Министерство образования и науки РФ

Федеральное Агентство по образованию

ГОУ ПВО «Таганрогский государственный педагогический институт»
Курсовая работа

на тему:

«Интегралы, зависящие от параметра.»
                                                                  Выполнила: студентка ФМФ 33 гр.

                                                   Сыпко Галина Александровна.

                                                         Научный руководитель: ассистент

                        Анохина Е.Ю.

                                                                                                                   
                                                         Таганрог. 2009 г.
                                           Содержание
1   Введение…………………………………………………………………….3

2   Интегралы, зависящие от параметра…………………………...................4

      2.1  Несобственные интегралы…………………………………………….4

      2.2  Собственные интегралы, зависящие от параметра…………………11

     2.3   Несобственные интегралы, зависящие от параметра………………17

     2.4   Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра…..21

     2.5  Вычисление интегралов, зависящих от параметра………………….25

3  Список литературы…………………………………………………………27
                                       
1 Введение.

Математический анализ - общеобразовательная математическая дисциплина, объектом изучения которой является большая часть математики, связанная с понятиями функции, производной  и интеграла. Цель дисциплины «Математический анализ»- ознакомление с фундаментальными методами исследования переменных величин посредством анализа бесконечно малых, основу которого составляет теория дифференциального и интегрального исчисления.  

Объектами изучения в данной дисциплине являются прежде всего функции. С их помощью могут быть сформулированы как законы природы, так и разнообразные процессы, происходящие в технике. Отсюда объективная важность математического анализа как изучения функций.
                                2 Интегралы, зависящие от параметра.

2.1Несобственные интегралы.

Несобственные интегралы первого рода.

Пусть f :[a, +R и интегрируема по Риману на любом отрезке [a, A] (A(а,Формальное выражение



назовем несобственным интегралом первого рода.

Определени2.1 Несобственный интеграл первого рода назовем сходящимся, если существует



В этом случае будем говорить, что число I является значением интеграла и писать



Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

При аналогичных предложениях определим несобственные интегралы

 и

Пример.2.1. Исследовать на сходимость интеграл



∆Пусть  тогда



Если , то существует конечный  то есть интеграл J сходится, причем  Если  то  и поэтому интеграл J расходится. При  интеграл также расходится, так как  при

Таким образом, интеграл J сходится при   и расходится при ▲

Теорема 2.1(критерий Коши) Для сходимости несобственного интеграла



Необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши

    (1)
○ Обозначим         

           (2)

Тогда сходимость интеграла J означает существование конечного предела функции  при  а этот предел, согласно критерию Коши для функций, существует в том и только том случае, когда функция F удовлетворяет условию

     (3)

Из формулы (2) в силу свойств интеграла следует, что



Поэтому условие (3), являясь необходимым и достаточным для сходимости интеграла J, выполняется тогда и только тогда, когда выполняется условие (1), если взять ●

Если использовать определение предела функции по Гейне, то можно

сформулировать

Предложение 2.1   сходится тогда и только тогда, когда

для любой последовательности →+∞,  последовательность интегралов  сходится

Определение 2. 2. Назовем интеграл  абсолютно сходящимся, если сходится интеграл

Теорема 2.2. Если  сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство. Так как интеграл сходится абсолютно, то по критерию Коши выполняется условие


Но тогда и



При любых ■

Определение 2.3. Если  сходится, но не сходится абсолют-

но, то будем называть его условно сходящимся.

Теорема 2.3 (Вейерштрасс). Пусть функции f, g: [а; +∞) →R, интегрируемы по Риману на [а; А] при любом  А > а,  для всех  и  сходится. Тогда   тоже сходится  и притом абсолютно.

Доказательство. Так как  сходится, то по критерию Коши   Но тогда при А’, А” >  имеем:



Из полученной оценки, в силу критерия Коми, вытекает и сходимость и абсолютная сходимость интеграла от f(x) •
Замечание 2.1. Неравенство   в формулировке теоремы может выполняться лишь для , где b>a. Это вытекает из того, что всегда можно представить

                         

Первый интеграл в этом представлении не особенный, а ко второму можно применить доказанную теорему.

Пример 2.2 Рассмотрим интегралы  

Решение. Так как  а  сходится, если р> 1 (пример2.1) то и  сходится, и притом абсолютно, при р > 1. Второй интеграл рассматривается

аналогично. ■
Теорема 2.4 (Дирихле) Пусть функции f, g:  и интегрируемы по Риману

на [а; А] при любом А > а. Тогда сходится, если выполнены следующие

 два условия:

1)  ограничен на [а; +∞);

2) функция g(x) монотонно стремится к нулю при

Доказательство. По первому условию существует постоянная М такая,

что . По второму условию  такое, что при А >  будет выполняться неравенство  . По второму же условию функцию g(x) можно считать неотрицательной. Возьмём  и применим к интегралу  вторую теорему о среднем значении (формулу Боннэ), согласно которой найдётся  такое, что



Но тогда, поскольку



справедлива оценка

        



для любых  А’, А” > . По критерию Коши интеграл сходится. ■

Теорема 2.5 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞)→R и интегрируемы по Риману на [а; А] при любом А > а. Тогда  сходится, если выполнены следующие два условия:

1)  сходится;

2) функция g(x) монотонна и ограничена на [а; +∞).

Доказательство. В силу второго условия существует.

Тогда

                                    

Первый из интегралов справа сходится по признаку Дирихле, поскольку

монотонно стремится к нулю при х→+∞, а второй сходится в силу условия 1 доказываемой теоремы. ■
Замечание 2.2 При доказательстве теоремы Абеля было использовано очевидное свойство

несобственных интегралов: если сходятся интегралы  и , то сходится и, при этом

                                        =+

Пример 2.3 Вернемся к рассмотренным выше примерам  

Решение. По признаку Дирихле эти интегралы сходятся при р > 0, поскольку при этом условии дробь ↓ 0, а интегралы  очевидно, ограничены. ■

Пример 2.4 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл сходится по признаку Абеля. Действительно,

сходимость интеграла  установлена в предыдущем примере, а

функция arctg х монотонна и ограничена. ■

                   

                                 Несобственные интегралы второго рода
         Пусть функция f : (а; b] →R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b] при любом 0<δ<b-a.

Формальное выражение

                                              

назовём несобственным интегралом второго рода.
Определение 2.4 Несобственный интеграл второго рода назовём сходящимся, если существует



В этом случае будем говорить, что число I являемся значением интеграла и писать


Если же указанный предел равен бесконечности или вовсе не существует, то будем говорить, что интеграл расходится.

       Аналогично определяется



если функция f определена на [а; b), интегрируема на [а; b-ξ] при любом 0<δ<b-a и неограниченна в окрестности точки b.

Если же функция f определена на [а; b]\{c}, а < с < b, неограниченна в окрестности точки с, но интегрируема на отрезках [а; с-δ] и [с-δ; b] при любом допустимом положительном δ, то определим



Пример 2.5 сходится при р<1 и расходится при р.

Теорема 2.6 (критерий Коши) Если функция f: (a; b]→R, неограниченна в окрестности точки а, но интегрируема по Риману на [а + δ, b]

при любом О<δ<δ-a, то  сходится тогда и только тогда, когда  такое, что а’, а” : а <а’, а” < а + δ. Будет выполняться условие

Это утверждение доказывается так же, как и аналогичное утверждение

для несобственных интегралов первого рода. Так же вводится понятие

абсолютной и условной сходимости и устанавливается соотношение между ними. Так же формулируется и доказывается признак сходимости Вейерштрасса.
                                

            Интегралы в смысле главного значения 

Определение 2.
5 Пусть функция f: R→ R, интегрируема по Риману на любом конечном отрезке, но несобственный интеграл

не существует. Тогда, если существует , мо он называется интегралом в смысле главного значения и обозначается символом


(p.)

Определение 2.6 Пусть функция f: [а;b ]\{с} → R, а <
с
<

b
, неограниченна в окрестности точки с, интегрируема по Риману на отрезках

[а; с — δ] и [с + δ; b] при любом δ> 0, но  не существует. Тогда, если существует

 то он называется интегралом в смысле главного значения н обозначаемся символом

(p.)

Пример 2.6 Рассмотрим

Решение. Это — расходящийся интеграл второго рода, поскольку показатель степени        p =1. Однако



Следовательно, рассматриваемый интеграл существует в смысле главного значения и

(p.) ■

Пример 2.7 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл расходится, так как подынтегральная функция f(х)~. Но

 Следовательно, этот интеграл существует в смысле главного значения и (p.) ■

Доказательство. По критерию Коши для несобственных интегралов

первого рода (см. 2.1) для любого > 0 найдётся такое, что для

любых  будет выполняться неравенство  Но тогда для любого у , для любых имеем:

Остаётся применить теорему 2.12. .

Пример 2.11 Рассмотрим

Решение. Этот интеграл сходится равномерно на R, так как имеет место

Оценка  а  сходится. ■

Теорема 2.14 (Дирихле) Пусть функции f, g: [а; +∞) х Y→ R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у . Тогда

 сходится равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:
         1) равномерно ограничен на [а; +∞), то есть, существует постоянная М такая, что для любых А> а и у



2)функция у(х, у) монотонно по х при каждом у  и равномерно по у  стремимся к нулю при х→+∞.

Доказательство. Доказательство этой теоремы такое же, как и доказательство теоремы 2.4, нужно лишь проследить, чтобы все оценки выполнялись равномерно по параметру.

   По первому условию существует постоянная М такая, что для всех

A> а и у  имеет место оценка:

     (2.16)
  По второму условию для любого  > 0 найдётся (> а) такое, что

для любых А>  и у  выполнено

        (2.17)

Возьмём и применим к интегралу вторую теорему о среднем значении (только на этот раз в общем виде, поскольку неизвестен знак g(х, у)), согласно которой найдётся А = А(у), А  [А’, А”], такое, что

 (2.18)

Оценим (2.18) с помощью (2.16) и (2.17).





для любого у из множества Y.

   Используя критерий Коши, получаем требуемое утверждение. ■
Теорема 2.15 (Абель) Пусть функции f, g : [а; +∞) х Y→R и

интегрируемы по Риману на [а; А] при любых А > а и у. Тогда

 сходимся равномерно на Y, если выполнены следующие два условия:

1)  сходимся равномерно на множестве Y;

2)функция g(х, у) монотонна по х при каждом у  и равномерно

по у  ограничена, то есть, существует постоянная М такая, что

для всех х  [а; +∞) и у.

Пример 2.12 Рассмотрим , где b> 0 постоянная, а параметр а удовлетворяет условию

Решение. Положим f(x,a)= sinax, g(x,a) Тогда




при х → +∞, и это условие (ввиду независимости функции g от а) вы-

полнено равномерно по а.

 Так как оба условия признака Дирихле выполнены, то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области. ■

Пример 2.13 Рассмотрим  (a≥0)

Решение. Положим f(x, а) = , g(х, а) = . Так как

сходится равномерно по а (ввиду его отсутствия) по признаку Дирихле,

а функция , очевидно, монотонна по х и при х ≥ 0, у ≥0 ограничена,

то рассматриваемый интеграл сходится равномерно в указанной области

по признаку Абеля.■
                    2.4   Свойства несобственных интегралов, зависящих

от параметра
         Изучим свойства несобственных интегралов первого рода, зависящих

от параметра, ограничившись простейшим случаем: множество Y есть

отрезок [с; d] вещественной оси. Введём обозначение


и докажем предварительно следующую лемму.

Лемма 2.1 Если интеграл (2.13) сходится равномерно на множестве Y

то последовательность функций
,()         (2.19)

тоже равномерно сходится на множестве Y к функции I(y).

Теорема 2.16 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на П,

а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], мо функция

I(у), определяемая этим интегралом, непрерывна на [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n  N) непрерывны на отрезке [с; d]. По лемме 2.1 последовательность функций I(y) (n  N)

сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции ‚I(у). Но тогда по теореме о пределе равномерно сходящейся последовательности непрерывных

функций функция I(у) непрерывна на отрезке [с; d]. ■

Следующая теорема является в некотором роде обратной к предыдущей.

Теорема 2.17 (Дини) Если функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна П, а функция I(у), определяемая интегралом (2.13), непрерывна на отрезке [с; d], то интеграл (2.13) сходится равномерно на

отрезке [с; d].

Доказательство. По теореме 2.7 функции I(y) (n  N) (см. (2.19))

непрерывны на отрезке [с; d]. Так как функция f(x, у) неотрицательна,

то последовательность функций I(y) (n  N)  монотонно не убывает.

Но тогда, поскольку предельная функция ‚I(у) этой последовательности тоже непрерывна, к ней можно применить теорему Дини для последовательностей, согласно которой последовательность I (у) сходится к

функции I(у) равномерно на отрезке [с; d]. Последнее означает, что для

любого  > 0 найдётся номер n такой, что при n > n для всех у  [с; d]

справедливо неравенство .

Положим  и возьмём . Тогда, учитывая неотрицательность функции f(x, y), для всех у  получаем:





и равномерная сходимость интеграла доказана. ■

Теорема 2.18 Если функция f(x, у) определена и непрерывна на

а интеграл (2.13) сходится равномерно на отрезке [с; d], то функция

I(у), определяемая этим интегралом, интегрируема на [с; d] и справедливо равенство

       (2.20)
Доказательство. Снова рассмотрим последовательность I(у). По лемме 2.1 она сходится равномерно на отрезке [с; d] к функции I(у), а по теореме 2.8 функции последовательности интегрируемы на отрезке [с; d].

Тогда по теореме об интегрируемости предельной функции равномерно

сходящейся последовательности функция I(у) интегрируема на отрезке [с; d] и




Возможность изменения порядка интегрирования следует из той же

 теоремы 2.8. ■

Теорема 2.19 Ecли функция f(x, у) непрерывна на множестве П и

имеет на нём непрерывную частную производную (х, y), интеграл (2.13) сходится, а интеграл

(2.21)

сходится равномерно на [с; d], то функция I(у) дифференцируема на отрезке [с; d] и справедливо равенство

       (2.22)
 Доказательство. Рассмотрим последовательность функций I(y). По

условию теоремы эта последовательность сходится на отрезке [с; d] (поскольку сходится интеграл (2.13)). По теореме 2.9 функции I(у) ( N)

дифференцируемы на отрезке [с; d], а по лемме 2.1 последовательность

производных I(у) сходится на этом отрезке равномерно. Но тогда по

теореме о дифференцируемости предельной функции равномерно сходящейся последовательности функция I(у) дифференцируема на отрезке

[с; d] и

■

В некоторых случаях бывает необходимо изменить порядок интегрирования, когда и переменная х и параметр у изменяются на бесконечных

промежутках. Пусть

Теорема 2.20 Пусть функция f(x, у) непрерывна и неотрицательна на К. Интегралы
      (2.23)
оба сходятся и являются непрерывными функциями соответственно

на [с; +∞) и [а; +∞). Тогда равенство
  (2.24)
справедливо при условии существования одного из повторных интегралов.

Доказательство. Допустим, что существует левый из интегралов в равенстве (2.24). Покажем, что в таком случае существует и правый интеграл, и что они равны. Для этого достаточно установить, что для любого

с > 0 найдётся А такое, что для любого А> А будет выполняться неравенство

        

 (2.25)
Преобразуем левую часть (2.25). Так как для интеграла

выполнены условия теоремы Дини (теорема 2.17), то он равномерно сходится на любом сегменте [а; А], следовательно по теореме 2.18



Поэтому






где число С пока не определено.

Выберем > О и оценим оба последних интеграла. Так как



сходится, найдётся С такое, что для любого С> С будет иметь место

неравенство



Но тогда, ввиду неотрицательности функции f (x, y), каково бы ни было

А ≥ а, и

      (2.26)
Выберем и зафиксируем С > С и оценим первый интеграл. По теореме Дини сходится равномерно на отрезке [с; С],

поэтому существует  такое, что если А> , то для любого у [с; С]



Поэтому

    (2.27)
Итак, если А> , то, используя (2.26), (2.27), получаем:




Оценка (2.25) получена, следовательно, теорема доказана. ■
2.5 Вычисление интегралов, зависящих от параметра

Рассмотрим интеграл, зависящий от параметра α:

Укажем без доказательства, что если функция f(x,α) непрерывна по x на отрезке , то функция


Является непрерывной функцией на отрезке . Следовательно, функцию I(α) можно интегрировать по α на отрезке:



Выражение, стоящее справа, есть двукратный интеграл от функции f(x,α) по прямоугольнику, расположенному в плоскости Oxα. Можно изменить порядок интегрирования в этом интеграле:



Эта формула показывает, что для интегрирования интеграла, зависящего от параметра α, достаточно проинтегрировать по параметру α подынтегральное выражение. Эта формула также бывает полезна при вычислении определенных интегралов.

Пример 2.14 Показать, что интеграл  сходится, и вычислить этот интеграл.


 ∆ Обозначим  Тогда

 

Так как существует конечный  то интеграл J существует и сходится (по определению), причем .▲

Пример2.15 Вычислить интеграл 

Неопределенный интеграл от подынтегральной функции не берется в элементарных функциях. Для его вычисления рассмотрим другой интеграл, который можно легко вычислить:

  (α>0).

Интегрируя это равенство в пределах от α=a до α=b, получим



Меняя порядок интегрирования в первом интеграле, перепишем это равенство в следующем виде:



Откуда, вычисляя внутренний интеграл, получаем

■
3Литература
1.     Тер-Крикоров А.М., Курс математического анализа: Учебное пособие для вузов. -2-е изд, М.:Физмалит: Лаборатория Базовых Знаний, 2003.

2.     Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учебное пособие для втузов.т.2,13-е изд. М.: Наука , Главная редакция физико-математической литературы, 1985.

3.     Ильин В.А., Позняк Э.Г., Основы математического анализа. Части 1,2, М.: Наука, 1971, 1973.

4.     Рудин У., Основы математического анализа, М.: Мир, 1966.

5.     Зорич В.А., Математический анализ. Части 1,2, М.: Наука, 1981, 1984.

6.     Фихтенгольц Г.М., Основы математического анализа. Тома 1.2, М.: Наука, 1968.