МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«УССУРИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ»

Физико–математический факультет
Курсовая работа по математическому анализу

Тема: «Непрерывная, но не дифференцируемая функции»
Выполнила: Пляшешник Ксения

студентка 131 группы

Руководитель: Делюкова Я.В.
Уссурийск – 2011г.



Содержание

Введение

Курсовая работа посвящена изучению связи между непрерывностью и существованием производной функции одной переменной. Исходя из цели ставились задачи:

Изучить учебную литературу;

Изучить пример непрерывной функции, не имеющей производной ни в одной точке, построенной ван-дер-Варденом;

Прорешать систему упражнений.



Историческая справка

Ба́ртель Лее́ндерт ван дер Ва́рден (нидерл. Bartel Leendert van der Waerden, 2 февраля 1903, Амстердам, Нидерланды — 12 января 1996, Цюрих, Швейцария) — голландский математик.

Обучался в Амстердамском университете, затем в Гёттингенском университете, где на него огромное влияние оказала Эмми Нётер.

Основные работы в области алгебры, алгебраической геометрии, где он (наряду с Андре Вейлем и О.Зарисским) поднял уровень строгости, и математической физики, где он занимался приложением теории групп к вопросам квантовой механики (наряду с Германом Вейлем и Ю.Вигнером). Его классическая книга Современная алгебра (1930) стала образцом для последующих учебников по абстрактной алгебре и выдержала множество переизданий.

Ван дер Варден — один из крупнейших специалистов по истории математики и астрономии в Древнем мире. Его Пробуждающаяся наука (Ontwakende wetenschap 1950, русский перевод 1959) даёт развёрнутое изложение истории математики и астрономии в Древнем Египте, Вавилоне и Греции. В Приложении к русскому переводу этой книги опубликована статья «Пифагорейское учение о гармонии» (1943) — фундаментальное изложение пифагорейских взглядов на музыкальную гармонию.



Основные определения и теоремы

Предел функции в точке. Левые и правые пределы

Определение (предел по Коши, на языке ε-δ) Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если ∀ε>0 ∃δ>0 x∈ϵDf∩0 fx-A<ε.

Определение (на языке окрестности) Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой ε-окрестности числа A сущесвует δ - окрестность точки x0 такая, что как только xϵUδ0(x0), fx∈ Uε0A.

Определение (по Гейне) Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x0, если для любой последовательности xn, xn∈Df, xn≠≠x0, сходящейся к x0 ( то есть xn→x0), соответствующая последовательность значений функции сходится к числу A f(xn)→A.

Определение Число A называется левым пределом функции y=f(x) в точке x0, если ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Df∩x0-δ fx-A<ε.

Определение Число B называется правым пределом функции y=f(x) в точке x0, если ∀ε>0 ∃δ>0 ∀x∈Df∩x0 fx-B<ε.

Теорема (необходимое и достаточное условие существования предела)

Для того чтобы в точке x0 существовал предел функции y=f(x) необходимо и достаточно, чтобы существовали левые и правые пределы равные между собой.

Понятие производной. Односторонние производные.

Рассмотрим функцию y=fx, заданную на множестве X.

Возьмем ∀x0∈X, возьмем приращение ∆x. Дадим точке x0 приращение ∆x. Получим x0+∆x.



Вычислим значение функции в точках x0 и x0+∆x. fx0 и f x0+∆x.

Найдем приращение функции в точке x0.

∆y= f x0+∆x- fx0

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента ∆y∆x.

5. Перейдем к пределу lim∆x→0∆y∆x.

Если существует lim∆x→0∆y∆x, когда приращение аргумента стремится к 0,

причем приращение аргумента может быть как положительным, так и отрицательным, то этот предел называется производной в точке x0 и обозначают f'(x0). Он может быть и бесконечным.

Если существует конечный предел lim∆x→0∆x<0∆y∆x= f-'0, то его называют

левой (левосторонней) производной функции y=fx в точке x0, а если

существует конечный предел lim∆x→0∆x>0∆y∆x = f+'0, то его называют правосторонней производной функции y=fx в точке x0.

Функция fx имеет в точке x0 производную f'(x0) тогда и только тогда, когда в точке x0 совпадают ее левая и правая производные:

f'x0=f+'
(x0)=f-'(x0).

Рассмотрим функцию fx=x=x при x≥0 –x при x<0. Найдем односторонние производные в точке x0=0.

lim∆x→0-0f x0+∆x-fx0∆x=lim∆x→0-0f0+∆x-f0∆x=

=lim∆x→0-0f0+∆x-f0∆x=lim∆x→0-0∆x∆x==lim∆x→0-0∆x∆x=-1

lim∆x→0+0f x0+∆x-fx0∆x=lim∆x→0+0f0+∆x-f0∆x=

=lim∆x→0+0f0+∆x-f0∆x=lim∆x→0-0∆x∆x==lim∆x→0-0∆x∆x=1
Следовательно, f-'(
0)
=-1;
f+'
(x0)=1 и
f-'
(
0)≠ f+'
(
0)
, то есть в точке x0=0 функция производной не имеет.

Различные определения непрерывности функции в точке.

Определение 1 (основное) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0∈Df, если предел функции при x→x0 равен значению функции в этой точке.

limx→x0fx=f(x0)

Определение 2 (на языке ε-δ) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если ε, δ>0, такое что ∀x∈Df∩(x-x0<δ)=>fx-f(x0)<ε.

Определение 3 (по Гейне, на языке последовательности) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если для любой последовательности сходящейся к точке x0 соответствующая последовательность значений функции сходится к f(x0).

∀xn→x0=> f(xn)→f(x0)

Определение 4 (на языке приращений) Функция y=fx называется непрерывной в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Понятие дифференцируемой функции

Определение 1 Функция y=f(x), заданная на множестве X(x∈X), называется дифференцируемой в точке x0∈X, если ее приращение в этой точке ∆y можно представить как ∆y=A∙∆x+α(∆x)∙∆x (*), где A-const, независящая от ∆x, α(∆x)- бесконечно малая при ∆x→0.

Определение 2 Функция, дифференцируемая в любой точке множества, называется дифференцируемой на множестве.

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью



Теорема. Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в точке x0.

Доказательство.

Пусть задана функция y=fx. Функция дифференцируема в точке x0∈Dy=> ∆y=A∙∆x+α(∆x)∙∆x (*), где α-бесконечно малая, A=f'x0=const.

lim∆x→0∆y=lim∆x→0A∙∆x+α∆x∙∆x=Alim∆x→0+lim∆x→0(α∆x∙∆x)==A∙0 + 0=0

При ∆x→0=>∆y→0=>fx- непрерывна в точке x0.

Обратная теорема. Если функция непрерывна, то она дифференцируема.

Обратная теорема неверна.

fx=x в x0=0- не дифференцируема, хотя непрерывна.

Классификация точек разрыва

Определение Функция не являющаяся непрерывной в точке x0 является разрывной в точке x0, а саму точку x0 называют точкой разрыва.

Существуют две классификации точек разрыва: I и II рода.

Определение Точка x0 называется точкой разрыва I рода, если в этой точке существуют конечные односторонние пределы неравные друг другу.

Определение Точка x0 называется точкой устранимого разрыва, если fx0-0=fx0+0, но они не равны значению функции в точке x0. fx0-0=fx0+0≠f(x0)

Определение Точка x0 называется точкой разрыва II рода, если в этой точке односторонние пределы равны или один из односторонних пределов бесконечен или в точке x0 не существует предела.

fx0-0, fx0+0 – бесконечные;

fx0-0– бесконечный или fx0+0 – бесконечный;

в x0- не существует предела.

Признаки равномерной сходимости рядов

Признак Вейерштрасса.



Если члены функционального ряда n=1∞Unx=U1x+U2x+…++Unx+… (1) удовлетворяют в области X неравенствам Un(x)≤cn n=1,2,3,…, где cn - член некоторого сходящегося числового ряда n=1∞cn=c1+c2+…+cn+…, то ряд (1) сходится в X равнмерно.

Теорема 1 Пусть функции Unx n=1,2,3,… определены в промежутке X=a,b и все непрерывны в некоторой точке x=x0 этого промежутка. Если ряд(1) в промежутке X сходится равномерно, то и сумма ряда f(x) в точке x=x0 также будет непрерывна.


Пример непрерывной функции без производной

Первый пример такого рода был построен Вейерштрассом; его функция определяется рядом:

fx=n=0∞ancos(bnπx),

где 0<a<1, а b есть нечетное натуральное число (причем ab>1+32π). Этот ряд мажорируется сходящейся прогрессией 1∞аn, следовательно (признаки равномерной сходимости рядов), сходится равномерно, и его сумма является всюду непрерывной функцией от x. Кропотливым исследованием Вейерштрассу удалось показать, что тем не менее ни в одной точке для нее не существует конечной производной.

Здесь будет рассмотрен более простой пример ван-дер-Вардена, построенный по существу на той же идее, лишь колеблющиеся кривые у=cosωχ заменены колеблющимися ломаными.

Итак, обозначим через Uo(x) абсолютную величину разности между числом χ и ближайшим к нему целым числом. Эта функция будет линейной в каждом промежутке вида s2,s+12, где s-целое; она непрерывна и имеет период 1. Ее график представляет собой ломаную, он изображен на рис.1; отдельные звенья ломаной имеют угловой коэффициент ±1.
Положим, затем, для к=1,2,3,…:

Ukx=U0 (4kx)4k

Эта функция будет линейной в промежутках вида s2∙4k,s+12∙4k; она также непрерывна и имеет период 14k. Ее график также ломаная, но с более мелкими зубчиками; на рис.1(б), например, изображен график функции U1(x). Во всех случаях угловые коэффициенты отдельных звеньев ломаной и здесь равны ±1.

Определим теперь, для всех вещественных значений x, функцию f(x) равенством

fx=k=0∞Uk(x)

Так как, очевидно, 0≤Uk(x)≤12∙4k (k=0,1,2,…), так что ряд мажорируется сходящейся прогрессией k=0∞12∙4k, то (как и в случае функции Вейерштрасса) ряд сходится равномерно, и функция f(x) всюду непрерывна.

Остановимся на любом значении x=x0. Вычисляя его с точностью до 12∙4n (где n=0,1,2,…), по недостатку и по избытку, мы заключим его между числами вида:

Sn2∙4n≤x0 , где Sn-целое.

∆n=Sn2∙4n,Sn+12∙4n (n=0,1,2,…).

Очевидно, что замкнутые промежутки оказываются вложенными один в другой. В каждом из них найдется такая точка xn, что расстояние ее от точки x0 равно половине длины промежутка.

xn-x0=14n+1;

Ясно, что с возрастанием n варианта xn→x0.

Составим теперь отношение приращений

fxn-f(x0)xn-x0=k=0∞Ukxn-Uk(x0)xn-x0



Но при k>n, число 14n+1 есть целое кратное периодам14k функции Ukx, так что Ukxn=Uk(x0), соответствующие члены ряда обращаются в 0 и могут быть опущены. Если же k≤n, то функция Uk(x), линейная в промежутке Uk, будет линейной и в содержащемся на нем промежутке ∆n, причем

Ukxn-Uk(x0)xn-x0=±1 (k=0,1,…,n).

Таким образом, имеем окончательно fxn-f(x0)xn-x0=k=0n±1; иными словами, это отношение равно четному целому числу при нечетном n и нечетному числу при четном n. Отсюда ясно, что при n→∞ отношение приращений ни к какому конечному пределу стремится не может, так что наша функция при x=x0 конечной производной не имеет.



Решение упражнений

Упражнение 1 ([2], №909)

Функция f(x) определена следующим образом: fx=1+x для x≤0; fx=x для 02 . Исследовать непрерывность f(x) и выяснить существование f'x.

Решение

fx=1+x x≤0 x 02

На -∞;0 fx=1+x=> непрерывна как многочлен;

На (0;1) fx=x=> непрерывна как многочлен;

На (1;2) fx=2-x=> непрерывна как многочлен;

На (2;+∞) fx=3x-x2=> непрерывна как элементарная функция.

x=0,1,2 - точки подозрительные на разрыв

x=0

limx→0-01+x=1

limx→0+0x=0

f0=1+0=1

f0=f0-0≠f0+0

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке x0=0.

x=1

limx→1-0x=1
limx→1+02-x=1

f1=1

f1=f1-0=f1+0



Так как левый предел равен правому пределу и равен значению функции в точке => функция непрерывна в точке x0=1.

x=2

limx→2-0(2-x)=0
limx→2+03x-x2=2

f2=0

f2=f2-0≠f2+0
Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция разрывна в точке x0=2.

f'x=1 x<01 0-1 12

1 способ. В точке x=0 не существует конечной производной функции f'x. Действительно, предположим противное. Пусть в точке x=0 существует конечная производная функции f'0=>f(x) непрерывна в точке x=0 (по теореме 1: Если функция дифференцируема в точке x0, то она непрерывна.

2 способ. Найдем односторонние пределы функции f'x в точке x=0.

f-'0=lim∆x→0∆x<0f0+∆x-f(0)∆x=lim∆x→0∆x<01+∆x-1∆x=lim∆x→0∆x<0∆x∆x=0
f+'0=lim∆x→0∆x>0f0+∆x-f(0)∆x=lim∆x→0∆x>0∆x-1∆x=-∞

f-'0≠ f+'0=>f'x не существует в точке x=0

x=1

f-'1=lim∆x→0∆x<0f1+∆x-f(1)∆x=lim∆x→0∆x<01+∆x-1∆x=1
f+'1=lim∆x→0∆x>0f1+∆x-f(1)∆x=lim∆x→0∆x>01-∆x-1∆x=-1

f-'1≠ f+'1=>f'x не существует в точке x=1

x=2

f-'2=lim∆x→0∆x<0f2+∆x-f(2)∆x=lim∆x→0∆x<0-∆x-0∆x=-1
f+'1=lim∆x→0∆x>0f2+∆x-f(2)∆x=lim∆x→0∆x>02-∆x-∆x2∆x=∞

f-'2≠ f+'2=>f'x не существует в точке x=2

Упражнение 2
([1], №991)

Показать, что функция fx=x2sin1x при x≠00 при x=0 имеет разрывную производную.

Решение.

Найдем производную функции.

При x=0

f'x=0

При x≠0

f'x=x2sin1x'=2xsin1x+x2cos1x -1x2=2xsin1x-cos1x

limx→0f'x=limx→0(2xsin1x-cos1x)

Предел f'x не существует=>f'x разрывна в точке x=0.

limx→02xsin1x=0

Так как 2x – бесконечно малая функция, sin1x - ограниченная.

Докажем, что функция fx=cos1x в точке x=0 предела не имеет.



Для доказательства достаточно показать, что существуют две последовательности значений аргумента сходящиеся к 0, что xn не сходится к A.

xn(1)=12πnn→∞0

xn1:x1(1)=12π;x2(1)=14π; x3(1)=16π;…

fxn1:fx11=1,fx21=1,…,fxn1=1
limx→∞fxn1=1

xn(2)=1π2+2πkn→∞0

xn2: x1(2)=1π2+2π; x2(2)=1π2+4π ;…

{fxn(2):fx12=0,fx22=0,…,fxn2=0

limn→∞fxn1=0

0≠1

Вывод: функция fx=cos1x в точке x=0 предела не имеет.

Упражнение 3 ([1], №995)

Показать, что функция fx=x-a φx, где φx - непрерывная функция и φa≠0, не имеет производной в точке a. Чему равны односторонние производные f'-a и f'+a?

Решение.

f'+a=lim∆x→0∆x>0fx0+∆x-f(x0)∆x=lim∆x→0∆x>0fa+∆x-f(a)∆x=

= lim∆x→0∆x>0∆xφ(x)∆x= lim∆x→0∆x>0∆x φ(x)∆x=φ(x)

f'-a=lim∆x→0∆x<0fx0+∆x-f(x0)∆x=lim∆x→0∆x<0fa+∆x-f(a)∆x=

= lim∆x→0∆x<0∆xφ(x)∆x= lim∆x→0∆x<0(-∆x) φ(x)∆x=-φ(x)

f'+a≠f'-a

Односторонние пределы не равны => функция fx не имеет производной в точке a.
Упражнение 4 ([1], №996)

Построить пример непрерывной функции, не имеющей производной функции в данных точках: a1,a2,…,an.

Решение.

Рассмотрим функцию fx=k=1nx-ak в точках an.

Найдем односторонние пределы f'x в точке a1.

f'+a1=lim∆x→0∆x>0fa1+∆x-fa1∆x=
=lim∆x→0∆x>0∆xa1+∆x-a2a1+∆x-a3…a1+∆x-an∆x=

= lim∆x→0∆x>0a1+∆x-a2a1+∆x-a3…a1+∆x-an=

=a1-a2a1-a3…a1-an

f'-a1=lim∆x→0∆x<0fa1+∆x-fa1∆x=
=lim∆x→0∆x<0∆xa1+∆x-a2a1+∆x-a3…a1+∆x-an∆x=

= lim∆x→0∆x<0(-a1+∆x-a2a1+∆x-a3…a1+∆x-an)=

=-a1-a2a1-a3…a1-an

f'+a1≠f'-a1



Односторонние пределы не равны => функция fx не имеет производной в точке a1. Аналогично, функция не имеет производных в остальных точках a2,…,an.

Упражнение 5 ([4], №125)

Показать, что функция fx=5x3 не имеет производной в точке x0=0.

Решение

Возьмем приращение ∆x. Дадим точке x0 приращение ∆x. Получим x0+∆x=∆x.

Найдем значение функции в точках x0 и x0+∆x.

fx0=0

fx0+∆x=5x3.

Найдем приращение функции в точке x0

∆y=5x3

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

∆y∆x=∆x35∆x=∆x35-1=∆x-25=15∆x2

Перейдем к пределу

lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→015∆x2=+∞

Вывод: не имеет конечной производной в точке x0.

Упражнение 6 ([4], №128)

Показать, что функция fx=3x+1 не имеет производной в точке x0=0.

Решение

Возьмем приращение ∆x. Дадим точке x0 приращение ∆x. Получим x0+∆x=1+∆x.

Найдем значение функции в точках x0 и x0+∆x.



fx0=1

fx0+∆x=31+∆x+1=3∆x+1

Найдем приращение функции в точке x0

∆y=3∆x+1-1=3∆x

Составим отношение приращения функции в точке к приращению аргумента

∆y∆x=3∆x∆x

Перейдем к пределу

∆x>0

lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→03∆x∆x=3

∆x<0

lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0-3∆x∆x=-3
Вывод: не имеет конечной производной в точке x0.
Упражнение 7 ([4], №131)

Исследовать функцию на непрерывность

fx=-12x2при x≤2 x при x>2

Решение.

На -∞;2 fx=-12x2=>непрерывна как многочлен.

На 2;+∞ fx=x=>непрерывна как многочлен.

x=2 – точка подозрительная на разрыв

limx→2-0(-12x2)=-12∙4=-2

limx→2+0(x)=2

f2=)=-12∙4=-2



f0=f0-0≠f0+0

Так как левый предел равен значению функции в точке, то функция непрерывна => в точке x0=2 существует разрыв Iрода.



Заключение

В курсовой работе излагается материал, связанный с понятием «
Непрерывная, но не дифференцируемая функции
», цели данной работы достигнуты, задачи решены.



Список литературы

1. 
   Б. П. Демидович, / Сборник задач по курсу математического анализа. Учебное пособие для студентов физико-математического факультета педагогических институтов. – М.: Просвещение, 1990 –624с.
   
2. 
   Г. Н. Берман, / Сборник задач по курсу математического анализа. – М.: Наука, 1977 – 416с.
   
3. 
   Г. М. Фихтенгольц, / Курс дифференциального и интегрального исчисления т.II. - М., Наука, 1970- 800с.
   

И.А. Виноградова, /Задачи и упражнения по математическому анализу ч.1. – М.:Дрофа,2001 – 725с.

4. 
   Ресурс Интернет \ http://ru.wikipedia.org/wiki.
   

Ресурс Интернет \http://www.mathelp.spb.ru/ma.htm.

26