Министерство образования Республики Беларусь

Гомельский Государственный университет имени Франциска Скорины

 

 

 

Курсовая работа

«Дифференциальные системы, эквивалентные автономным системам с известным первым интегралом»

Гомель 2006

Реферат
Курсовая работа состоит из 19 страниц, 3-х источников.
Ключевые слова: эквивалентная система, первый интеграл дифференциальной системы, отражающая функция, эквивалентность систем в смысле совпадения отражающих функций, непрерывно дифференцируемая функция, непрерывная скалярная нечётная функция.
Целью курсовой работы является нахождение связи между первым интегралом системы и эквивалентными системами.

Содержание
Введение
Отражающая функция
Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющих временных симметрий
Общее решение
Заключение
Список использованных источников

Введение
В курсовой работе мы находим связь между первым интегралом и эквивалентными системами.
В результате приходим к теореме, которая звучит так:
Пусть  первый интеграл системы ,  (1). Если , удовлетворяет уравнению , то указанная система эквивалентна системе , ,  (2). И если, кроме того , где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где  и .

Отражающая функция
Определение. Рассмотрим систему
 (1)
cчитая, что правая часть которой непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение в форме Коши обозначено через ). Через обозначим интервал существования решения .
Пусть

Отражающей функцией системы (1) назовём дифференцируемую функцию , определяемую формулой

Для отражающей функции справедливы свойства:
1.)             для любого решения системы (1) верно тождество

2.)             для отражающей функции F любой системы выполнены тождества


3) дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет системе уравнений в частных производных

и начальному условию

Рассмотрим систему  (1*) считая, что её правая часть непрерывно дифференцируемая. Будем говорить, что множество систем вида (1*) образует класс эквивалентности, если существует дифференцируемая функция  со свойствами: 1) отражающая функция  любой системы из рассматриваемого множества совпадает в области определения  с функцией ; 2) Любая система вида (1*), отражающая функция  которая совпадает в области  с функцией , содержится в рассматриваемом множестве.
Две системы вида (1*), принадлежащие одному классу эквивалентности, будем называть эквивалентными. Допуская определённую вольность речи, будем говорить также, что они имеют одну и ту же отражающую функцию. Функцию  при этом будем называть отражающей функцией класса, а класс – соответствующим отражающей функции .

Первый интеграл дифференциальной системы и условия его существования

Рассмотрим систему =     (1) с непрерывной в области D функцией f. Дифференцируемая функция U (t, x), заданная в некоторой подобласти G области D, называется первым интегралом системы (1) в области G, если для любого решения x(t), t , системы (1), график которого расположен в G функция U (t, x(t)), t , постоянна, т.е. U (t, x(t)) зависит только от выбора решения x(t) и не зависит от t.
Пусть V (t, x), V:G R, есть некоторая функция. Производной от функции V в силу системы (1) назовем функцию V  V R, определяемую равенством
.
Обозначим V  (t, x(t)) t .
Лемма
Дифференцируемая функция U (t, x), U:G R, представляет собой первый интеграл системы (1) тогда и только тогда, когда производная U  в силу системы (1) тождественно в G обращается в нуль.
Необходимость. Пусть U (t, x) есть первый интеграл системы (1). Тогда для любого решения x(t) этой системы на основании определения, будем иметь тождества
U

Откуда при t=t  получим равенство U (t  справедливое при всех значениях t  и x(t ). Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть теперь U  при всех (t, x)  Тогда для любого решения x(t) системы (1) из определения будем иметь тождества

а с ним и достаточность.
Из определения первого интеграла следует, что постоянная на G функция также является первым интегралом системы (1). По этому первым интегралом на G будем называть функцию , для которой выполняется неравенство
 и
Функцию U(x) будем называть стационарным первым интегралом системы (1), если она не зависит от t и является первым интегралом системы (1).
Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий
Наряду с исходной дифференциальной системой
     
будем рассматривать множество возмущённых систем

     
где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Выясним вопрос об эквивалентности в смысле совпадения отражающих функций дифференциальных систем (1) и (2). При совпадении отражающих функций двух систем совпадают их операторы сдвига на симметричном промежутке вида  и, значит, для периодических систем совпадают их отображения за период .
Как известно, отражающая функция системы (1) обязана удовлетворять соотношению
 
Если вектор-функция, а
вектор-столбец, то полагаем
  ,
Лемма 1.
Для любых трёх вектор-функций      из которых функция  дважды непрерывно дифференцируема, а функции  и  дифференцируемы, имеет место тождество
 

Лемма 2.
Пусть отражающая функция системы  с непрерывно дифференцируемой правой частью. Тогда для каждой непрерывно дифференцируемой вектор функции  функция
 
удовлетворяет тождеству

 
Доказательство. Учитывая соотношение , простыми выкладками установим тождества

К первым двум слагаемым последней части этого тождества применим тождество . Тогда после несложных формальных преобразований придём к соотношению



Прибавим к левой и правой частям этого соотношения выражение  придём к нужному нам тождеству
Лемма доказана.
Теорема 1
Пусть вектор-функция  является решением дифференциального уравнения в частных производных
 
Тогда возмущённая дифференциальная система
      ,
где - произвольная непрерывная скалярная нечётная функция, эквивалентна дифференциальной системе .
Доказательство. Пусть отражающая функция системы . Следовательно, эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению . Покажем, что она удовлетворяет и тождеству
 

Для этого введём функцию  по формуле . Согласно лемме 2, эта функция удовлетворяет тождеству . При условиях доказываемой теоремы с учётом соотношения  это тождество переписывается в виде

Кроме того, поскольку для всякой отражающей функции  верно тождество , имеет место соотношения
.
Таким образом, функция  является решением задачи Коши
 
Решение этой задачи существует и единственно. Следовательно, имеет место тождество  влекущее за собой тождество .
Теперь покажем, что отражающая функция  системы  является также и отражающей функцией системы . Для этого нужно проверить выполнение основного соотношения , которое в данном случае должно быть переписано в виде
 
Действительно, последовательно преобразовывая левую часть последнего соотношения и учитывая нечётность функции  приходим к следующей цепочке тождеств:


Оба слагаемых, стоящих в квадратных скобках, тождественно равны нулю. Первое – в силу того, что для отражающей функции системы  верно тождество , второе – потому, что при условиях теоремы верно тождество . Следовательно, тождество  выполняется и функция  является отражающей функцией системы . Теорема доказана.
А теперь рассмотрим пример.
Пример
Рассмотрим систему

в которой непрерывные и периодические функции ,  таковы, что  и  – нечётные функции.
Эта система эквивалентна стационарной системе

Здесь  и , ,
.
Так как стационарная система имеет асимптотически устойчивый предельный цикл , которому соответствуют периодические решения, то из сказанного следует, что все решения ,  рассматриваемой системы, начинающиеся при  на окружности , являются периодическими, а каждое из остальных решений, кроме нулевого, при  стремится к одному из указанных периодических.
Общее решение системы
Рассмотрим две дифференциальные системы
,  (1)
, , , (2)
где - непрерывная скалярная нечётная функция, -произвольная непрерывно дифференцируемая функция.
Лемма 1
Для любой нечётной функции , определённой в окрестности , справедливо .
Доказательство.
Так как - непрерывная нечётная функция, то  и
 при
Лемма 2
Пусть  есть первый интеграл системы . Тогда  есть первый интеграл системы .
Доказательство. Т.к.  есть первый интеграл системы , то его производная в силу системы равна , т.е. .
Полагая здесь , получаем   , что и означает что  первый интеграл системы
.
Теорема 1.
Пусть  – отражающая функция системы  и удовлетворяет следующему соотношению  (3)
Тогда система  эквивалентна системе  в смысле совпадения отражающих функций.
Доказательство. Поскольку  отражающая функция системы , то   (4). Рассмотрим выражение
(равно  т.к.  отражающая функция системы )+ (равно  по )  (4)
означает, что отражающая функция системы . Поскольку у систем  и отражающие функции совпадают, то системы  и эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций.
Введём такие обозначения
 и - семейства функций, являющиеся решениями систем  и , соответственно  и - решение систем  и  соответственно.
Лемма 4
Пусть  первый интеграл системы . Если выполнено соотношение  (5), где некоторая функция, то  есть первый интеграл системы , где .
Доказательство. Так как , то  удовлетворяет уравнению , так как , то . Умножим обе части справа на , получим . Перенесём всё в левую часть и к левой части прибавим выражение . Так как - первый интеграл, получим . Т.е. производная функции  в силу системы  равна , а это означает, что  есть первый интеграл системы . Ч.т.д.
Лемма 5. Если  удовлетворяет следующему уравнению в частных производных:
 (6), где - правая часть системы (1), первый интеграл (2), то система (1) эквивалентна системе (2), у которой  в смысле совпадения отражающей функции.
Доказательство. Умножим (6) на скалярную функцию , получим:
 (7)
Так как - первый интеграл системы (1), то
 (8)
Прибавим (7) к (8) и преобразуем, получим: . Таким образом,  удовлетворяет теореме 1 (если  удовлетворяет , то (1) эквивалентно (2) и значит, если , то система (2) эквивалентна системе (1).
Теорема 2
Пусть  первый интеграл системы (1). Если , удовлетворяет уравнению (6), то система (1) эквивалентна системе (2). И если, кроме того  (9), где - некоторая функция ( -может равняться const), тогда первый интеграл системы (2) выражается следующей формулой , где  и .
Доказательство.
Доказательство 1-й части теоремы прямо  из леммы 3.
Требуется доказать вторую часть теоремы. Найдём производную  в силу системы (2)
 и
обозначим её (*).
Выражение в […]=0, так как -первый интеграл системы (1),  (*) преобразуется в следующее выражение
[так как ]=  (**)
Так как  удовлетворяет уравнению , то таким образом (**)=0, что и означает, что первый интеграл системы (2). Требование  вытекает из леммы 2.
Лемма
Пусть системы  и  эквивалентны в смысле совпадения отражающих функций. Пусть  их отражающая функция и пусть  есть первый интеграл системы , тогда U , ,  и .
Доказательство. Возьмём произвольное решение  системы . Покажем, что на нём U обращается в постоянную.
Действительно, т. к.  отражающая функция, то . По определению функции    и т. к. первый интеграл системы , то U .
То, что U  очевидно. Действительно, возьмём любую функцию . Обозначим  по свойству отражающей функции .
Обозначим , так как  только функциям из  сопоставляет функции из , то  и по определению первого интеграла  U отлична от  и обращается в  только вдоль решений системы . А это и означает, что U – первый интеграл системы .
(U удовлетворяет лемме 2).
Лемма даёт понимание первого интеграла и взаимосвязи первых интегралов возмущённой и не возмущённой систем.

Заключение
В данной работе рассмотрены эквивалентные системы. Сформулирована теорема, которая говорит об эквивалентности систем. Сформулированы и доказаны леммы, которые применяются для доказательства теоремы.
Сформулированы определения дифференциальных систем, эквивалентных систем в смысле совпадения отражающих функций, первого интеграла, определение отражающей функции и общие свойства отражающей функции.

Список использованных источников
1.        Мироненко В.И. Линейная зависимость функций вдоль решений дифференциальных уравнений. – Мн., Изд-во БГУ им. В.И. Ленина, 1981, 50 – 51 с.
2.        Мироненко В.И. Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений. – Мн.: изд-во «Университетское», 1986, 11,17 – 19 с.
3.        Мироненко В.В. Возмущения дифференциальных систем, не изменяющие временных симметрий. 2004 г.