Министерство образования РБ
Учреждение образования
« Гомельский Государственный
университет имени Ф. Скорины »

 

Математический факультет
Кафедра дифференциальных уравнений
Курсовая работа
«Уравнения равновесия»
Исполнитель:
Студентка группы М-41 ____________ Поляк Е. М.
Научный руководитель:
Кандидат физико-математических наук
 ____________ Вересович П.П.
Гомель 2006

Содержание
  Введение  3
Постановка задачи  4
Уравнения равновесия  5
Решение уравнений равновесия  12
Заключение  16
Список использованной литературы   17

Введение

Актуальным направлением научно-технического прогресса является развитие и широкое использование возможностей современных высокопроизводительных компьютеров, сетей мультипрограммных ЭВМ и на этой основе - применение математических методов моделирования в научных исследованиях. Развитие вычислительной техники в Республике Беларусь приводит к необходимости создания систем и сетей ЭВМ, эффективно обслуживающих запросы различных пользователей. Благодоря задачам, связанным с математическим моделированием мультипрограммных вычислительных систем и анализом их производительности, с проектированием и анализом сетей передачи данных и сетей ЭВМ теория сетей массового обслуживания (СМО) является сравнительно новым и быстро развивающимся разделом теории массового обслуживания.
Исходным материалом для аналитического исследования СМО является стационарное (инвариантное) распределение вероятностей состояний. Ввиду сложности и многомерности случайных процессов, описывающих функционирование таких сетей, большинство аналитических результатов связано с получением стационарного распределения в форме произведения множителей, характеризующих стационарное распределение отдельных узлов сети.
Актуальным вопросом, связанным с исследованием СМО является доказательство инвариатности стационарного распределения таких сетей относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, позволяющее при проектировании и эксплуатации реальных сетей, считать, что обслуживание в узлах имеет наиболее простое для анализа распределение - экспоненциальное.

Постановка задачи

Сеть состоит из двух приборов, на каждый из которых поступает простейший поток с параметрами  и  соответственно. В случае, если прибор занят, заявка, поступающая на него выбивает заявку находящуюся на приборе, и та становится в очередь на дообслуживание. После обслуживания на I приборе заявка с вероятностью  уходит из сети, а с вероятностью  поступает на II прибор. Аналогично, после обслуживания на II приборе заявка с вероятностью  уходит из сети, а с вероятностью  поступает на I прибор.
Пусть  - число заявок в очереди на I приборе,  - число заявок в очереди на II приборе,  - функция распределения времени обслуживания -ой заявки на I приборе,  - функция распределения времени обслуживания -ой заявки на II приборе. Предполагается, что
 =
 =  
Требуется доказать, что стационарное распределение  не зависит от вида функций распределения времени обслуживания . При этом можно считать, что
,
где

, ,
т.е. когда  - экспоненциальны.

Уравнения равновесия

Введем случайный процесс
,
где  - число заявок в очереди на I приборе в момент времени ,  - число заявок в очереди на II приборе в момент времени ,  -время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента , стоящая i-ой в очереди I прибора,  -время, которое еще будет дообслуживаться заявка с момента , стоящая j-ой в очереди II прибора.
Пусть существует стационарное эргодическое распределение процесса  и процесса , т.к. процесс  - это процесс , дополненный непрерывными компонентами до того, чтобы быть марковским.
Изучим поведение процесса  в устойчивом режиме. Пусть

Введем в рассмотрение событие А, состоящее в том, что

 

а) Предположим, что за время от  до  не было поступления требований. Тому, чтобы  не изменило за время  своего значения и при этом выполнилось событие А, отвечает выражение:

 
б) Тому, что за время от  до  на 1-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:

 
Тому, что за время от  до  на 2-ом приборе обслужена заявка и ушла из сети, отвечает слагаемое:

 
в) Тому, что за время от  до  на 1-ый прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем , где  - определяется моментом поступления заявки внутри интервала . Этому случаю отвечает слагаемое:

   
Тому, что за время от  до  на 2-ой прибор поступила заявка. Количество времени на дообслуживание этой заявки должно быть не больше, чем , где  - определяется моментом поступления заявки внутри интервала . Этому случаю отвечает слагаемое:

   
г) Если в интервале  заявка окончила свое обслуживание на I приборе и перешла на II, то время на ее дообслуживание II прибором должно быть не больше, чем , где  - определяется моментом поступления заявки внутри интервала .


 
Если в интервале  заявка окончила свое обслуживание на II приборе и перешла на I, то время на ее дообслуживание I прибором должно быть не больше, чем , где  - определяется моментом поступления заявки внутри интервала .


 
Наконец, остальные случаи, благодаря событию А сводятся к тому, что за время  либо поступало, либо обслужено более одной заявки, или заявки поступали и обслуживались. Для простейшего входящего потока вероятность поступления двух и более заявок за время  есть . Если же мы будем рассматривать слагаемые, соответствующие возможности окончания обслуживания в сочетании с поступлением заявок, то, очевидно, что эти слагаемые есть . Таким образом, приходим к следующим соотношениям:

 
 
 
 


 



 
Вводя обозначение


 
и учитывая, что



 




,
последнее соотношение перепишется в виде
























 
Рассматривая все слагаемые в последнем соотношении как сложные функции от , разлагаем их в ряд Тейлора в окрестности 0 с остаточным членом в форме Пеано:


.
После чего приводим подобные слагаемые и устремляем  к . Тогда вводя обозначение
 
и учитывая, что
,
,
,
получаем, что свободные члены сократились, а слагаемые, содержащие своим сомножителем  образуют уравнениям равновесия.
Таким образом, приходим к уравнениям равновесия:













.

Решение уравнений равновесия

Покажем, что  удовлетворяет нашим уравнениям равновесия, где  - решение для случая, когда  и  - экспоненциальны, т.е.
,
.

Для этого распишем все частные производные функции .





.
С учетом вида функции  уравнения равновесия перепишутся в виде






.

Подставив  в это уравнение и, учитывая, что


 
приходим к выводу, что функция

.
есть неотрицательное, абсолютно-непрерывное решение исходных уравнений равновесия.
Отсюда следует, что стационарное распределение  не зависит от вида функций распределения времени обслуживания  и , поскольку , при этом можно считать, что
,
где
, ,
т.е. когда  и  - экспоненциальны.

Заключение

Таким образом, для рассматриваемой сети массового обслуживания установлена инвариантность стационарного распределения относительно функционального вида распределений длительности обслуживания в узлах, т.е. установили, что стационарное распределение  не зависит от вида функций распределения времени обслуживания  и , если известно, что для них выполняется следующие ограничения:
 =
 =  
При этом, можно считать, что функции распределения времени обслуживания  и  имеют экспоненциальный вид.

Список использованной литературы

1. Буриков А.Д., Малинковский Ю.В., Маталыцкий М.А.//Теория массового обслуживания: Учебное пособие по спецкурсу.-Гродно: 1984г.-108с.
2. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. // Введение в теорию массового обслуживания.-Москва: Наука. 1966г.-432с.