ = $\displaystyle {\frac{360^{\circ}}{n}}$ .

Следовательно, O — центр окружности, проходящей через точки A₁, A₂, ..., A_n. При повороте на угол ${\frac{360^{\circ}}{n}}$ вокруг точки O данный n-угольник переходит сам в себя.

Пусть теперь известно, что некоторый выпуклый n-угольник A₁A₂...A_n переходит в себя при повороте вокруг некоторой точки O на угол ${\frac{360^{\circ}}{n}}$ . Ясно, что эта точка лежит внутри многоугольника, а т.к. многоугольник выпуклый, то

$\displaystyle \angle$ A₁OA₂ +...+ $\displaystyle \angle$ A_nOA₁ = 360^o.

Поскольку вершины многоугольника при повороте переходят в вершины, то точки A₁, A₂, ..., A_n лежат на окружности с центром O, и

$\displaystyle \angle$ A₁OA₂ = $\displaystyle \angle$ A₂OA₃ =...= $\displaystyle \angle$ A_nOA₁ = $\displaystyle {\frac{360^{\circ}}{n}}$ .

Поэтому A₁OA₂, A₂OA₃, ..., A_nOA₁ — равные равнобедренные треугольники. Следовательно, все стороны и все углы многоугольника равны, т.е. он правильный.
Задача4 Докажите, что в правильном 12-угольнике A₁A₂...A₁₂ диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ пересекаются в одной точке.

РЕШЕНИЕ:

Пусть A₁A₂...A₁₂ — правильный 12-угольник. Рассмотрим треугольник A₂A₄A₈. Прямые A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ — биссектрисы его углов. Точно так же прямые A₃A₈, A₅A₁ и A₁₁A₄ — биссектрисы углов треугольника A₃A₅A₁₁. Отсюда следует, что диагонали A₁A₅, A₂A₆, A₃A₈ и A₄A₁₁ проходят через одну точку.

Задача5 Пусть О — центр правильного многоугольника A₁A₂A₃...A_n, X -- произвольная точка плоскости. Докажите, что:

a) $\overrightarrow{OA}_{1}^{}$ +...+ $\overrightarrow{OA_{n}}$ = 0

б) $\overrightarrow{XA_{1}}$ +...+ $\overrightarrow{XA_{n}}$ = n $\overrightarrow{X0}$ .

РЕШЕНИЕ:

а) Обозначим $\overrightarrow{OA}_{1}^{}$ +...+ $\overrightarrow{OA_{n}}$ = $\overrightarrow{a}$ . При повороте на угол ${\frac{360^{\circ}}{n}}$ вокруг точки O точка переходит в точку (1

n - 1), а точка A_n — в точку A₁. Поэтому вектор $\overrightarrow{a}$ при таком повороте переходит сам в себя. Следовательно, $\overrightarrow{a}$ =0.

б)

Задача6 Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки X до вершин правильного n-угольника будет наименьшей, если X — центр n-угольника.

РЕШЕНИЕ:

Пусть X_k — образ точки X при повороте относительно центра O данного n-угольника, переводящем A_k в A₁. При этом повороте отрезок A_kX переходит в A₁X_k. Следовательно, A₁X + ... + A_nX = A₁X₁ + ... + A₁X_n. А так как n-угольник X₁...X_n правильный, то $\overrightarrow{A_1X}_{1}^{}$ + ... + $\overrightarrow{A_1X}_{n}^{}$ = n $\overrightarrow{A_1O}$ (см. Задачу5), а значит, A₁X₁ + ... + A_nX_n $\geq$ n $\overrightarrow{A_1O}$ .

Задача7 В правильном n-угольнике (n $\geq$ 3) отмечены середины всех сторон и диагоналей. Какое наибольшее число отмеченных точек лежит на одной, окружности?

РЕШЕНИЕ:

Пусть сначала n = 2m. Диагонали и стороны правильного 2m-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m - 1 концентрических окружностях (по n точек на каждой) или в общем центре этих окружностей. Поскольку различные окружности имеют не более двух общих точек, окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 1+2(m - 1)=2m-1=n-1 отмеченных точек.

Пусть теперь

n = 2m + 1. Диагонали и стороны правильного (2m + 1)-угольника имеют m различных длин. Поэтому отмеченные точки лежат на m концентрических окружностях (по n точек на каждой). Окружность, не принадлежащая этому семейству концентрических окружностей, содержит не более 2m = n - 1 отмеченных точек.

В обоих случаях наибольшее число отмеченных точек, лежащих на одной окружности, равно n.

Задача8 Вершины правильного треугольника находятся на сторонах AB, CD и EF правильного шестиугольника ABCDEF. Докажите, что они имеют общий центр.

РЕШЕНИЕ:

Пусть XYZ — данный треугольник, KLM — треугольник, получаемый при продолжении сторон AB, CD и EF шестиугольника ABCDEF (рис.). Пусть O — центр треугольника XYZ, докажем, что он является центром треугольника KLM.

При повороте относительно точки O на 120⁰ против часовой стрелки прямая AB переходит в прямую, параллельную CD. Поскольку при этом повороте точка X прямой AB переходит в точку Y, то образ прямой AB должен проходить через точку Y, значит совпадать с CD. Поэтому точка O равноудалена от прямых AB и CD. Аналогично доказывается, что она равноудалена от прямых CD и EF. Значит, она является центром окружности, вписанной в треугольник KLM и, тем самым, центром шестиугольника ABCDEF.

Задача9 Окружности, диаметрами которых служат стороны АВ и СD выпуклого четырехугольника ABCD, касаются сторон CD и AB соответственно. Докажите, что ВС || AD.

РЕШЕНИЕ:

Пусть М и N – середины сторон АВ и CD
. Опустим из точки D перпендикуляр DP на прямую MN, а из точки М перпендикуляр MQ на СВ. Тогда Q
– точка касания прямой CD и окружности с диаметром AB. Прямоугольные треугольники PDN и QMN подобны, поэтому DP
=
ND
*
MQ
/
MN
=
ND
*
MA
/
MN. Аналогично расстояние от точки А до прямой MN равно ND
*
MA
/
MN. Следовательно, AD||MN. Аналогично BC
||
MN
.

Задача10 Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что AK + AN = AB. Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника ( $\angle$ KAN +
$\angle$ KBN + $\angle$ KCN + $\angle$ KDN + $\angle$ KEN + $\angle$ KFN).

$\epsfbox{1995/ol95086-1.mps}$ РЕШЕНИЕ: Будем считать, что N лежит на AB, а K лежит на AF (рис.4.11). Заметим, что FK = AN. Выберем точку P на BC, точку R на CD, точку S на DE и точку T на EF

так, чтобы выполнялись равенства FK = AN = BP = =CR = DS = ET. Тогда $\angle$ KBN = $\angle$ TAK, $\angle$ KCN =
= $\angle$ SAT, $\angle$ KDN = $\angle$ RAS, $\angle$ KEN = $\angle$ PAR, $\angle$ KFN =
= $\angle$ NAP, откуда

$\displaystyle \angle$
KAN+
$\displaystyle \angle$
KBN+
$\displaystyle \angle$
KC+
$\displaystyle \angle$
KDN+
$\displaystyle \angle$
KEN+
$\displaystyle \angle$
KFN=
=
$\displaystyle \angle$
KAN+
$\displaystyle \angle$
TAK+
$\displaystyle \angle$
SAT+
$\displaystyle \angle$
RAS+
$\displaystyle \angle$
PAR+
$\displaystyle \angle$
NAP=

$\displaystyle \angle$
KAN+
$\displaystyle \angle$
KAN=120^o+120^o=240^o.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В своей работе я изучила свойства многоугольников и как они применяются на практике.

Можно сказать, что многоугольник является универсальной фигурой, так как он применяется во многих задачах и обладает множеством интересных свойств. Многоугольники находят своё применение в самых разных науках. Из этого следует ценность многоугольника как фигуры.

Bukvasha