ГАРМОНИЧЕСКИЕ И БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Содержание

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1. Гармонические функции.

1.1. Свойства гармонических функций.

Глава 2. Бигармоническая функция.

1. 
   Единственность решения.
   
2. 
   Представление бигармонических функций через гармонические функции.
   
3. 
   Решение бигармонического уравнения для круга.
   

Список используемой литературы

Введение

Теория гармонических функций представляет собой один из наиболее изящных и стройных разделов классического анализа. Будучи во многих отношениях естественным обобщением линейных функций одной переменной, гармонические функции являются в определенном смысле простейшими функциями нескольких переменных. Вместе с тем запас таких функций весьма богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

Однако этим не исчерпывается значение гармонических функций в анализе. Ряд свойств гармонических и бигармонических функций, методы исследования и аппарат теории, рассмотренные в данной работе, служат образцом для постановки задач и получения тех или иных результатов, относящихся к другим разделам анализа, и прежде всего к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического вида.

В традиционном университетском курсе математического анализа по различным причинам не находится места для систематического изложения основных факторов теории гармонических и бигармонических функций. Содержащиеся там сведения о гармонических и бигармонических функциях, 

как правило, являются весьма скудными, носят эпизодический характер и разбросаны в различных местах, где они приводятся обычно на втором плане. Поэтому, при написании работы был взят материал из книг, посвященных дифференциальным уравнениям математической физики, векторному анализу, теории аналитических функций и другие.

Место, которое занимает теория гармонических функций в анализе, ее непрекращающееся развитие в различных направлениях и расширение области применений оправдывают стремление к ознакомлению с этой теорией в её классическом варианте, где уже достаточно четко намечены некоторые возможные точки зрения и сформулированы типичные методы, во многом определяющие направление ряда современных исследований. Именно с этой целью и написана данная работа.

Глава 1. Гармонические функции.

Гармонической в области D функцией называется действительная функция ux,y двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

∆u=∂2u∂x2+∂2u∂y2=0

(∆=∂2∂x2+∂2∂y2 –символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация

k=1nαkukx,y

гармонических функций ukx,y с действительными постоянными коэффициентами αk снова является гармонической функцией.

1. 
   Свойства гармонических функций.
   



Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1 . Действительная и мнимая части произвольной функции fx=ux,y+iυ(x,y),однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши-Римана

∂u∂x=∂υ∂y , ∂u∂y=-∂υ∂x .

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения ∂u∂x=∂υ∂y , ∂u∂y=-∂υ∂x можно дифференцировать по x и y. Дифференцируя первое из них по x, а второе по y и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных находим:

∂2u∂x2=∂2υ∂x∂y=-∂2u∂y2 ,

откуда

∆u=∂2u∂x2+∂2u∂y2=0.

Для функции υ(x,y) доказательство аналогично.

Две гармонические в области D функции u(x,y) и υ(x,y), связанные условиями Коши – Римана, называются сопряженными.

Теорема 2. Для всякой функции u(x,y), гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию υ(x,y) .

В самом деле, рассмотрим интеграл

υ0x,y=z0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy,

где z0=x0+iy0- фиксированная, а z=x+iy- переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа ∂∂y-∂u∂y+∂∂x∂u∂x, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки z; мы и обозначаем эту функцию υ0x,y. Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов,

∂υ0∂x=limn→0υ0x+h,y-υ0x,yh=limn→01hzz+h-∂u∂ydx=-∂u∂y

( мы можем брать интеграл от z до z+h по горизонтальному отрезку, на котором dy=0); аналогично, ∂υ0∂y=∂u∂x . Следовательно, υ0x,y и является искомой функцией, сопряженной с функцией ux,y. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с ux,y, дает формула

υx,y=z0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+C,

где С – произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области D интеграл υx,y=z0 Lz-∂u∂ydx+∂u∂xdy+C определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L и L, соединяющих точки z0 и z, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т.е. если внутри области, ограниченной L и L, имеются точки не принадлежащие к D). Можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции υx,y, определяемой интегралом υx,y=z0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+C, имеет вид:

υx,y= z0 L0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+N1Г1+N2Г2+…+NnГn+C,

где Nk- произвольные целые числа и Гk- интегралы вдоль замкнутых контуров γk, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D:

Гk=γk -∂u∂ydx+∂u∂xdy.

Постоянные Гk называются периодами интеграла

υx,y=z0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+C,



или циклическими постоянными.

Если в некоторой области D’, лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции υx,y, определяемой формулой

υx,y= z0 L0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+N1Г1+N2Г2+…+NnГn+C, то эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с υx,y. поэтому функцию υx,y считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: ∂υ∂x=-∂u∂y , ∂υ∂y=∂u∂x; это вытекает из формулы υx,y= z0 L0z-∂u∂ydx+∂u∂xdy+N1Г1+N2Г2+…+NnГn+C.

Теорему2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2’. Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции fz; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Теорема 3. Любая гармоническая функция ux,y является аналитической функцией своих аргументов x и y , т.е. в окрестности каждой точки z0=x0+iy0 области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

ux,y=m, n=0∞cmn(x-x0)m(y-y0)n.

В самом деле, ux,y по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции fz, однозначной и аналитической в некоторой окрестности |z-z0|
fz=n=0∞cnz-z0n,

где cn=αn+iβn. Действительная часть общего члена ряда fz=n=0∞cnz-z0n , αn(x-x0)n-nn-12!x-x0n-2(y-y0)2+…+βn-nx-x0n-1y-y0+nn-1(n-2)3!x-x0n-3(y-y0)3+…, по абсолютной величине не превосходит |cn|x-x0+|y-y0|n, а так как по 

теореме Абеля ряд fz=n=0∞cnz-z0n абсолютно сходится в любом круге z-z0≤rn(x-x0)n-nn-12!x-x0n-2(y-y0)2+…+βn-nx-x0n-1y-y0+nn-1(n-2)3!x-x0n-3(y-y0)3+… будет абсолютно сходиться при x-x0+|y-y0|. Этот ряд и представляет собой ряд для ux,y. После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд
ux,y=m, n=0∞cmn(x-x0)m(y-y0)n.

Теорема доказана.

Теорема 4(о среднем). Если функция uz непрерывна в замкнутом круге радиуса r с центром в точке z и гармонична внутри этого круга, то

uz=12π02πuz+reiφdφ.

Доказательство вытекает непосредственно из формулы
ux,y=m, n=0∞cmn(x-x0)m(y-y0)n

отделением действительных частей.

Теорема 5. Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции uz является точкой максимума функции - uz,также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция uz достигает максимума во внутренней точке z0 области.

В окрестности точки z0 построим однозначную аналитическую функцию fz такую, что u=Re fz. Функция ef(z) аналитична и непостоянна, а ее модуль eu(z), по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области z0 . это противоречит принципу максимума. Теорема доказана.



Теорема 6. Если гармоническая во всей открытой плоскости функция uz ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна.

В самом деле, пусть uz ограничена сверху: uz<М. Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию fz такую, что u(z)=Re fz. По условию теоремы все значения функции ω=f(z) лежат в полуплоскости u<М, следовательно, fz постоянна, а значит, постоянна и uz.

Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций т.е. совокупностей точек, для которых uz=const.

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция uz имеет замкнутую линию уровня uz=u0, то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

В самом деле, в противном случае функция uz, непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения uz1 и наименьшего значения uz2. По теореме 5 точки z1 и z2 должны лежать на границе области, т.е. на линии уровня; следовательно, uz1=uz2, и функция uz постоянна.

Теорема 8. Любая достаточно малая окрестность точки z0 линии уровня uz=u0 разбивается этой линией на четное число 2n n≥1 секторов, в которых u(z) попеременно принимает значения, большие и меньшие u0.

Функция uz-u0 равна нулю в точке z0; подобрав к ней сопряженную функцию υ(z) так, чтобы υz0=0, получим аналитическую функцию fz=uz-u0+iυ(z), также равную нулю в точке z0. Обозначим через n порядок этого нуля, тогда в окрестности точки z0 имеем fz=cnz-z0n+cn+1z-z0n+1+…, cn≠0 и, следовательно, uz= u0+Re fz=u0+Arnsinnφ+B+o(rn), где положено z-z0=reiφ, A≠0 и В- некоторые постоянные и o(rn) означает малую порядка выше rn при z→0. Отсюда видно, что для достаточно малых r при изменении φ от 0 до 2π разность u-u0 обращается в нуль 2n раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.



Теорема 9. Если функция u(z) непрерывна в области D и в любой точке z для достаточно малых r

uz=12π02πuz+reiφdφ ,

то функция u(z) гармонична в D.

Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения. Пусть z0- произвольная точка D и D0- замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку z0 внутри. Построим гармоническую функцию u0(z), принимающую на границе С0 области D0 те же значения, что и функция uz, и обозначим Uz=u0z-u(z).

По построению и условиям доказываемой теоремы функция Uz непрерывна в D0 и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение Uz в центре любого круга, принадлежащего D0, равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции uz и u0z : первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

Отсюда вытекает, что функция Uz не может достигать экстремума во внутренних точках D0.но так как непрерывная в замкнутой области функция Uz должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе D0. А так как на границе всюду Uz=0, то и максимальное и минимальное значения Uz равны нулю, а следовательно, Uz≡0 всюду в D0. Это означает, что всюду в D0 функция uz совпадает с гармонической функцией u0z и, в частности, гармонична в точке z0. Так как z0- произвольная точка D , то теорема доказана.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций u0z, u1z, …, unz, …, гармонических в области D и непрерывных в D. Если ряд k=0∞ukz равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.



Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда k=0∞ukz на границе области D следует, что для любого ε>0 найдется целое число N такое, что для любого n>N и любого целого положительного р и всех точек ζ границы

un+1ζ+un+2ζ+…+un+pζ<ε
.

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

un+1z+un+2z+…+un+pz<ε .

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда k=0∞ukz. Остается показать, что сумма этого ряда uz- гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого r имеем:

02πuz+reiφdφ=02πk=0∞ukz+reiφdφ=k=0∞02πukz+reiφdφ

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны 2πuk(z), следовательно,

02πuz+reiφdφ=2πk=0∞ukz=2πu(z)

и по теореме 9 функция u(z) гармонична в точке z. Теорема доказана, так как z- произвольная точка области D.

Теорема 11. Если функция
uz гармонична в области D и z=gζ- аналитическая в некоторой области ∆ функция, значения которой лежат в D, то сложная функция ug(ζ)=U(ζ)гармонична в ∆.

В самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию fz, для которой u=Re f(z). Функция fg(ζ)=F(ζ), очевидно, аналитическая в области ∆ и, следовательно, Uζ=Refg(ζ)=Re F(ζ) гармонична в этой области.



Теорема 12. Если функция
uz гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в D, то

С ∂u∂n ds=0 ,

где C – граница области D и ∂∂n обозначает производную в направлении нормали к C, a ds – дифференциал дуги.

Построим в D сопряженную к u гармоническую функцию υ; она однозначна в силу односвязности D. Условия Коши – Римана можно записать в виде

∂u∂n=∂υ∂s ,

где ∂∂s обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а ∂∂n - производную в направлении нормали к ней ( так, что вращение от вектора n0 к s0 происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных , а следовательно, и их комбинаций ∂u∂n и ∂u∂s, равенство ∂u∂n=∂υ∂s имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С

С ∂u∂n ds=С ∂υ∂s ds=С ∂υ=0

в силу однозначности функции υ(z).

Глава 2. Бигармоническая функция.

Уравнение ∆∆u=0 называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом:

Найти функцию u(x,y), непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению ∆∆u=0 внутри S и граничным условиям на С

u|c=gs; ∂u∂n|c=hs,

где gs и hs - непрерывные функции дуги s.

При решение задачи ( ∂2u∂t2+a2∆ ∆=0 с граничными условиями u=0 и ∂u∂n=0 на границе, кроме того, функция u должна удовлетворять начальным условиям ux,y,0=φx,y; ∂u∂tx,y,0=Ψx,y ) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно,

ux,y,t=υx,yTt.

Подставляя это выражение в уравнение ∂2u∂t2+a2∆ ∆=0 и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения



ΔΔυ-λυ=0

При граничных условиях

υ=0, ∂υ∂n=0 на С.

1.1Единственность решения.

Докажем, что бигармоническое уравнение

∆∆u=0

при граничных условиях

u|c=gs; ∂u∂n|c=hs,

имеет единственное решение.

Пусть существует два решения u1 и u2. Рассмотрим их разность

υ=u1-u2.

Функция υ удовлетворяет бигармоническому уравнению ∆∆u=0 и однородным граничным условиям

u|c=0; ∂u∂n|c=0.

Применяя формулу Грина

G (Δφ∙Ψ-φ∆Ψ)dS=C Ψ∂φ∂n-φ∂Ψ∂nds

к функциям φ=υ,Ψ= Δυ, получаем:

G (Δυ)2dS=0,

откуда Δυ=0.

Принимая во внимание, что u|c=0, получаем υ≡0 и u1≡u2. Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями
u|c=gs; ∂u∂n|c=hs.

2. 
   Представление бигармонических функций через гармонические функции.
   

Докажем следующую теорему:



Если u1 и u2- две гармонические в некоторой области G функции, то функция u=xu1+u2 бигармонична в области G.

Для доказательства воспользуемся тождеством

∆φΨ=φ∆Ψ+ψ∆φ+2∂φ∂x∂ψ∂x+∂φ∂y∂ψ∂y.

Полагая φ=x, Ψ= u1, найдем ∆xu1=2∂u1∂x.

Применяя еще раз оператор ∆, учитывая, что ∆∆u2=0, получим:

∆∆(xu1+u2 )=0 .

Если область G такова, что каждая прямая параллельная оси x, пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции u найдутся такие гармонические функции u1 и u2, что u=xu1+u2.

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно установить возможность выбора функции u1, удовлетворяющей двум условиям:

∆u1=0, ∆u-xu10=0 .

Из условия ∆u-xu10=0 и формулы ∆xu1=2∂u1∂x следует:

∆u=∆xu1=2∂u1∂x.

Этому уравнению удовлетворяет функция

u1x,y=x0x12∆uξ,ydξ.

Так как ∂∂x∆u1=∆∂∂xu1=12∆∆u=0, то ∆u1 зависит только от y: ∆u1=υ(y).

Определим функцию u1y так, чтобы ∆u1=∂2u1∂y2=- υ(y), и положим u1=u1+u1. Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям ∆u1=0, ∆u-xu10=0 .

Рассмотрим другой вид представления гармонических функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри области G, в одной точке. Тогда любая 

бигармоническая в G функция u может быть представлена с помощью двух гармонических функций u1 и u2 в виде u=r2-r02u1+u2. Здесь

r2=x2+y2, а r0 - заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества
∆φΨ=φ∆Ψ+ψ∆φ+2∂φ∂x∂ψ∂x+∂φ∂y∂ψ∂y,

и соотношений ∆r2=4; ∂u1∂r=∂u1∂x∂x∂r+∂u1∂y∂y∂r.

2. 
   Решение бигармонического уравнения для круга.
   

Рассмотрим круг радиуса r0 с центром в начале координат и будем искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при r=r0 граничным условиям
u|c=gs; ∂u∂n|c=hs.

Как было указано выше искомую функцию можно представить в виде суммы u=(r2-r02)u1+u2,

где u1 и u2- гармонические функции. Из граничных условий находим:

u2|r=r0=g.

Отсюда видно, что u2 есть решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью интеграла Пуассона

u2=12π02π(r02-r2)gdαr2+r02-2rr0cos(α-θ).

Из второго граничного условия получаем:

2r0u1+∂u2∂r|r=r0=h.

Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что функция

2r0u1+rr0∂u2∂r

Удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому может быть выражена интегралом Пуассона

2r0u1+rr0∂u2∂r=12π02πr02-r2hdαr2+r02-2rr0cos(α-θ).



Продифференцировав u2=12π02πr02-r2gdαr2+r02-2rr0cos(α-θ) по r и подставляя значение ∂u2∂r в формулу 2r0u1+rr0∂u2∂r=12π02πr02-r2hdαr2+r02-2rr0cos(α-θ), найдем u1.

Заменяя в формуле u=(r2-r02)u1+u2 u1 и u2 их выражениями, получим:

u=12πr0r02-r221202π-hdαr2+r02-2rr0cos(α-θ)+02πgr0-rcos(α-θ)dαr2+r02-2rr0cos(α-θ)2.

Заключение.


Список используемой литературы

1. 
   Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., 1967;
   
2. 
   Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953;
   
3. 
   Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.
   
4. 
   Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962;
   
5. 
   Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968;
   
6. 
   Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;
   
7. 
   Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л. 1950;
   
8. 
   Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения;
   
9. 
   Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;
   
10. 
    Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, 3 изд., М., 1966, гл. 4;