МОСКОВСКИЙ АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
Кафедра высшей математики
Дисциплина: «Математический анализ»
ОТЧЁТ
По курсовой работе
Тема курсовой работы:
Ранжирование по степени значимости основных объективных и субъективных факторов, побудивших к поступлению учиться в МАИ
г. Москва 2009 г.

Решаемая задача
Ранжирование по степени значимости основных объективных и субъективных факторов, побудивших к поступлению в МАИ.
Процесс математического моделирования конкретной задачи условно можно разбить на этапы:
1. Этап: Словесная и математическая постановка исходной задачи.
а). Словесная постановка задачи.
б). Математическая постановка задачи.
в). Исследование математической задачи на корректность.
2.Этап: Разработка методов решения.
а). Разработка методов точного или приближённого решения.
б). Обоснование выбранного метода.
в). Написание программы и её отладка на модельном примере.
3. Этап: Проведение расчётов и анализ полученных результатов.
Первый этап.
Словесная постановка задачи:
Проведением социологического опроса студентов ранжировать по степени значимости основные объективные и субъективные факторы, послужившие причиной к поступлению ими учиться в МАИ
Математическая постановка задачи:
Поставленную задачу будем решать применением метода экспертных оценок и парных сравнений основных объективных и субъективных факторов, послуживших причиной к поступлению учиться в МАИ. В качестве экспертов в данном случае выступают студенты 2 курса.
Введём обозначения:
m=18- число опрашиваемых студентов
n=7- число сравниваемых причин.
Второй этап.
Сбор мнений специалистов.
Сбор мнений экспертов осуществляется путём анкетного опроса. Каждому из студентов предлагается заполнить анкету, содержащую перечень факторов, подлежащих изучению. Опрашиваемые могут включить в анкету дополнительные факторы, если они сочтут это необходимым.
Экспертам предлагается сравнить предложенные факторы, выставив знак «>», «<»  или «=» между ними. Затем подсчитываются баллы каждого фактора по принципу: >- 2 балла, = - 1 балл. Далее сумма баллов подсчитывается и фактору присваивается ранговый номер. Если суммы баллов для нескольких из них совпадают, то им присваивается одинаковый ранговый номер. Такие ранги носят название «связные».
Образец анкеты:
По результатам анкетного опроса, с учётом подсчёта баллов получим для каждого специалиста:
1.                                                          2.
3.                                                           4.
5.                                                            6.
7.                                                             8.
9.                                                                10.
11.                                                              12.
13.                                                              14.
15.                                                                    16.

Номер места	1	2	3	4	5	6	7	Номер места	1	2	3	4	5	6	7
Ранги	1	2	2	2	3	4	4	Ранги	1	1	2	2	2	2	3
Номер фактора	1	2	3	4	6	5	7	Номер фактора	2	5	1	3	4	7	6

17.                                                                    18.
Как видно имеются связные ранги. Необходимо произвести переформирование рангов для того, чтобы порядковая шкала, полученная в результате ранжирования, удовлетворяла условию равенства числа рангов числу ранжируемых факторов.
При наличии связных рангов их число не равно числу ранжированных факторов. Сумма рангов, полученная в результате ранжирования n факторов, должна быть равна сумме чисел натурального ряда.
Переформирование рангов производится следующим образом. Факторам, имеющим одинаковые значения, присваивается новый ранг, равный средней арифметической номеров мест, занимаемых ими в упорядоченном ряду.
С учётом переформированных рангов получим:
1.                                                                 2.
3.                                                                  4.
5.                                                                   6.
7.                                                                      8.
9.                                                                          10.
11.                                                                          12.
13.                                                                       14.
15.                                                                      16.
17.                                                                     18.
На основании переформированных рангов строим матрицу рангов:

Вычисляем суммы каждой строки. Они должны быть равны между собой, а их сумма должна равняться контрольной сумме 504. Как видим, эти условия соблюдаются, следовательно, матрица рангов составлена правильно.
∆ вычисляется по формуле:
∆=∑x_ij-((∑∑x_ij)/n)
Далее вычисляется сумма каждого столбца.
Третий этап.
Проведение расчётов, анализ полученных результатов.
Для наглядности полученных результатов оценок факторов необходимо построить гистограмму распределения сумм рангов значимости изучаемых факторов. По оси абсцисс откладываются соответствующие факторы, по оси ординат- соответствующие им суммы рангов. Фактор с наименьшей суммой рангов имеет наибольшее значение и, наоборот, фактор с наибольшей суммой рангов оценивается экспертами как наименее важный.(рис. 1)

Оценка средней степени согласованности экспертов.
Полученные оценки факторов можно считать достаточно надёжными только при условии хорошей согласованности экспертов, для чего производится обобщение мнений экспертов путём исчисления коэффициента конкордации. Коэффициент конкордации исчисляется по формуле:

где:   QUOTE  
(t- число связных рангов в каждой строке матрицы рангов).
Величина S исчисляется в матрице рангов и равна  QUOTE  
Значение коэффициента конкордации лежит в пределах:
0≤W≤1
Когда мнения специалистов полностью совпадают, то W=1, при несовпадении мнений он равен 0.
Величина Т_i определяется для каждой графы, где имеются связные ранги, а затем подсчитываются:
∑(Т₁₈)₁=42,5
Коэффициент конкордации:
W₁=0,13.
Степень согласованности Экспертов очень мала. Для её увеличения уберём из исследований фактор, имеющий наибольшее отклонение рангов в матрице рангов. Таковым является фактор под номером 5: «Личные обстоятельства». С учётом изменения в параметрах исследования получим обновлённую матрицу рангов:
Как видно факторы «изменение места работы» и «карьерный рост» изменили местоположения в матрице рангов, что говорит об изменении их значимости для экспертов.
Далее строим гистограмму распределения. . Фактор с наименьшей суммой рангов имеет наибольшее значение и, наоборот, фактор с наибольшей суммой рангов оценивается экспертами как наименее важный.
(рис. 2)

Оценка средней степени согласованности экспертов рассчитывается  таким же образом:
∑(Т₁₈)₂=27,5;
тогда коэффициент конкордации:
W₂=0,41
При повторном исследовании, был получен коэффициент конкордации W₂> W₁, т. е. степень согласованности экспертов увеличилась более, чем в три раза.
Чтобы убедиться, что полученный коэффициент конкордации, характеризующий среднюю степень согласованности мнений экспертов, является величиной неслучайной, и мы можем доверять полученным результатам, проверим его значимость. Для оценки значимости коэффициента конкордации воспользуемся критерием согласия (Пирсона)-χ²:

Вычисленное значение χ² сравнивают с его табличным значением для существующего числа степеней свободы k=n-1 и при заданном уровне значимости α=0,05.
Если вычисленное значение χ² будет меньше табличного, то гипотеза о том, что полученный коэффициент конкордации W- величина случайная, принимается. Если вычисленное значение будет больше табличного, то W- величина неслучайная и действительно характеризует наличие определённой степени согласованности мнений экспертов. Полученным результатам можно доверять и использовать их в дальнейших исследованиях.
Вычисляем χ²:


Табличное значение, при уровне значимости α=0,05 и числом степеней свободы k=5: χ²=11,1<χ²(расчётной)- значит W- величина не случайная, а потому полученные результаты имеют смысл и могут использоваться в дальнейших исследованиях.
Для представления этих же оценок в виде весомых коэффициентов применим метод парных сравнений.
Метод парных сравнений
Согласно этому методу создадим общую таблицу, согласно общих полученных результатов, используя понятия больше, меньше, равно, лучше, хуже, неразличимо:
Далее строится матрица A=a_ij, здесь:
                   2, если x_i > x_j
a_ij=             1, если x_i = x_j
                               0, если x_i < x_j
Тогда матрица парных сравнений принимает вид:

	Карьерный рост	Высшее образование	Изменение места работы	Ученая степень	Престиж института	Научная деятельность
Карьерный рост	1	2	0	2	0	0
Высшее образование	0	1	0	0	0	0
Изменение места работы	2	2	1	2	0	0
Ученая степень	0	2	0	1	0	0
Престиж института	2	2	2	2	1	0
Научная деятельность	2	2	2	2	2	1

В расчёт вводится понятие итерированная сила порядка «К» параметров в виде матрицы-столбца Р(К)=АЧРЧ (K-L), где К=1,2,….n. Итерированная сила объекта x_iвычисляется:

(т.е. как произведение строки матрицы А на столбец матрицы Р(К)).
В начале расчёта принимается итерированная сила Р(К)=1, т. е. для определения Р₁(К) берется Р₁(0)=1:
Р₁(1)=1Ч1+2Ч1+0Ч1+2Ч1+0Ч1+0Ч1=5
Р₂(1)=0Ч1+1Ч1+0Ч1+0Ч1+0Ч1+0Ч1=1
Р₃(1)= 2Ч1+2Ч1+1Ч1+2Ч1+0Ч1+0Ч1=7
Р₄(1)= 0Ч1+2Ч1+0Ч1+1Ч1+0Ч1+0Ч1=3
Р₅(1)= 2Ч1+2Ч1+2Ч1+2Ч1+1Ч1+0Ч1=9
Р₆(1)= 2Ч1+2Ч1+2Ч1+2Ч1+2Ч1+1Ч1=11
Далее этот процесс повторяется уже с учётом полученной итерированной силы предыдущей операции. Практическую ценность в данном методе представляет нормированная итерированная сила k-го порядка i-го параметра, причем:
С каждой последующей итерацией значение уточняется. Произведём вычисления до третьей итерации. Результаты подсчётов представлены в таблице:

	Pi(1)		Pi(2)		Pi(3)
∑α1j	5	0,139	13	0,090	25	0,055
∑ α2j	1	0,028	1	0,006	1	0,002
∑ α3j	7	0,194	25	0,171	63	0,138
∑ α4j	3	0,083	5	0,034	7	0,015
∑ α5j	9	0,250	41	0,281	129	0,283
∑ α6j	11	0,306	61	0,418	231	0,507
∑	36	1,000	146	1,000	436	1,000

Значения Р_i(К), исчисленные на последней итерации, позволяют оценить и расположить рассматриваемые параметры по степени их значимости. Значения  выступают в качестве коэффициентов весомости параметров. Для большей наглядности представим их в виде нормированной гистограммы (рис 3)

Применив метод экспертных оценок  и парных сравнении совместно, выявлено, что для группы студентов 2-го курса, состоящей из 18 человек, главным фактором, побудившим поступить учиться в МАИ является высшее образование. Также немаловажным фактором является и повышение ученой степени. Это и подтвердили результаты исследований.