Для примера возьмем данные и результаты вычислений из п.1. и п.2., где определено, что первый и второй ресурс используются полностью, и, соответственно, именно их нужно заказывать дополнительно. Но в таких объемах, чтобы сохранить структуру ранее найденной программы производства, и с условием, что от поставщика можно получить дополнительно не более одной трети первоначально выделенного объема ресурса любого вида. Следовательно, задача сводиться к нахождению объемов приобретения дополнительных ресурсов, удовлетворяющих указанным условиям, и вычислению дополнительной возможной прибыли.
Тогда, пусть  – вектор дополнительных объемов ресурсов:

при этом, для сохранения структуры производственной программы, должно выполняться условие устойчивости двойственных оценок:

Т.к. , то задача состоит в том, чтобы найти вектор:

максимизирующий суммарный прирост прибыли:

(3.1)

при условии сохранения структуры производственной программы:

(3.2)

предполагая, что можно надеяться получить дополнительно не более одной трети первоначального объема ресурса каждого вида, т.е.:

(3.3)

причем дополнительные объемы ресурсов, по смыслу задачи, не могут быть отрицательными, т.е.:

,

(3.4)

Т.к. неравенства (3.2) и (3.3) должны выполняться одновременно, то их можно переписать в виде одной системы неравенств:

 ‚ ƒ „ …

(3.5)

Таким образом, получена задача линейного программирования: максимизировать функцию (3.1) при условиях (3.4) и (3.5).
Эту задачу с двумя переменными можно решить графически:

…

50

110

70

0



ƒ

‚

График 1.
На графике видно, что система линейных неравенств (3.4), (3.5), образует область допустимых решений, ограниченную прямыми:
, , ,
при этом линии уровня функции (3.1) перпендикулярны вектору-градиенту  и образуют семейство параллельных прямых (градиент указывает направление возрастания функции). Наибольшего значения функция (3.1) достигает в точке пересечения прямых:
 и
Координаты этой точки и определяют искомые объемы дополнительных ресурсов. Следовательно, программа «расшивки узких мест производства имеет вид:
, ,
и прирост прибыли составит:

Сводка результатов по пунктам 1-3 приведена в таблице 2.

 

4. Транспортная задача

Транспортная задача – это задача о минимизации транспортных расходов, связанных с обеспечением пунктов потребления определенным количеством однородной продукции, производимой (хранимой) в нескольких пунктах производства (хранения). В общем виде задача может быть сформулирована следующим образом:
Однородный продукт, сосредоточенный в  пунктах производства (хранения), необходимо распределить между  пунктами потребления. Стоимость перевозки единицы продукции известна для всех маршрутов. Необходимо составить такой план перевозок, при котором запросы всех пунктов потребления были бы удовлетворены за счет имеющихся продуктов в пунктах производства и общие транспортные расходы по доставке продуктов были бы минимальными.
Примем следующие обозначения:

	Номер пункта производства (хранения) (i=1,2,…,m)
	Номер пункта потребления (j=1,2,…,n)
	Количество продукта, имеющиеся в i-ом пункте производства
	Количество продукта, необходимое для j-го пункта потребления
	Стоимость перевозки единицы продукта из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения
	Количество груза, планируемого к перевозке от i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения

Тогда, при наличии баланса производства и потребления:

математическая модель транспортной задачи будет выглядеть следующим образом:
найти план перевозок
,   где  ;
минимизирующий общую стоимость всех перевозок

при условии, что из любого пункта производства вывозиться весь продукт

,  где

(4.1)

и любому потребителю доставляется необходимое количества груза

,  где

(4.2)

причем, по смыслу задачи
, …,
Для решения транспортной задачи чаще всего применяется метод потенциалов, при котором вводят обозначение вектора симплексных множителей или потенциалов:


Тогда:
,   где  ;
Откуда следует:
,   где  ;
При этом один из потенциалов можно выбирать произвольно, т.к. в системе (4.1) и (4.2) одно уравнение линейно зависит от остальных, а остальные потенциалы находятся, что для базисных значений .
Предположим, что однородный продукт, находящийся в трех пунктах производства (m=3),  необходимо доставить в четыре пункта потребления (n=4). При этом матрица  транспортных затрат на перевозку единицы продукта из любого пункта отправления в любой пункт назначения, вектор  объемов запасов продукта в пунктах производства и вектор  объемов продукта, необходимых пунктам потребления, имеют вид:
Тогда получается, что общий объем продукта в пунктах производства
 больше, чем требуется всем потребителям , т.е. имеем открытую модель транспортной задачи.
Для того чтобы превратить открытую модель транспортной задачи в закрытую, необходимо ввести фиктивный пункт потребления с объемом потребления
 единиц,
при этом тарифы на перевозку продукта в этот пункт потребления будут равны нулю, т.к. фактического перемещения продукта не происходит.
Тогда, первое базисное допустимое решение легко построить по правилу «северо-западного угла». А т.к. оценки базисных клеток транспортной таблицы равны нулю, то, приняв, что , первая транспортная таблица и потенциалы имеют вид:

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30	11	9	*
70				36	34
30					2	28

Т.к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 14, то строим цикл пересчета: 14-13-23-24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:

	9	*	®			®		0	9
	36	34						45	25

То получаем второе базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, полагая :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30	11		9
70			*	45	25
30					2	28

Т.к. теперь наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 22, то строим цикл пересчета: 22‑12‑14‑24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:

	11	9	®			®		0	20
	*	25						11	14

Отсюда получаем третье базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, принимая :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		30			20
70		*	11	45	14
30					2	28

Т.к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, теперь соответствует клетке 21, то строим цикл пересчета: 21-11-14-24 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:

	30	20	®			®		16	34
	*	14						14	0

Получаем четвертое базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, принимая :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		16			34
70		14	11	45
30				*	2	28

Т.к. наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 33, то строим цикл пересчета: 33-23-21-11‑14‑34 и производим перераспределение поставок вдоль цикла пресчета:

	16		34	®				®	14		36
	14	45							16	43
		*	2							2	0

Получаем пятое базисное допустимое решение и находим новые потенциалы, опять принимая :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		14			36
70		16	11	43		*
30				2		28

Теперь наибольшая положительная оценка всех свободных клеток транспортной таблицы, соответствует клетке 25, отсюда строим цикл пересчета: 25-23-33- и производим перераспределение поставок вдоль этого цикла пресчета:

	43	*	®			®		15	28
	2	28						30	0

Получаем пятое базисное допустимое решение и снова находим новые потенциалы, принимая :

0 0 0 3 4 4 2 2 3 6 3 2 1 5 4		30	11	45	36	28
50		14			36
70		16	11	15		28
30				30

Находим оценки всех свободных клеток таблицы:

	Все ,   где  ;

Т.к. получили таблицу для которой нет ни одной положительной оценки, следовательно, найдено оптимальное базисное допустимое решение:

при котором транспортные расходы по обеспечению продуктом всех четырех пуктов потребления будут наименьшими. При этом из второго пункта производства товар будет вывезен не полностью, т.е. там останется остаток продукта 28 единиц.

5. Распределение капитальных вложений

Задача о распределении капитальных вложений – это нелинейная задача распределения ресурсов между предприятиями одного производственного объединения или отрасли.
Предположим, что указано  пунктов, где требуется построить или реконструировать предприятия одной отрасли, для чего выделена определенная сумма. При этом известен прирост мощности или прибыли для каждого предприятия, в зависимости от суммы капитальных вложений в это предприятие. Требуется найти такое распределение капитальных вложений между предприятиями, которое максимизирует суммарный прирост мощности или прибыли всей отрасли.
Примем следующие обозначения:

	Номер предприятия (j=1,2,…,n)
	Общая сумма капитальных вложений
	Сумма капитальных вложений в j-ое предприятие
	Прирост мощности или прибыли j-го предприятия, если оно получит xj денежных единиц капитальных вложений

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти такие значения ,  , …,  ,  при которых значение суммарного прироста прибыли или мощности всей отрасли:

было бы наибольшим, при ограничении общей суммы: , причем будем считать, что все переменные  принимают только целые неотрицательные значения, т.е.:
=0 или 1, или 2, или 3, …;
Эту задачу можно решить методом динамического программирования. Для этого необходимо ввести параметр состояния  и функцию состояния :

	Некоторое количество предприятий,  для которых определяется параметр и функция состояния ( )
	Сумма капитальных вложений, выделяемая нескольким предприятиям ( )
	Максимальный прирост прибыли или мощности на первых  предприятиях, если они вместе получат  капитальных вложений

Тогда, если из  денежных единиц k-ое предприятие получит  денежных единиц, то остаток  денежных средств необходимо распределить между предприятиями от первого до  так, чтобы был получен максимальный прирост прибыли или мощности . Следовательно, прирост прибыли или мощности k предприятий будет равен  и нужно выбрать такое значение  между 0 и , чтобы увеличение прибыли или мощности k предприятий было бы максимальным, т.е.:
,   где .
Если же k=1, то:


Допустим, что производственное объединение состоит из четырех предприятий (n=4). Общая сумма капитальных вложений равна 700 денежных единиц (b=700), при этом суммы выделяемые предприятиям кратны 100 денежным единицам. Значения функций  приведены в таблице 3:

Таблица 3.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	58	71	80	89	95	100
	0	30	49	63	68	69	65	60
	0	22	37	49	59	68	76	82
	0	50	68	82	92	100	107	112

 Для заполнения таблицы 5 необходимо в таблице 4 сложить  значения функции  со значениями  и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение :

Таблица 4.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	58	71	80	89	95	100
0	0	0	42*	58	71	80	89	95	100
100	30	30	72*	88	101	110	119	125
200	49	49	91*	107*	120	129	138
300	63	63	105	121*	134*	143*
400	68	68	110	126	139
500	69	69	111	127
600	65	65	107
700	60	60

Таблица 5.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	91	107	121	134	143
	0	0	100	200	200	300	300	300

Для заполнения таблицы 7 необходимо в таблице 6 сложить  значения функции  со значениями  и на каждой северо-восточной диагонали выбрать наибольшее число (отмечено звездочкой), указав соответствующие значение :

Таблица 6.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	91	107	121	134	143
0	0	0	42*	72*	91	107	121	134	143
100	22	22	64	94*	113*	129*	143	156
200	37	37	79	109	128	144*	158*
300	49	49	91	121	140	156
400	59	59	101	131	150
500	68	68	110	140
600	76	76	118
700	82	82

Таблица 7.
	0	100	200	300	400	500	600	700
	0	42	72	94	113	129	144	158
	0	0	0	100	100	100	200	200

Теперь, в таблице 8, необходимо сложить  значения функции  со значениями , но только для значения , т.е. заполнить только одну диагональ:

Таблица 8.
		0	100	200	300	400	500	600	700
		0	42	72	94	113	129	144	158
0	0								158
100	50							194
200	68						197*
300	82					195
400	92				186
500	100			172
600	107		149
700	112	112

Наибольшее  число этой диагонали показывает максимально возможный суммарный прирост прибыли всех четырех предприятий данного производственного объединения, при общей сумме капитальных вложений в 700 денежных единиц, т.е.:
 денежных единиц
причем четвертому предприятию должно быть выделено:
 денежных единиц

Тогда третьему предприятию должно быть выделено (см. табл. 7.):
 денежных единиц
второму предприятию должно быть выделено (см. табл. 5.):
 денежных единиц
на долю первого предприятия остается:
 денежных единиц
Таким образом, наилучшим является следующее распределение капитальных вложений по предприятиям:

которое обеспечивает производственному объединению наибольший возможный прирост прибыли:
 денежных единиц

6. Динамическая задача управления запасами

Задача управления запасами – это задача о поддержании баланса производства и сбыта продукции предприятия, минимизирующего расходы предприятия на производство и хранение продукции.
Предположим, что предприятие, производящее партиями некоторую продукцию, получило заказы на n месяцев. Размеры заказов значительно меняются от месяца к месяцу, поэтому иногда лучше выполнять заказы сразу нескольких месяцев, а затем хранить готовую продукцию, пока она не потребуется, чем выполнять заказ именно в тот месяц, когда этот заказ должен быть отправлен. Поэтому необходимо составить план производства на эти n месяцев с учетом затрат на производство и хранение изделий.
Примем следующие обозначения:

	Номер месяца (j=1,2,…,n)
	Число изделий, производимых в j-ом месяце
	Величина запаса к началу j-го месяца
	Число изделий, которые должны быть отгружены в j-ом месяце
	Затраты на хранение и производство изделий в j-ом месяце

Тогда, задача состоит в том, чтобы найти план производства  компоненты которого удовлетворяют условиям материального баланса:
,   где 
и минимизируют суммарные затраты за весь планируемый период:

причем по смыслу задачи , ,  при
Т.к. объем произведенной продукции  на этапе j может быть настолько велик, что запас  может удовлетворить спрос всех последующих этапов и при этом не имеет смысла иметь величину запаса  больше суммарного спроса на всех последующих этапах, то переменная  должна удовлетворять ограничениям:

Полученную задачу можно решить методом динамического программирования, для чего необходимо определить параметр состояния  и функцию состояния :

	Наличный запас продукции в конце k-го месяца ( )
	Минимальные затраты за первые  месяцев:

Тогда, минимальные затраты за один первый месяц ( ):

Следовательно, минимальные затраты при :
,  где 
Если при этом функция затрат на хранение и производство изделий в j-ом месяце имеет вид:
, где

, при  и , при
	Затраты на оформление заказа (переналадку оборудования) в j-ом месяце
	Затраты на хранение единицы продукции, переходящей из j‑го месяца в месяц j+1
	Затраты на производство (закупку)  единиц продукции в j‑ом месяце

то минимальные затраты за один первый месяц ( ):

если ввести обозначение:

то следовательно, минимальные затраты при :
,  где 
Допустим, что предприятие заключило договора на поставку своей продукции на три месяца. Исходные данные приведены в таблице 9. При этом исходный запас товара на складе составляет две единицы, т.е .
Предполагается, что затраты на приобретение продукции составляют 5 руб. за каждую единицу для первых трех единиц и 7 руб. за каждую дополнительную единицу, т.е.

Положим , тогда:

Тогда, т.к. параметр состояния  может принимать значения на отрезке:

т.е. , при этом каждому значению параметра состояния отвечает определенная область изменения переменной :

Однако на первом этапе объем производства не может быть меньше одной единицы, т.к. спрос , а исходный запас , при этом из балансового уравнения следует, что объем производства связан с параметром состояния  соотношением:

т.е. каждому значению  отвечает единственное значение , поэтому:
, тогда:
Значения функции состояния  приведены в таблице 10.:

Таблица 10.
	0	1	2	3	4	5
	9	15	21	29	37	45
	1	2	3	4	5	6

Положим , тогда:
, где:

Здесь минимум берется по переменной , которая может изменяться в пределах:

где верхняя граница зависит от параметра состояния , который принимает значения на отрезке:

т.е. , при этом из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало второго месяца  связан с объемом производства  и с параметром состояния  соотношением:

Тогда:

( )

* *

Наименьшие из полученных значений , есть , т.е.:

причем минимум достигается при  и , т.е.:
 и
эти значения указываем в результирующей таблице 11.
Аналогично:

( )			*
( )			*
( )			*

Таким образом:

Таблица 11.
	0		1	2	3
	21		27	34	41
	0	2	3	3	3

Теперь положим, что , тогда:
, где:

Если оставлять продукцию к концу третьего периода не нужно, тогда параметр состояния принимает единственное значение , следовательно, переменная  может изменяться в пределах:

а из балансового уравнения следует, что остаток товара на начало третьего месяца  связан с объемом производства соотношением:

Тогда:

( )

*

Следовательно, получаем:

причем минимум достигается при , т.е.:

Таким образом, получили минимальные общие затраты на производство и хранение продукции и последнюю компоненту оптимального решения:

Для нахождения остальных компонент оптимального решения, необходимо воспользоваться обычными правилами динамического программирования.
Тогда т.к. , то , откуда , следовательно, из таблицы 11.:
 или
Аналогично т.к. , то  или , откуда  или , следовательно, из таблицы 10.:
 или
Следовательно, получен оптимальный план производства, который имеет два варианта:
при этом, каждый вариант оптимального плана производства обеспечивает минимальные общие затраты на производство и хранение продукции в размере 39 денежных единиц.

7. Анализ доходности и риска финансовых операций

Финансовой называется операция, начальное и конечное состояние которой имеют денежную оценку и цель проведения которой заключается в максимизации дохода в виде разности между конечной и начальной оценками. При этом практически все финансовые операции проходят в условиях неопределенности и, следовательно, их результат невозможно предсказать заранее. Поэтому при проведении финансовой операции возможно получение как прибыли, так и убытка.