Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования Гомельский государственный университет имени Франциска Скорины
Курсовая работа
"Семейства решений с постоянной четной частью"
Гомель, 2005

Реферат
В данной курсовой работе 17 листов. Работа состоит из пяти разделов. Ключевые слова: ДУ, решение, система, общее решение, четность, функция.
В работе содержится исследование семейства решений линейной системы. Выясняется связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Устанавливаются условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.
Библиография – 5 названий.

Содержание
Введение
1. Определение и свойства отражающей функции
2. Простейшая система
3. Система чет-нечет
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
5. Семейства решений с постоянной четной частью
Заключение
Литература

Введение
Основным инструментом нашего исследования является понятие «отражающей функции».
При изучении вопросов существования периодических решений дифференциальных систем и уравнений используются свойства симметричности (четность, нечетность и т.п.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
В данной работе мы будем изучать семейства решений с постоянной четной частью, когда четная часть будет представлена в виде константы.
Исследования с помощью отражающей функции позволяет получить новые результаты даже для уже хорошо изученных линейных систем.

1. Определение и свойства отражающей функции
Рассмотрим систему
, (1.1)
считая, что её правая часть непрерывна и имеет непрерывные частные производные по . Общее решение этой системы в форме Коши обозначим через . Через  обозначим интервал существования решения
Пусть
.
Определение: Отражающей функцией системы (1.1) назовем дифференцируемую функцию , определяемую формулой  (*) или формулами .
Для отражающей функции справедливы свойства:
1). Для любого решения , системы  верно тождество
;                                                    (1.2)
2). Для отображающей функции  любой системы выполнены тождества:
;                                                    (1.3)

3). Дифференцируемая функция  будет отражающей функцией системы (1.1) тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям в частных производных
            (1.4)
и начальному условию
.                                         (1.5)
Уравнение (1.4) будем называть основным уравнением (основным соотношением) для отражающей функции.
► Свойство 1) следует непосредственно из определения (*). Для доказательства свойства 2) заметим, что согласно свойству 1) для любого решения  системы (1) верны тождества . Из этих тождеств в силу того, что через каждую точку  проходит некоторое решение  системы (1.1), и следуют тождества (1.3).
Приступим к доказательству свойства 3). Пусть  – отражающая функция системы (1.1). Тогда для неё верно тождество (1.2). Продифференцируем это тождество по  и воспользуемся тем, что  – решение системы (1.1), и самим тождеством (1.2). Получим тождество
 
из которого в силу произвольности решения  следует, что  – решение системы (1.4). Начальное условие согласно свойству 2) так же выполняется.
Пусть некоторая функция  удовлетворяет системе (1.4) и условию (1.5). Так как этой системе и этому условию удовлетворяет так же и отражающая функция, то из единственности решения задачи (1.4) – (1.5) функция  должна совпадать с отражающей функцией. Свойство 3) доказано.
Основная лемма. Пусть правая часть системы (1.1)  – периодична по , непрерывна и имеет непрерывные частные производные по переменным . Тогда отображение за период для системы (1.1) можно найти по формуле
,
и поэтому решение  системы (1.1) будет  – периодическим тогда и только тогда, когда  есть решение недифференциальной системы
       (1.6)
В качестве следствия этой леммы докажем следующее предположение. Пусть непрерывно дифференцируемая функция    – периодична и нечетна по , т. е.  и . Тогда всякое продолжение на отрезок  решение системы (1.1) будет  – периодическим и четным по .
Для доказательства достаточно заметить, что функция  удовлетворяет уравнению (1.4) и условию (1.5). Поэтому она согласно свойству 3) является отражающей функцией рассматриваемой системы. Уравнение (1.6) в нашем случае вырождается в тождество, и ему удовлетворяет любое , для которого определено значение . Согласно основной лемме любое продолжимое на  решение системы (1.1) будет  – периодическим. Четность произвольного решения  системы (1.1) следует из тождеств , справедливых в силу свойства 1) отражающей функции.
2. Простейшая система
Простейшей называют систему вида
 (2.1),
где  – отражающая функция этой системы.
Теорема: Пусть  (2.2) простейшая система, тогда , где - отражающая функция системы (2.2).
Если система простейшая,
;
.
Замечание. Доказанная теорема позволяет нам определять, является данная нам система (2.2.) простейшей или нет. Для этого следует по системе (2.2.) записать соотношение (2.3.), из него определить функцию , обладающую свойством  и для неё проверить все соотношения. Если соотношения выполнены, то система простейшая.

3. Система чет-нечет
Рассмотрим систему
           (3.1)
Будем считать, что всюду в дальнейшем эта система удовлетворяет условиям:
а.) Функция  непрерывно дифференцируема, и поэтому, задача Коши для системы (3.1) имеет единственное решение;
б.) Правая часть системы (3.1)  – периодична по .
Лемма. Пусть система (3.1) удовлетворяет условиям а). и б). Тогда продолжимое на отрезок  решение  этой системы будет  – периодическим тогда и только тогда, когда
,
где  – есть нечетная часть решения .
Пусть  –  – периодическое решение системы (3.1). Тогда . Необходимость доказана.
Пусть  – решение системы (3.1), для которого . Тогда     , и поэтому . Таким образом, точка  есть неподвижная точка отображения за период, а решение  –  – периодическое.
Доказанная лемма вопрос о периодичности решения , сводит к вычислению одного из значений нечетной части . Иногда относительно  можно сказать больше, чем о самом решении . Это позволяет в таких случаях делать различные заключения относительно существования периодических решений у систем вида (3.1). Дифференцируемые функции ; , удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений. Прежде, чем выписать эту систему, заметим:
 (3.2)
Так как  решение системы (3.1). Заменяя в тождестве (3.2)  на  и учитывая, что производная четной функции – функция нечетная, а производная нечетной функции – функция четная, получаем тождество
                              (3.3)
Из тождеств (3.2) и (3.3) найдем производные:
;
.
Таким образом, вектор-функция
               (3.4)

Удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений порядка
: ;

При этом . Систему (3.5) будем называть системой чет-нечет, соответствующей системе (3.1) решение системы чет-нечет, как следует из условия а), однозначно определяется своими начальными условиями.
4. Примеры систем, семейства решений которых имеют постоянную четную часть
1 .
Найдем решение:
;
;








   
Таким образом:
Сделаем проверку:
;

Четная часть общего решения:
2 .
Найдем решение:
 





         


Таким образом:
Сделаем проверку: ;
; , четная часть общего решения
3 .
Найдем решение:







                                  
              .
Сделаем проверку:







 Таким образом:  Четная часть общего решения

Из данных примеров можем заметить, что решения систем записывается в виде:
 
где  и  – нечетные функции, а четная часть представлена константой.

 
                                                (4.1)
Системы вида (4.1) будут иметь семейства решений с постоянной четной частью.

5. Семейства решений с постоянной четной частью
Рассмотрим систему
                                     (5.1)
Надо выяснить, когда и при каких условиях семейства решений этой системы будут иметь постоянную четную часть . Иначе говоря, когда  не будет зависеть от .
Рассмотрим уравнение . Его решение
.
Возьмем отражающую функцию  системы (5.1), тогда, используя (1.2) можем записать четную часть следующим образом:
 (5.2)
Если четная часть будет представлена константой, то
.       (5.3)
Продифференцируем (5.2) и прировняем к (5.3). Получаем: . Учитывая (5.1), имеем:

.
Воспользуемся соотношением (1.4)
   
                                                             (5.4)
Таким образом, приходим к теореме:
Теорема: Если система вида  (5.1) имеет семейства решений с постоянной четной частью, то выполнено тождество
                                                   (5.4)

Заключение
Мы исследовали понятие «отражающей функции».
Для периодических решений дифференциальных систем и уравнений были использованы свойства симметричности (четность, нечетность и т.д.) как функций, задающих изучаемую систему, так и самих решений.
Были изучены семейства решений с постоянной четной частью.
На примерах мы убедились, что для различных систем, семейства решений которых имеет постоянную четную часть, была получена одинаковая четная часть общего решения.
Таким образом, в работе мы исследовали семейства решений линейной системы. Выяснили связь семейства решений этой системы с её отражающей функцией и её свойствами. Установили условия, при которых линейная система имеет общее решение, четная часть которого не зависит от времени.

Литература
1.    Арнольд В.И. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1971–240 с.
2.    Бибиков Ю.Н. «Общий курс дифференциальных уравнений», изд. Ленинградского университета, 1981–232 с.
3.    Еругин Н.П. «Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. 3-е издание», М. изд. Наука и Техника, 1979–744 с.
4.    Мироненко В.И. «Отражающая функция и периодические решения дифференциальных уравнений», г. Минск: изд. «Университетское», 1986–76 с.
5.    Понтрягин Л.С. «Обыкновенные дифференциальные уравнения», М.: Наука, 1970–331 с.