Московский Авиационный Институт
(государственный технический университет)
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО КУРСУ: «кОНТРОЛЬ И ДИАГНОСТИКА СИСТЕМ»
ВАРИАНТ №7
Москва 2009 г.

Содержание
  Задание
Теоретическая часть
Метод ветвей и границ
Метод наискорейшего спуска
Практическая часть
Задача №1
Задача №2

Задание
Определение последовательности проведения проверок с использованием метода ветвей и границ, и количества повторных измерений методом наискорейшего спуска при ограничении на время проверок.
Дано:
1.                Граф исходного множества модулей и таблицы длительности операций.
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

2. Характеристики параметров, допуски и погрешность измерений.

Теоретическая часть

Метод ветвей и границ

Наиболее перспективным способом решения оптимизационных задач контроля является метод ветвей и границ.
Идея этого метода заключается в следующем. Множество W(S₀) всех допустимых вариантов решения σ разбивается на непересекающиеся подмножества W(S_k), которые, в свою очередь, разбиваются на подмножества меньшей мощности W(S_l) до получения подмножества W(S_v), состоящего из единственного варианта. Процесс разбиения множества допустимых вариантов W(S₀) на их непересекающиеся подмножества называется ветвлением вариантов, а получаемое при этом дерево – деревом решений. Каждой вершине дерева ветвления соответствует некоторый модуль из графа, а любой путь по дереву определяет соответствующий граф очередности. Множество вершин описывает определенный вариант процесса.
Пусть Y(S_k) – множество вершин в графе очередности D, соответствующих пути от S₀ до S_к в дереве Е. из каждой вершины S_к выходит столько ветвей, сколько допустимых модулей (претендентов упорядочения) имеется в подмножестве Z\ Y(S_k). Множество допустимых на каждом шаге процесса ветвления модулей образует фронт упорядочения. Наглядное представление об образовании фронта упорядочения дает преобразованный в соответствии с формулой (1.1) граф G
F(z_l) = max[f(z_i) + t_il]                        (1.1)
z_i→z_j
Очевидно, на первом шаге процесса построения дерева Е фронт упорядочения образуют вершины, которые соединены с мажорантой одной дугой, на втором шаге к ним добавляются все последователи включенной в D вершины, в которую не входят дуги из других вершин и т.д. На произвольном шаге фронт упорядочения образуют модули, для которых Г₀^-1z_i = Ø.
Метод ветвей и границ предполагает построение дерева ветвления вариантов Е и фактически представляет собой процедуру последовательного анализа вариантов, дополненную прогнозированием такого направления поиска, в котором с наибольшей вероятностью находится оптимальное решение. Идея прогнозирования заключается в оценке нижних границ минимизируемой целевой функции для разветвляемых подмножеств W(S_k). На каждом шаге ветвление продолжается из вершины, имеющей минимальную оценку. Задача сводится к отысканию на дереве конечной вершины, соответствующей оптимальному допустимому решению со значением целевой функции, меньшим или равным оценкам висячих вершин дерева Е.
Как показывает практика применения метода ветвей и границ, эффективность его значительно зависит от способа представления решения в виде дерева вариантов и метода оценки нижней границы целевой функции.
Для минимизации этот метод может быть применен следующим образом.
На основе исходной информации, заданной графом G, построим
│Z│– размерные матрицы, такие что
τ_i + t_ij, если (i,j) принадлежит U
b_ij =                        (1.2)
- ∞, если (i,j) не принадлежит U
t_ij + τ_i, если (i,j) принадлежит U
d_ij =                                               (1.3)
- ∞, если (i,j) не принадлежит U
Введем следующие понятия:
а) наиболее раннее время начала модуля
Т_н(Z_к) = max { Т_н(Z_i) + b_ik}, Т_н(Z₀) = 0                 (1.4)
0< i ≤ k
б) критический путь – самый длинный путь, ведущий от мажоранты графа к миноранте, причем за длину любого пути принимается сумма длительностей τ_i для всех модулей и всех задержек t_ij , входящих в этот путь.
Обозначим H = {L_ij} – множество всех независимых путей на графе (путей, отличающихся друг от друга хотя бы одной дугой), ведущих от вершины z_i к z_j, и H’ = {L_k}є H – множество всех независимых путей, ведущих от вершины z_k к миноранте. Тогда такой путь представляет собой частичный подграф G_L = (Z_L, U_L), длина которого равна:
T(L) = ∑ τ_k + ∑ t_kl                                (1.5)
k:z_k є Z_L  (k,l) є U_L
Длина критического пути может быть вычислена из рекуррентной формулы:
Т_кр = t(L₀*) = max {t(L₀)}= τ₀ + max {t_0,j + t(L_j*)}        (1.6)
L₀єH’             
j:z_jєГ_z0
Так как длина критического пути характеризует наименьшую длительность процесса контроля, то выражение (6) может послужить основой для оценки нижних границ минимизируемого функционала. Необходимыми условиями для достижения этой границы являются:

∑τ_k ≤ t(L₀*) и (V R)[t_k≤T_k(z_k)]                         (1.7)
k:z_k є Z
где t_k – время завершения к-го модуля, определяемое из полученного решения D.
На основании приведенных выражений процесс преобразования графа G = (Z, Г) в граф очередности G = (Z, Г_D) может быть интерпретирован следующим образом. Определим для каждой вершины S_k є S дерева ветвления вариантов Е множество
N(S_k) = {z_i‌‌‌│z_i є Z, Г^-1z_i є Y(S_k)}                       (1.8)
которое определяет фронт упорядочения. Согласно априорной части упорядоченности модулей, выражаемой отображением Г, очередной модуль при пошаговом построении графа D может быть выбран только из │N(S_k)│, выражающего мощность фронта упорядочения.
На основе (6) можно записать выражение для оценки нижних границ для произвольного подмножества вариантов W(S_k) в следующем виде:
Т_оц(S_k) = t*(S_k) + max {t(L_i*) + max [0, Т_н(z_i) - t*(S_k)]}     (1.9)
i:z_j є N(S_k)
где   t*(S_k) = max{t_i│i:z_i є Y(S_k)}
На каждом шаге для дальнейшего разветвления выбирается вершина S_k*, для которой справедливо равенство
Т_оц(S_k*) = min{ Т_оц(S_k)│S_k є S*}                       (1.10)
Где S* с S – подмножество вершин, из которых можно продолжать ветвление, т.е.

S* = {S_i│S_i:│∆S_i│<│N(S_i)│}                         (1.11)
Выбранная вершина S_k є S* в итоге ветвления получает│N(S_k)│последователей, определяющих разбиение множества возможных вариантов W(S_k) на │N(S_k)│непересекающихся подмножеств.
При достижении в процессе ветвления подмножества W(S_ν), состоящего из единственного варианта D(S_ν) = [Y(S_ν), Г_D], Y(S_ν) = Z, последний будет оптимальным если
t*(S_ν) ≤ min{ Т_оц(S_k)│ S_kє S*}.                       (1.12)
если (12) не выполняется, то поиск оптимального решения продолжается из вершины, имеющей наименьшую из оценок Т_оц(S_k*).

Метод наискорейшего спуска

На автоматизированный контроль объектов отводится определенное время, между тем при однократных измерениях выбранного количества контролируемых параметров это время полностью не используется, т.е. остается некоторый избыток времени. Эту избыточность времени можно использовать в целях повышения достоверности результатов автоматизированного контроля сложных объектов применением многократных (повторных) измерений контролируемых параметров. Таким образом, возникает задача оптимального использования временной избыточности или, что то же самое, при контроле совокупности параметров возникает задача определения оптимального количества повторных измерений, обеспечивающего максимальную  достоверность результатов контроля.

Рассмотрим задачу:
Требуется обеспечить не менее, чем заданную достоверность результатов контроля при условии, что суммарно время измерения контролируемых параметров не превысит некоторой величины.
Введем следующие обозначения:
Р – достоверность результатов контроля объекта (вероятность получения правильных результатов, Р₀ – заданное значение );
Т – суммарное время измерения всех контролируемых параметров (Т0 – заданное значение);
m – количество контролируемых параметров;
n_i – количество повторных измерений i-го параметра;
t_i – время одного измерения i-го параметра;
p_i(n_i) – достоверность результатов контроля i-го параметра при n_i – кратном измерении.
Тогда задача формулируется: найти
                           (2.1)
при условии, что выполняется ограничение
                            (2.2)
контролируемые параметры независимы.
Р^(N) – достоверность результатов контроля на N-ом этапе процесса решения;
Т^(N) – суммарное время измерения всех контролируемых параметров на N-ом этапе процесса решения.
Сущность метода заключается в следующем. Берется исходный состав контролируемых параметров, которые определяют работоспособность объекта, и для них вычисляются значения достоверности контроля Р⁽¹⁾ и суммарное время измерения этих параметров Т⁽¹⁾ при однократных измерениях (индекс “1” означает отсутствие повторения измерений)
                     (2.3)
                            (2.4)
вычисляем
ψ_i(n_i) = (p_i(n_i) – p_i(n_i - 1)) / (p_i(n_i - 1) t_i)                             (2.5)
Затем на первом этапе процесса решения последовательно для всех контролируемых параметров (i = 1, 2, ... , m) вычисляются значения Р_i⁽²⁾ (вероятность получения правильного результата по всем контролируемым параметрам при условии, что i-й параметр измеряется двукратно) и Т_i⁽²⁾ (суммарное время измерения всех контролируемых параметров при условии, что i-й параметр измеряется двукратно)
P_i⁽²⁾ = p₁(1) p₂(2) ... p_i-1(1) pi(2) p_i+1(1) ... p_m(1)                       (2.6)
T_i⁽²⁾ = t₁ + t₂ + ... + t_i-1 + 2t_i + t_i+1 + ... + t_m                          (2.7)

Далее для всех контролируемых параметров на первом этапе вычисляются значения относительного приращения достоверности результатов, в зависимости от приращения суммарного времени измерения.
ψ_i(2) = ψ_i(2) P⁽¹⁾                                                     (2.8)
Среди величин ψ_i(2) требуется найти наибольшую. Однако нетрудно заметить, что наибольшей величине ψ_i(2) соответствует и наибольшая величина ψ_i(2), так как они отличаются между собой лишь на постоянный множитель Р⁽¹⁾. Пусть, например, наибольшей оказалась величина ψ_s(2). Это означает, что на первом этапе процесса решения задачи повторно следует измерить s-й параметр.
Таким образом, после первого этапа процесса решения достоверность результатов контроля объекта, который контролируется по m параметрам, будет характеризоваться значением
P⁽²⁾ = (p_s(2)/p_s(1)) P⁽¹⁾                                                (2.9)
а суммарное время измерения всех m параметров значением
T⁽²⁾ = T⁽¹⁾ + t_s                                                         (2.10)
На втором шаге исходными значениями уже являются Р⁽²⁾ и Т⁽²⁾. Теперь для всех параметров аналогичным образом должны быть вычислены значения P_i⁽³⁾ и T_i⁽³⁾ при условии, что к общему количеству измерений, которое стало равно (m+1) (m однократных плюс одно повторное измерение), добавлено еще одно измерение. Затем вычисляются значения ψ_i(3). Пусть наибольшей из этих величин оказалось ψ_r(3). Это означает, что на втором этапе процесса решения повторно следует измерить r-й параметр. Однако наибольшей может оказаться величина ψ_s(3) с тем же индексом, что и на первом этапе процесса, т.е. может оказаться, что следует произвести еще одно повторное измерение s-го параметра, ни производя, ни одно повторное измерение других параметров.
Подобный процесс решения задачи продолжается до тех пор пока:
Т^(N) ≤ T₀ < T^(N+1)                                  (2.11)
Методом наискорейшего спуска может быть определено количество повторных измерений контролируемых параметров, оптимальное по критерию максимума достоверности результатов контроля при ограничении на суммарное время измерений контролируемых параметров, а также по критерию минимума суммарного времени измерения при ограничении на достоверность результатов контроля.

Практическая часть

Задача №1

Дано: граф исходного множества модулей и таблицы длительности операций:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

z0

z1

z2

z3

z4

z5

z6

Рис 1.1. Исходный граф.
Таблица1.1.
Таблица1.2
Найти: последовательность проведения проверок методом ветвей границ.

Решение:
1. Найдем наиболее раннее время начала модуля Z_k:
Т_н(Z_к) = max { Т_н(Z_i) + b_ik}, Т_н(Z₀) = 0
Т_н(Z₀) = 0
Т_н(Z₁) = 0
Т_н(Z₂) = 0
Т_н(Z₃) = 2+15 = 17
Т_н(Z₄) = 4+12 = 16 или  Т_н(Z₄) = 2+15+5+7 = 29 тогда maxТ_н(Z₄) = 29
Т_н(Z₅) = 4+3 = 7
Т_н(Z₆) = 4+3+8 = 15 или Т_н(Z₆) = 2+15+5+7+3 = 32 или Т_н(Z₆) = 4+12+3 = 19 тогда maxТ_н(Z₆) =32
2. Найдем длину критического пути T(L):
T(L*( Z₀)) = 0+2+15+5+7+3 = 32
T(L*( Z₁)) = 0+2+15+5+7+3 = 32
T(L*( Z₂)) = 0+4+12+3 = 19
T(L*( Z₃)) = 0+5+7+3= 15
T(L*( Z₄)) = 0+3= 3
T(L*( Z₅)) = 0+8 = 8
T(L*( Z₆)) = 0
Полученные данные сведем в таблицу
Таблица 1.3
3. Составим дерево проверок:

Рис. 1.2 – Дерево проверок
4. Рассчитаем t*(S_k) и полученные значения занесем в таблицу 1.4:
t*(S₀) = 0  
t*(S₁) = 2
t*(S₂) = 4
t*(S₃) = 2+15+5=22
t*(S₄) = 2+4=6
t*(S₈) = 2+5+15=22
t*(S₉) = 2+4+8+3=17
t*(S₁₅) = 2+15+5+7+3 = 32
t*(S₁₆) = 2+15+5+8 = 30
t*(S₁₇) = 2+4+3+8+5 = 22
t*(S₂₆) = 2+4+3+8+5+7+3=32
5. Рассчитаем оценку нижней границы для множества W(S_k) и полученные значения занесем в таблицу 1.4.

№ параметра	1	2	3	4	5
σИЗМ/σПАР	0.5	0.3	0.2	0.1	0.4
ti	3	5	15	20	50

n	σИЗМ/σПАР
	0.5	0.3	0.2	0.1	0.4
1	0.99110	0.99634	0.99784	0.99893	0.99419
2	0.99533	0.99775	0.99859	0.99930	0.99669
3	0.99657	0.99821	0.99886	0.99945	0.99748
4	0.99714	0.99846	0.99901	0.99955	0.99785
5	0.99756	0.99868	0.99915	0.99960	0.99816
6	0.99780	0.99879	0.99923	0.99963	0.99833
7	0.99801	0.99890	0.99931	0.99967	0.99849
8	0.99818	0.99895	0.99933	0.99970	0.999859
9	0.99828	0.99901	0.99937	0.99971	0.99867
10	0.99839	0.99909	0.99942	0.99973	0.99876
11	0.99848	0.99914	0.99945	0.99974	0.99882
12	0.99854	0.99918	0.99948	0.99975	0.99887

n	Y1(n)	N	Y2(n)	N	Y3(n)	N	Y4(n)	N	Y5(n)	N
1	-	-	-	-	-	-	-	-	-	-
2	0.001422661	1	0.000283035	16	0.000050108	10	0.000018519	20	0.000050292	9
3	0.000415272	3	0.000092207	6	0.000018025	21	-	-	0.000015852	23
4	0.000190653	4	0.000050089	11	0.000010011	26	-	-	-	-
5	0.000140401	5	0.000044067	12	-	-	-	-	-	-
6	0.000718243	2	0.000022029	17	-	-	-	-	-	-
7	0.000070154	7	0.000022026	18	-	-	-	-	-	-
8	0.000056779	8	0.000010011	25	-	-	-	-	-	-
9	0.000033394	14	0.000012012	24	-	-	-	-	-	-
10	0.000036729	13	0.000016015	22	-	-	-	-	-	-
11	0.000030048	15	0.000010009	27	-	-	-	-	-	-
12	0.00002003	19	-	-	-	-	-	-	-	-

N	n1	n2	n3	n4	n5
1	2	1	1	1	1
2	3	1	1	1	1
3	4	1	1	1	1
4	5	1	1	1	1
5	6	1	1	1	1
6	6	2	1	1	1
7	7	2	1	1	1
8	8	2	1	1	1
9	8	2	1	1	2
10	8	2	2	1	2
11	8	3	2	1	2
12	8	4	2	1	2
13	9	4	2	1	2
14	10	4	2	1	2
15	11	4	2	1	2
16	11	5	2	1	2
17	11	6	2	1	2
18	11	7	2	1	2
19	12	7	2	1	2
20	12	7	2	2	2
21	12	7	3	2	2
22	12	8	3	2	2
23	12	8	3	2	3
24	12	9	3	2	3
25	12	10	3	2	3
26	12	10	4	2	3
27	12	11	4	2	3

N	n1	n2	n3	n4	n5	Р(N)	Т(N)
1	2	1	1	1	1	0.98275	1 мин 36 с
2	3	1	1	1	1	0.98398	1 мин 39 с
3	4	1	1	1	1	0.98454	1 мин 42 с
4	5	1	1	1	1	0.98495	1 мин 45 с
5	6	1	1	1	1	0.98519	1 мин 48 с
6	6	2	1	1	1	0.98658	1 мин 53 с
7	7	2	1	1	1	0.98679	1 мин 56 с
8	8	2	1	1	1	0.98696	1 мин 59 с
9	8	2	1	1	2	0.98944	2 мин 49 с
10	8	2	2	1	2	0.99018	3 мин 4 с
11	8	3	2	1	2	0.99064	3 мин 9 с
12	8	4	2	1	2	0.99089	3 мин 14 с
13	9	4	2	1	2	0.99099	3 мин 17 с
14	10	4	2	1	2	0.99110	3 мин 20 с
15	11	4	2	1	2	0.99119	3 мин 23 с
16	11	5	2	1	2	0.99141	3 мин 28 с
17	11	6	2	1	2	0.99152	3 мин 33 с
18	11	7	2	1	2	0.99163	3 мин 38 с
19	12	7	2	1	2	0.99169	3 мин 41 с
20	12	7	2	2	2	0.99206	4 мин 1 с
21	12	7	3	2	2	0.99233	4 мин 16 с
22	12	8	3	2	2	0.99238	4 мин 21 с
23	12	8	3	2	3	0.99317	5 мин 11 с
Далее производить расчет нецелесообразно, т.к. решение задачи найдено

Z1

Z2

Z3

Z5

Z1

Z3

Z5

Z4

Z5

Z3

Z4

S0

S1

S2

S3

S4

S5

S6

S7

S8

S9

S10

S11

32

32

32

32

32

32

32

35

43

35

40

33

рис.3.3. Оптимальное решение
Таким образом, мы видим, что оптимальное решение, как и в случае ручного расчета, есть последовательность проверок {Z₀, Z₂, Z₁, Z₅, Z₃, Z₄}, при этом общее время контроля составляет Т_опт = 32 ед.

Задача №2





Решение, полученное программным путем совпадает с ручным расчетом, значит задача решена верно, т.е. оптимальное решение задачи – n₁ = 12, n₂ = 8, n₃ = 3, n₄ = 2, n₅ = 2, где Т = 261с = 4мин 21 с, при этом максимальная достоверность результатов равна 0.992.
Заключение
1.                Наиболее перспективным способом решения оптимизационных задач контроля является метод ветвей и границ, так как решение, например, простым перебором вариантов приводит к огромным затратам времени на поиск оптимального решения.
2.                Методом наискорейшего спуска может быть определено количество повторных измерений контролируемых параметров, оптимальное по критерию максимума достоверности результатов контроля при ограничении на суммарное время измерения контролируемых параметров, а также по критерию минимума суммарного времени измерении при ограничении на достоверность результатов контроля.
3.                Решения, полученные программным путем и рассчитанные вручную, совпадают как для первой, так и для второй задачи.

Список литературы
1.                 Селезнев А.В. и др. «Проектирование АСК бортового оборудования ЛА», Машиностроение, 1983 г.;
2.                 Загрутдинов Г.М. «Достоверность автоматизированного контроля», КХГ,1980 г.