Тольяттинский Государственный Университет
Кафедра “Технология машиностроения”
Курсовая работа
по дисциплине
“Математическое моделирование"
Студент: Комарова И.О.
Группа: М-401
Преподаватель: Бобровский А.В.
Тольятти, 2005

Оптимизация режимов резания
Обработка детали ведется на вертикально-фрезерном станке 6Р12 концевой фрезой с цилиндрическим хвостовиком ГОСТ 17025-71.
Диаметр фрезы D = 20 мм; количество зубьев z = 6; материал инструмента Р6М5; период стойкости инструмента [Т] = 80 мин; глубина фрезерования t = 20 мм; ширина фрезерования В = 20 мм; рабочий ход L_рх = 70 мм; материал заготовки ШХ15; длина заготовки L = 60 мм; шероховатость поверхности Ra 6,3; частота вращения шпинделя станка n = 31,5…1600 об/мин; скорость продольных подач S_пр = 25…1250 мм/мин; мощность электродвигателя Nэ = 7,5 кВт.
Необходимо оптимизировать процесс резания с учетом следующих ограничений:
1) ограничение по кинематике станка;
2) ограничение по периоду стойкости инструмента;
3) ограничение по мощности привода главного движения станка.
Эскиз обработки:


1. Графический метод
1) ограничение по кинематике станка
а)
; ;
; ;

б)
; ;
;

2) ограничение по периоду стойкости инструмента
;
;
;

;
;
;
; .

3) ограничение по мощности главного движения станка
;  
;

;
;
; ; ;


Выпишем все ограничения, а затем внесем их на один график.

Критерий оптимальности - целевая функция:



Придаем любое значение z и строим две прямые, касающиеся области оптимальных режимов резания в двух крайних ее точках. Таким образом, мы нашли точки А и В.
Найдем координаты точки А. Для этого необходимо решить систему уравнений:
;
;
Подставим координаты точки А в уравнение целевой функции:

Найдем координаты точки В. Для этого необходимо решить систему уравнений:
;
;
Подставим координаты точки В в уравнение целевой функции:

Сравним значения целевой функции для точек А и В:

Значит, оптимальной точкой резания является точка А (0,296; - 0,494).
Определим оптимальные значения режимов резания:
V = 10^x1 = 10^0,296 = 1,977 м/мин;
S_z = 10^x2 = 10^-0,494 = 0,321 мм/зуб;
 об/мин;
 мм/мин.

2. Симплекс-метод
Решить систему уравнений:

Найти значения, при которых целевая функция
.
Приведем все знаки к одному направлению:

Для перехода от системы неравенств, вводим в систему уравнений единичную матрицу. Расширенная форма записи:
;
.
Находим расширенную матрицу, матрицу свободных членов и матрицу коэффициентов при базисных переменных:
.
Выбираем исходный базис. Запишем матрицу коэффициентов при базисных переменных:

Найдем определитель матрицы коэффициентов при базисных переменных:

Находим союзную матрицу:

Находим транспонированную матрицу:

Находим обратную матрицу:

Находим решение исходного базиса:
;
.
Базисное решение является допустимым, т.к все его значения положительные.
Вычислим симплекс-разности для всех переменных, не вошедших в базис:
;



Симплекс разности отрицательны, следовательно, найдено оптимальное решение:  Вывод: результаты, полученные графическим и симплекс-методом совпали, значит задача решена правильно.
3. Симплекс-таблицы. Решить систему уравнений:

Найти значения, при которых целевая функция
.
Приведем все знаки к одному направлению:

Для перехода от системы неравенств, вводим в систему уравнений единичную матрицу. Расширенная форма записи:
; .
Приведем систему уравнений к виду, где выделены базисные переменные:
 
По последней записи системы уравнений и целевой функции построим таблицу 1.
После нахождения разрешающего элемента в таблице 1, переходим к заполнению таблицы 2. После построения таблицы 2 в последней строке имеется положительный элемент, значит оптимальное решение не найдено.
Определяем разрешающий элемент в таблице 2 и переходим к заполнению таблицы 3.
Таблица 3.
В таблице 3 все элементы последней строки отрицательны, значит оптимальное решение найдено:
.
Вывод: результаты, полученные графическим методом и методом симплекс-таблиц совпали, значит, задача решена правильно.