Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра алгебры и геометрии
ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНЕЧНЫХ ГРУПП С УСЛОВИЕМ ПЛОТНОСТИ ДЛЯ -СУБНОРМАЛЬНЫХ ПОДГРУПП
Курсовая работа
Исполнитель:
Студентка группы М-33 ____________
Цыганцова А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент
____________ Скиба М.Т.
Гомель 2005

Содержание
  Перечень условных обозначений
Введение
1 Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп
2 Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп
3 Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп
Заключение
Литература

Перечень условных обозначений
В работе все рассматриваемые группы предполагаются конечными. Используются обозначения, принятые в книгах. Буквами  обозначаются простые числа.
Будем различать знак включения множеств  и знак строгого включения ;
 и  --- соответственно знаки пересечения и объединения множеств;
 --- пустое множество;
 --- множество всех , для которых выполняется условие ;
 --- множество всех простых чисел;
 --- некоторое множество простых чисел, т.е. ;
 --- дополнение к  во множестве всех простых чисел; в частности, ;
примарное число --- любое число вида ;
 --- множество всех целых положительных чисел.
 --- некоторое линейное упорядочение множества всех простых чисел .
Запись  означает, что  предшествует  в упорядочении , .
Пусть  --- группа. Тогда:
 --- порядок группы ;
 --- порядок элемента  группы ;
 --- единичный элемент и единичная подгруппа группы ;
 --- множество всех простых делителей порядка группы ;
 --- множество всех различных простых делителей натурального числа ;
--группа --- группа , для которой ;
--группа --- группа , для которой ;
 --- подгруппа Фраттини группы , т.е. пересечение всех максимальных подгрупп группы ;
 --- подгруппа Фиттинга группы , т.е. произведение всех нормальных нильпотентных подгрупп группы ;
 --- коммутант группы ;
 --- --холловская подгруппа группы ;
 --- силовская --подгруппа группы ;
 --- дополнение к силовской --подгруппе в группе , т.е. --холловская подгруппа группы ;
 --- группа всех автоморфизмов группы ;
 ---  является подгруппой группы ;
нетривиальная подгруппа --- неединичная собственная подгруппа;
 ---  является нормальной подгруппой группы ;
 --- подгруппа  характеристична в группе , т.е.  для любого автоморфизма ;
 --- индекс подгруппы  в группе ;
;
 --- централизатор подгруппы  в группе ;
 --- нормализатор подгруппы  в группе ;
 --- центр группы ;
 --- циклическая группа порядка ;
Если  и  --- подгруппы группы , то:
 --- прямое произведение подгрупп  и ;
 --- полупрямое произведение нормальной подгруппы  и подгруппы .
Группа  называется:
примарной, если ;
бипримарной, если .
Скобки  применяются для обозначения подгрупп, порождённых некоторым множеством элементов или подгрупп.
 --- подгруппа, порожденная всеми , для которых выполняется .
Группу  называют --нильпотентной, если .
Группу  порядка  называют --дисперсивной, если выполняется  и для любого    имеет нормальную подгруппу порядка . Если при этом упорядочение  таково, что  всегда влечет , то --дисперсивная группа называется дисперсивной по Оре.
Цепь --- это совокупность вложенных друг в друга подгрупп. Ряд подгрупп --- это цепь, состоящая из конечного числа членов и проходящая через единицу. Цепь  называется -цепью (с индексами ); если при этом  является максимальной подгруппой в  для любого , то указанная цепь называется максимальной -цепью.
Ряд подгрупп  называется:
субнормальным, если  для любого ;
нормальным, если  для любого .
Нормальный ряд называется главным, если  является минимальной нормальной подгруппой в  для всех .
Классы групп, т.е. совокупности групп, замкнутые относительно изоморфизмов, обозначаются прописными готическими буквами. Так же обозначаются формации, т.е. классы групп, замкнутые относительно факторгрупп и подпрямых произведений. За некоторыми классами закреплены стандартные обозначения:
 --- класс всех групп;
 --- класс всех абелевых групп;
 --- класс всех нильпотентных групп;
 --- класс всех разрешимых групп;
 --- класс всех --групп;
 --- класс всех сверхразрешимых групп.
Пусть  --- некоторый класс групп и  --- группа, тогда:
 --- --корадикал группы , т.е. пересечение всех тех нормальных подгрупп  из , для которых . Если  --- формация, то  является наименьшей нормальной подгруппой группы , факторгруппа по которой принадлежит . Если  --- формация всех сверхразрешимых групп, то  называется сверхразрешимым корадикалом группы .
Формация  называется насыщенной, если всегда из  следует, что и . Класс групп  называется наследственным или -замкнутым, если из того, что , следует, что и каждая подгруппа группы  также принадлежит .
Пусть  --- некоторая непустая формация. Максимальная подгруппа  группы  называется:
-нормальной, если ;
-абнормальной, если .
Максимальная -цепь  называется -субнормальной, если для любого  подгруппа   -нормальна в . Подгруппа  группы  называется -субнормальной, если существует хотя бы одна -субнормальная максимальная -цепь.
Группа  называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп  и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе  существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в  подгрупп плотно.
 

Введение
Изучение строения групп по заданным свойствам системы их подгрупп является одним из основных направлений в теории конечных групп. Отметим, что темп и глубина таких исследований непрерывно возрастают. Это направление изучения групп берет свое начало с групп Миллера-Морено, групп Шмидта. В качестве свойств, налагаемых на системы подгрупп, рассматривались абелевость, нормальность, субнормальность, дополняемость и др. Это направление получило широкое развитие в работах многих ведущих алгебраистов.
С дедекиндовых групп, то есть групп, у которых нормальны все подгруппы, началось изучение различных (как конечных, так и бесконечных) групп, у которых некоторая система подгрупп  удовлетворяет условию нормальности. Описание конечных дедекиндовых групп дано в работе Р. Дедекинда, а бесконечных в работе Р. Бэра. Эти работы определили важное направление исследований в теории групп. Главной целью этого направления является описание обобщенно дедекиндовых групп. Эти обобщения дедекиндовых групп осуществляются либо путем сужения системы подгрупп , то есть подгрупп нормальных во всей группе, либо ослабления свойства нормальности для подгрупп из . Среди таких обобщений выделим следующие исследования.
Первое существенное обобщение дедекиндовых групп принадлежит О.Ю. Шмидту. Он описал конечные группы с одним и двумя классами сопряженных ненормальных подгрупп, а также установил нильпотентность конечной группы, у которой нормальны все максимальные подгруппы. Конечные группы с нормальными -тыми максимальными подгруппами изучали Б. Хупперт и З. Янко. Д.Бакли изучал конечные группы, у которых нормальны все минимальные подгруппы.
Значительные расширения класса дедекиндовых групп возникают при переходе от условия нормальности к различным ее обобщениям, как, например, к квазинормальности, субнормальности, нормализаторным условиям и др.
В начале 70-х годов по инициативе С.Н.Черникова началось изучение групп с плотными системами подгрупп. Система подгрупп группы , обладающая некоторым свойством , называется плотной в , если для любых двух подгрупп  из , где  не максимальна в , найдется -подгруппа  такая, что . Группы с плотной системой дополняемых подгрупп были изучены С.Н.Черниковым.
В 1974 году С.Н.Черников поставил следующий вопрос: каково строение группы , в которой множество всех ее субнормальных подгрупп плотно? Ответ на этот вопрос был получен А.Манном и В.В.Пылаевым.
Заметим, что в теории формаций понятие субнормальности обобщается следующим образом. Говорят, что подгруппа  является -субнормальной в , если существует цепь подгрупп

такая, что  является -нормальной максимальной подгруппой в  для любого . Если  совпадает с классом всех нильпотентных групп (который является, конечно, -замкнутой насыщенной формацией), то -субнормальная подгруппа оказывается субнормальной.
В связи с развитием теории формаций большое внимание стало уделяться исследованию конечных групп, насыщенных --подгруппами, --субнормальными или --абнормальными подгруппами. В этом направлении проводили свои исследования Л.А.Шеметков, Гашюц, Картер, Шмид, Хоукс и другие.
Ясно, что вопрос С.Н.Черникова можно сформулировать в следующей общей форме: если  --- -замкнутая насыщенная формация, то каково строение группы, в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно?
В таком виде вопрос С.Н.Черникова был исследован в работе для случая, когда  --- класс всех -нильпотентных групп. В настоящей работе мы исследуем данный вопрос в случаях, когда  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация либо -нильпотентных, либо -дисперсивных, либо сверхразрешимых групп.
 

1. Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для -субнормальных подгрупп
Опишем вначале общие свойства конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.
Группа  называется группой с плотной системой -субнормальных подгрупп, если для любых двух различных подгрупп  и  группы , из которых первая содержится во второй и не максимальна в ней, в группе  существует такая -субнормальная подгруппа , что . В этом случае также говорят, что множество -субнормальных в  подгрупп плотно.
Пусть  --- непустая -замкнутая насыщенная формация,  --- подгруппа группы . Тогда справедливы следующие утверждения:
1) ;
2) если   -субнормальна в  и  является подформацией формации , то   -субнормальна в .
Доказательство. 1) Из того, что

следует, что . Это значит, что .
2) Так как , то  и . Отсюда следует, что каждая -нормальная максимальная подгруппа является -нормальной максимальной. Лемма доказана.
Пусть  --- непустая -замкнутая насыщенная формация. Если множество всех -субнормальных подгрупп плотно в группе , то справедливы следующие утверждения:
1) если , то в  множество всех -субнормальных подгрупп плотно;
2) если  --- подгруппа из , то множество всех -субнормальных подгрупп из  является плотным в .
Доказательство. 1) Пусть  --- нормальная подгруппа группы . В фактор-группе  рассмотрим две произвольные подгруппы , из которых первая не максимальна во второй. Тогда  и  не максимальна в . По условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Следовательно,   -субнормальна в .
2) Пусть  --- подгруппа из  и  --- две произвольные подгруппы из  такие, что  не максимальна в . Тогда, по условию, в  существует -субнормальная подгруппа , для которой . Ввиду леммы,   -субнормальна в . Лемма доказана.
Если  --- -субнормальная подгруппа группы , то
.
Доказательство. По определению, существует цепь

такая, что  является -нормальной максимальной подгруппой в  при любом . Таким образом,  и потому

для каждого . Следовательно, .
Пусть  --- непустая -замкнутая насыщенная формация,  --- группа, у которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно. Справедливы следующие утверждения:
1) если  --- -абнормальная максимальная подгруппа группы , то либо , либо каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  принадлежит ;
2) если  и , то  либо максимальна в , либо -субнормальна в .
Доказательство. Докажем сначала 1). Пусть  --- -абнормальная максимальная подгруппа, не принадлежащая . Допустим, что  обладает -абнормальной максимальной подгруппой , не принадлежащей . Тогда в  имеется -абнормальная максимальная подгруппа . По условию, в  найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Ясно, что . По лемме  GOTOBUTTON GEQ188  REF GEQ188  \* MERGEFORMAT (??),
.
Так как   -субнормальна, то она содержится в -нормальной максимальной подгруппе, и поэтому . Значит, . Последнее противоречит следующему:

Докажем 2). Пусть  и . Допустим, что  не максимальна в . По условию, в  найдется такая -субнормальная подгруппа , что . Так как   -замкнута, то . Поэтому   -субнормальна в . Теперь ясно, что   -субнормальна в . Лемма доказана.
Пусть  --- насыщенная -замкнутая формация,  --- группа с нормальной силовской -подгруппой , удовлетворяющая следующим условиям:
1) ;
2) холлова -подгруппа -группы  является максимальной в  и принадлежит ;
3) любая собственная подгруппа из   -субнормальна в .
Тогда  является минимальной не -группой.
Доказательство. Из условия прямо следует, что  совпадает с  и является минимальной нормальной подгруппой в . Понятно, что каждая -абнормальная максимальная подгруппа из  сопряжена с  и поэтому принадлежит . Пусть  --- произвольная -нормальная максимальная подгруппа из . Тогда . Так как   -замкнута, то . Подгруппа  является собственной в  и по условию -субнормальна в . По теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??),
.
Итак, каждая максимальная подгруппа из  принадлежит . Лемма доказана.
2. Свойства максимальных подгрупп в группах с плотной системой -субнормальных подгрупп
В данном разделе изучаются свойства максимальных подгрупп конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп, где  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация.
Пусть далее  --- некоторое фиксированное упорядочение множества всех простых чисел.
Пусть  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация,  --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая , у которой все -абнормальные максимальные подгруппы принадлежат . Тогда справедливо одно из следующих утверждений:
1)  --- максимальная подгруппа в ;

2)  --- максимальна в -абнормальной максимальной подгруппе из .
Доказательство. Пусть  --- группа минимального порядка, для которой лемма не верна. По теореме  --- -группа. Пусть  --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Тогда  содержит некоторую -холлову подгруппу . По нашему предположению,  не максимальна в . Тогда по лемме   -субнормальна в . Если  --- -максимальный простой делитель , то подгруппа  нормальна в . Тогда, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??),
.
Противоречие. Пусть  --- множество простых делителей порядка группы , больших  при упорядочении . По доказанному выше множество  не пусто. Тогда . По индукции  максимальна в . Противоречие. Лемма доказана.
Пусть  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация,  --- -дисперсивная группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая . Тогда любая -абнормальная максимальная подгруппа из  либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой.
Доказательство. Предположим, что утверждения леммы не выполняются и в  существует -абнормальная максимальная подгруппа , не удовлетворяющая утверждениям леммы. Ввиду леммы и теоремы, , где  --- -абнормальная максимальная подгруппа из ,  --- -группа, . Очевидно, что  содержит некоторую -холлову подгруппу  из .
1. Предположим, что . Если , то каждая -нормальная максимальная подгруппа группы  будет иметь вид , где  --- некоторая максимальная подгруппа из . Так как  не максимальна в , то, по лемме  GOTOBUTTON GEQ191  REF GEQ191  \* MERGEFORMAT (??),   -субнормальна в . Тогда по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??)  и  --- минимальная не -группа. Предположим теперь, что . Если предположить, что , то  не максимальна в . Тогда . Если  не -максимальный простой делитель порядка группы , то в  существует нормальная силовская -подгруппа , . Тогда подгруппа
.
Если -холлова подгруппа  из  не максимальна в , то применяя лемму и теорему, получаем, что . Пусть  максимальна в . Тогда каждая собственная подгруппа из  будет не максимальна в  и, следовательно, по лемме, -субнормальна в . Если подгруппа , то, по теореме, .  максимальна в , так как в противном случае  не максимальна в . Применяя лемму и теорему, получаем, что  --- минимальная не -группа и -корадикал группы  является силовской -подгруппой. Так как по нашему предположению , то порядок группы  делится на  и, следовательно, . Тогда, по теореме  GOTOBUTTON GEQ170  REF GEQ170  \* MERGEFORMAT (??), . Противоречие. Значит,  --- -максимальный простой делитель порядка группы . Тогда  и каждая собственная подгруппа из  не максимальна в . Если   -субнормальна в , то по теореме . Так как  не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в  подгруппа  такая, что
.
Так как , то
.
Отсюда следует, что  и . Очевидно, что . Подгруппа  содержится в некоторой -нормальной максимальной подгруппе  из .
1.1
Тогда  --- -максимальный простой делитель порядка группы  и силовская -подгруппа  группы  нормальна в . Отсюда следует, что . Так как  --- -группа, то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . По индукции  либо принадлежит формации, либо является минимальной не -группой. Если  --- минимальная не -группа, то  и . Противоречие. Значит, . Пусть  --- -главный фактор из . Но так как , то  --- -главный фактор и выполняется изоморфизм . Так как , то  --- -центральный -главный фактор. Противоречие.
1.2 ,
Так как , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Тогда в  существует -абнормальная максимальная подгруппа . Если  не максимальна в , то, по лемме,   -субнормальна в . Противоречие. Значит,  максимальна в . По условию найдется -субнормальная в  подгруппа  такая, что
.
Так как , то . Если , то  и, следовательно,   -субнормальна в . Значит, . Но тогда   -субнормальна в . Противоречие.
2.  и  --- минимальная нормальная подгруппа в . Если каждая максимальная подгруппа из   -субнормальна в , то  --- минимальная не -группа. Значит, в  найдется максимальная подгруппа , не -субнормальная в . Очевидно, что . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . Так как  не максимальна в , то, по условию, в  существует -субнормальная подгруппа  такая, что . Так как  и , то . Рассмотрим подгруппу . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  из . По индукции  либо принадлежит , либо является минимальной не -группой.
2.1
Тогда . Если предположить, что  является -максимальным простым делителем порядка группы , , то силовская -подгруппа  нормальна в  и, по теореме,
.
Значит,  --- -максимальный простой делитель порядка группы . Это значит, что  и . Пусть  --- минимальная не -группа. Тогда  совпадает с силовской -подгруппой группы  и, следовательно, . Получили, что . С другой стороны,   -субнормальна в , а значит, и в . Поэтому
.
Противоречие. Значит, . Это значит, что . Из того, что  максимальна в , а  максимальна в , следует, что  --- абелева дополняемая в  подгруппа. Так как  и , то  и . По теореме Гашюца  имеет дополнение  в . Так как  не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в  подгруппа  такая, что . Из того, что  следует, что . Но тогда   -субнормальна в . Противоречие.
2.2
Тогда  --- силовская -подгруппа группы . Рассмотрим -холлову подгруппу  группы , содержащую . Так как , то  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе группы . Если  не максимальна в , то  будет -субнормальна в . Потому  максимальна в . Ввиду теоремы  --- -группа. Если , то, согласно доказанному выше, лемма верна. Значит,  --- минимальная нормальная подгруппа в .  максимальна в . Подгруппа  содержится в некоторой -абнормальной максимальной подгруппе  группы . Так как  не максимальна в , то, по условию, найдется -субнормальная в  подгруппа  такая, что . Так как , то . Но подгруппа  будет содержаться в подгруппе  группы . Если , то   -субнормальна в . Если же , то получаем противоречие с тем, что  --- -абнормальная максимальная подгруппа группы . Теорема доказана
3. Описание конечных не -групп с плотной системой -субнормальных подгрупп
В работе Закревской Л.Н. был исследован вопрос о строении группы , в которой множество всех ее -субнормальных подгрупп плотно для случая, когда  --- класс всех -нильпотентных групп. При рассмотрении произвольной формации возможен случай, когда . Строение таких групп исследуется в в данном разделе.
Пусть  --- произвольная насыщенная -замкнутая формация,  --- группа с плотной системой -субнормальных подгрупп, не принадлежащая формации , . Тогда  разрешима.
Доказательство. Пусть  и  --- группа минимального порядка, для которой теорема не верна. Так как , то  содержит все силовские -подгруппы, . Следовательно, каждая -субнормальная подгруппа должна содержать все силовские -подгруппы, .
Пусть  --- силовская -подгруппа группы  и . Тогда если в ней существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная подгруппа  такая, что . Тогда, по доказанному,  содержит все силовские -подгруппы, . Противоречие. Значит, в  нет вторых максимальных подгрупп и .
Предположим, что . Тогда каждая максимальная подгруппа группы  будет -абнормальной в . Пусть  некоторая неединичная силовская подгруппа группы . Если предположить, что в  существует вторая максимальная подгруппа, то, по условию, найдется -субнормальная в  подгруппа  такая, что . Отсюда следует, что . Противоречие. Следовательно,  --- простое число. Получили, что каждая неединичная силовская подгруппа  из  имеет простой порядок и, значит,  разрешима, что противоречит нашему предположению.
Пусть теперь . Так как, по доказанному, , то . Тогда по индукции  --- разрешимая группа. По доказанному, каждая силовская подгруппа фактор-группы  имеет простой порядок, и, значит,  разрешима. Следовательно, разрешима и сама группа . Лемма доказана.
Пусть  --- непустая -замкнутая насыщенная формация,  --- группа, в которой множество всех -субнормальных подгрупп плотно, . Тогда  --- группа одного из следующих типов:
1) , , ;
2) , ,  максимальна в , , ;
3) , , .
Доказательство. По лемме,  разрешима. Так как , то ясно, что . Положим  и рассмотрим холлову -подгруппу  группы . Если единичная подгруппа не является максимальной в , то существует -субнормальная в  подгруппа  такая, что . По лемме  GOTOBUTTON GEQ190  REF GEQ190  \* MERGEFORMAT (??),  и, значит,  --- -группа. Получили противоречие. Таким образом,  равен либо 1, либо является простым числом.
Рассмотрим теперь холлову -подгруппу  группы . Пусть  --- нормальная максимальная подгруппа из . Пусть , . Если 1 не максимальна в , то между 1 и  можно вставить -субнормальную подгруппу, индекс которой, по лемме  GOTOBUTTON GEQ190  REF GEQ190  \* MERGEFORMAT (??), является -числом. Понятно, что этот индекс делится на . Получаем противоречие. Значит,  равен либо квадрату простого числа, либо простому числу, либо произведению двух различных простых чисел.
Если , то ясно, что  либо типа 1), либо типа 3). Пусть  --- простое число. Если  --- простое число, то  --- группа типа 1). Пусть , где  --- простые числа. Предположим, что в  существует подгруппа  порядка . Так как 1 не максимальна в , то между 1 и  существует, по условию, -субнормальная подгруппа, индекс которой, по лемме, является -числом. Но этот индекс делится и на . Остается принять,  --- максимальная подгруппа группы . Но тогда  и  --- группа типа 2). Теорема доказана.
Приведем пример, показывающий, что классы групп, перечисленные в теореме, не пусты.
Пусть  --- такая -замкнутая насыщенная формация -нильпотентных групп, что  не совпадает с множеством всех простых чисел. Пусть  --- любое простое число, не входящее в . Тогда всякая группа порядка , где  --- любое простое число, является группой типа 1), а всякая группа порядка  или  является группой типа 3) теоремы. Предположим, что  и существует такое простое число , что  и  (в частности, можно взять  и ). В сплетении  группы  порядка  с группой  порядка  возьмем подгруппу Шмидта . Тогда  имеет порядок  и является группой типа 2) теоремы.

Заключение
В данной работе рассматривались конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп, где  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация. В первом разделе данной главы установлены общие свойства, которые могут быть использованы для изучения строения конечных групп с плотной системой -субнормальных подгрупп. Во втором разделе исследуются свойства максимальных подгрупп в конечных группах с плотной системой -субнормальных подгрупп. В частности, установленно, что в -дисперсивной группе с плотной системой -субнормальных подгрупп каждая -абнормальная максимальная подгруппа либо принадлежат , либо является минимальной не -группой, у которой нормальная силовская подгруппа является минимальной нормальной подгруппой. В третьем разделе данной главы описаны конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп в случае, когда  --- произвольная -замкнутая насыщенная формация и .

Литература
1.Гольфанд Ю.А. О группах, все подгруппы которых специальные // Докл. АН СССР. --- 1948. --- Т. 60,№ 8. --- C. 1313--1315.
2.Закревская Л.Н. Конечные группы с плотной системой -субнормальных подгрупп // в кн: Исследование нормального и подгруппового строения конечных групп. --- Минск:Наука и техника, 1984. --- 71--88.
3.Закревская Л.Н. Конечные группы с -плотной системой подгрупп // в кн: Арифметическое и подгрупповое строение конечных групп. --- Мн.:Наука и техника, 1986. --- 59--69.
4.Каморников С.Ф., Селькин М.В. Подгрупповые функторы и классы конечных групп. --- Минск:Бел. навука, 2003. --- 254 с.
5.Кехмадзе Ш.С. Квазинильпотентные группы // Докл. АН СССР. --- 1964. --- № 155. --- С. 1003--1005.
6.Монахов В.С. О влиянии свойств максимальных подгрупп на строение конечной группы // Матем. зам. --- 1972. --- Т. 11, № 2. --- C. 183--190.
7.Пылаев В.В. Конечные группы с плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Некоторые вопросы теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1975. --- С. 197--217.
8.Пылаев В.В. Конечные группы с обобщенно плотной системой субнормальных подгрупп // в кн: Исследования по теории групп. --- Киев:Инст. математики АН УССР, 1976. --- С. 111--138.
9.Семенчук В.Н. Минимальные не -группы // Алгебра и логика. --- 1979. --- Т. 18, № 3. --- C. 348--382.
10.Черников С.Н. Группы с плотной системой дополняемых подгрупп // Некоторые вопросы теории групп. --- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1975. --- С. 5--29.
11.Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы бесконечных подгрупп // Укр. мат. журн. --- 1967. --- № 6. --- С. 111--131.
12.Черников С.Н. О нормализаторном условии // Мат. заметки. --- 1968. --- № 1. --- С. 45--50.
13.Чунихин С.А. О -свойствах конечных групп // Матем. сб. --- 1949. --- Т. 25, № 3. --- с. 321--346.