1.       Независимо друг от друга 10 чел. Садятся в поезд, содержащий 15 вагонов.
Вероятность того, что все они поедут в разных вагонах?
Р= число близких иходов     =  15….14…….- 6    = 15 !                              -2
     Число элемент. исходов       15*15*15…15          5 !           » 1,88 * 1е
                                                               10 раз                    50    
                                                                                         15            _____________________________________
2. В электрической цепи последовательно включены 3 элемента, работающие
независимо друг от друга. Их вер-ть отказов равны   1       49      1 . 
Найти вероятность того, что тока не будет?                50  ;  50  ;   4
 
-- €- -
А –ток есть
Аi – i-й прибор не исправен
Р (А1) = 49   Р (А2)=   1   Р ( А3) = 3
               50 ;                50 ;               4
     _
Р (А)=1-Р(А) = 1-Р (А1 А2 А3 )  = 1-Р (А1) Р (А2)* Р (А3) = 1- 49 * 1- 3  = 9,753
                                                                                                         50  50  4     10,000
____________________________________________________________________________________________
3. Вер-ть попадания хотя бы раз в мишень при 12-ти выстрелах равно  41 .
Найдите вер-ть попадания при одном выстреле?                                       50
Аi – успешный  i – выстрел
                           _________
Р =  41   = 1-Р (  А1 …..А12) – не попали ни в одном случае из 12-и выстрелов =
       50
             __              __                     _   12                                  12
= 1 – Р (А1) …..Р (А12)  = 1 – Р (А1)     ; 41  = 1-Р (А1)             
                                                                    50
Найти  Р (А1)
     _   12
Р (А1)     = 1- 41 =  9
                       50    50
     _        12__
Р (А1)  = Ö 9
                  50
                       _            12__
Р (А1) = 1-Р (А1) = 1 - Ö 9  » 0,133
                                         50                                       ___________________________________________
4.       Имеются 28 билетов, на каждом из которых написано условие нескольких
задач. В 13 билетах задачи по статистике, а в остальных 15 – задачи по теории
вероятности. 3 студента выбирают на удачу по одному билету. Найти вероятность
того, что хотя бы одному из студентов не достанется задача по теории вероятности.
Аi –студенту достанется задача по теории вероятности
А – всем достанется задача по теор. вероят.
А = А1 А2 А3
А – хотя бы одному не достанется задача по теор.вероят.
     _
Р (А) = 1 – Р(А) = 1- Р (А1 А2 А3) = 1 – Р       *(А3) * Р (А1 А2) = 1-Р       *(А3) * Р    *
                      А1А2                                                 А1А2                      А1
 *(А2)*Р (А1)= 1 – 15 * 14 *  13  = 0,265
                                28   27     26                      
 
5.       В ящике содержится 6 деталей, изготовленных на 1-м заводе, 2 детали на 2-м заводе
и 4 детали на 3-м заводе. Вероятность брака на заводах равна 19 , 19  и  59
                                                                                                          20   50     100
Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь будет качественная.
Н1 – деталь с 1-го завода
Н2 -  деталь со 2-го завода
Н3 -  деталь с 3-го завода.
Р(Н1) = 6  =   1 ; Р(Н2) = 2 =  1 ; Р(Н3) =  4   =   1
             12      2                12    6                 12       3
А - извлеченная  деталь качественная
     _                _                             _                              _
Р (А) = Р    *(А) * Р (Н1) + Р   *(А) * Р (Н2) + Р   *(А)*Р (Н3) =19 * 1 + 19 * 1 + 59 *1=147=>
               Н1      _                           Н2                                   Н3                              20      2      50      6     100   3     200
Р (А) = 1 – Р (А) =  53/200
__________________________________________________________________________________________
6.       Независимые вероятные величины Х,У представляют только целые значения
Х: от 1 до 16 с вер-ю  1
                                    16
У: от 1 до 23 с вер-ю    1
                                      23
Р ( Х+У = 32)
        Х   У          Р (Х=9; Х =23) = P (Х=9) * Р (У = 23) =  1  *   1  
        9   23                                                                             16     23   
       10  22           
                           P ( X+y=32 )=P ( X=8, y=23 ) + P ( X=10; y=12 )+…+P ( y=16,X=16 )=
       16  16          = 8* 1 * 1 = 1  
16     23  46
_________________________________________________________________________________________
7.       Независимые случайные величины Х , У принимает только целые значения.
Х: от 1 до 14 с вероятностью   1          
                                                   14
У: от  1 до 7 с вероятностью   1
                                                    7
Найти вероятность того, что Р (Х £  У)
Если У = 7, то 1 £ Х £ 6            1   *   6
7          14
Если У = 6 то  1£ Х £ 5             1   *   5
                                                     7      14
Если У = 5 то  1£ Х £ 4             1   *   4
7          14
Если У = 4 то  1£ Х £ 3             1   *    3
7            14
Если У = 3 то  1£ Х £ 2             1   *    2
7            14
Если У = 2 то  1 = Х                  1   *    1
                                                    7        14
Р (Х<У) = 1 *  6  +  1  *  5  +  1  *  1  =  1+2+3+4+5+6  = 21  =    3
                  7    14     7     14      7     4              7 * 14           714      14
_________________________________________________________________________________________
8.       Независимые величины Х1……Х7 принимают только целые значения от
 0 до 10 с вероятностью   1
                                           11
Найти вероятность того , что  Р(Х1…….Х7) = 0
Р (Х1……Х7 =0) = 1-Р (Х1….Х7 ¹ 0) = 1- Р( Х1¹0….Х7 ¹  )=1-Р( Х1¹0 )*Р (Х2¹0)
                                                                        7      
*….* Р(Х7¹0) = 1 – 10   *   10  =  1  -   10
                                          11…….  11                   11        
        
                                                 7 раз
9.       Независимые случайные величины Х, У, Z принимают целые значения
Х: от 1 до 13 с вероятн-ю   1
                                              13                                                                                                                                                                               
У: от 1 до 12 _____/_____   1
                                              12
Z  от  1 до  9 _____/_____   1
                                               9
Вероятность того, что Х;У;Z. примут разные значения?
Пусть “Z” приняло какое-то  значение “а”.  Р (У¹а) =  11  
                                                                                             12
Пусть при этом  У= в
Р (Z ¹ a;  Z ¹ в) =  11 ;  Р = 11  *  11
                               13           12      13.
_______________________________________________________________________________________
10.

Х	1	4	7
Р	0,1	0,4	0,5

м = М (Х) - ?      М (Х) = 0,1+1,6+3,5 = 5,2
Р ( Х < м) - ?      Р ( Х < 5,2) = Р(Х=1) + Р(Х=4) = 0,5
___________________________________________________________________________________________
11.

Х	2	3	5
Р	0,2	0,3	0,5

2 Х	4	9	25
Р	0,2	0,3	0,5

Д (Х) - ?
М(Х) = 0,4+0,9+2,5=3,8
         2
М (Х ) = 0,8+2,7+12,5 = 16
                      2          2                            2
Д (Х) = М (Х ) – М  (Х) = 16 - 3,8     =  1,56
______________________________________________________________________________________________________________
12. Независимые величины Х1,…….,Х9 принимают целое значение – 8, - 7,…..,5,6
с вероятностью   1
                            15                                                                                                9                                     
Найти М (Х1,Х2,…..,Х9) * М (Х2,….,Х9) = М (Х1) * М(Х2)*….* М(Х9) =М (Х9)
М (Х1) =  -8 * 1  – 7 * 1 *  6 * 1  - … + 5 * 1  +  6 * 1  =  1   (-8-7-5….+5+6) = -1 
                        15          15         15                 15          15     15
                                                   9              9
                                  =  М (Х1)     =  ( -1)   = -1
13.

Х	8	10	12	14	16
Р	0,25	0,2	0,2	0,2	0,25

м= М (Х)-?                         М (Х) = 2 + 2 + 1,2 + 2,8 + 4 = 12
д(Х) -?                                                                      2                          2
Р ( (Х-м) < d)                     Д (Х) = М (Х – М (Х) ) = М (Х-12)
 

Х-12	-4	-2	0	2	4
Р	0,25	0,2	0,1	0,2	0,25

2 (Х-12)	1	4	0
Р	0,5	0,4	0,1

              2
М (Х-Р)    = 8+1,6
                  _____
d (Х)  =  Ö d (Х) » 3,1
Р (  Х –12   < 3,1 ) = Р (-3,1<Х –12 < 3,1) = Р (8,9<Х<15,1) =
= Р (Х=10) + Р (Х=12) + Р (Х=14) = 0,5
___________________________________________________________________________________________________________
14. Х, У – неизвестные случайные величины
М (Х) = 3                                          8 2         2                           2                     2                                        2
М (У) =2      ½       Д(ХУ) = М( ХУ   ) – М   (ХУ) = М (Х   ) * М (У   ) – [ М (Х)*М (Х)]   =   
Д(Х) = 4       ½                          2            2                         2                              2
Д(У) = 8       ½      Д (Х)=М(Х   ) – М   (Х) = М (Х   ) = Д (Х) + М   (Х) =  4 + 9 = 13
Д (Х У)                          2                              2
                              М (У   ) = Д (Х) + М    (У)  = 8 + 4 = 12
                                                      2
                          = 12*13 – (2 * 3)    = 156 – 36 = 120
__________________________________________________________________________
15. Х, У – независимые неизвестные величины. Принимают значение 0 и 1.
Р (Х=0) = 0,3       ½                     2                 2                    2                   2                                                         2

Р (У=0) = 0,6       ½      М(Х+У)    + М (Х   + 2ху +у   ) = М (Х   ) +2М (Х) * М (У) + М (У   )  =

               2               

М (Х+У)                

2 Х ,  Х	0	1
Р	0,3	0,7

2 Х ,  Х	0	1
Р	0,6	0,4

                                 2
М (Х) = 0,7 = М (Х  )
                                  2
М (У) = 0,4 = М ( У   )
 =  0,7 + 2 * 0,7 * 0,4 + 0,4 = 1,66
16. Х, У независимые неизвестные величины Принимают значение 0 и 1.
(задание как в 15).
 

Х	0	1
Р	0,3	0,7

У	0	1
Р	0,5	0,5

        х - у                             
М (3       )   -  ?
           х-у                   х         -у                х                  -у
М (3      )  = М (3    * 3   ) =М (3  ) * М (3   )   = 2,4 *  2  = 1,6
                                                                                         3

х       3	1	3
Р	0,3	0,7

-у         3	1	1         3
Р	0,5	0,5

          Х                                                                                -у
М (3   ) = 0,3 + 2,1 = 2,4                           М (3   ) = 0,5 + 0,5  = 4  * 0,5 = 1
                                                                                              3        3             3
_____________________________________________________________________________________________________________
17. Производится 10240 независимых испытаний, состоящих в том, что
подбрасываются 9 монет
Х – число испытаний, в которых выпало 3 герба
М (Х) -?
1-испт.   -   9 монет           
                   9 испытаний  Р =  1
                                                  2    
                     3             3                6          3               9
Р(Г = 3) = С9  * ( 1 )   *  ( 1 )    = С9   *  ( 1 ) = 84 *   1    -   21  = …
                             2           2                       2               512     128
n = 10240 испытаний
Р = 21 ;  М (Х) = np = 21 * 10240  = 1680

128                                                       128

18. В серии независимых испытаний  (одно испытание за ед.времени)
вероятность наступления А равна 1
                                                           8.
Пусть Т-время ожидания наступления события А 14 раз. Найти М (Т)1  Д (Т).
Х1 – время ожидания до первого наступления А
Х2 – время ожидания от первого наступления А до 2-го  
Т = Х1 + Х2 +Х3 + …..Х14
Хi   Р =  1                                                           
               8                                                          7/8
М (Хi) =  1 = 8 ; d = 7             Д (Хi) = d  =           = 56
                 8               8                              2            2
                                                                p        1/8
                                                                                                
                                                                        
М (Т) = 14М  * (Х1) 14 * 8 = 112
Д (Т) = Д(X1 ) = 14 * 56 = 784
19. Величины Х1 …..Х320 распределены по Биноминальному закону с параметрами  
п =4, р =  3 Найти М (Х1 + Х2  + …+ Х320)=?
                8
            2                 2                             2
М (Х1  + …..+Х  320) = 320М (Х1  )   =               Х1 – биноминальное
            2                         2                                М (Х1) = пр =  3
= М(Х1  )  = Д(Х1) + М   (Х1) =                                             2
                      2                                                 Д (Х1 ) = nрq = 3 *  5    =  5
 =  15 +  3      = 15 + 9  = 51                                                      2     8       16

     16     2          16    4     16    
=  320 * 51  =  1020
              16
_____________________________________________________________________________________________________________________
20. Величины Х1 …..Х18 распределены по закону Пуассона с одинаковым 
мат. ожиданиям равным  8.
                     2                  2
Найти М (Х1  +…+ Х18   ) - ?
   M (Х) = Д (Х) = l   =  8
          2                 2                           2                                       2 
М (Х1  +…+ Х18 ) = 18 М (Х1  ) = 18 (Д (Х1) + М  (Хi ) )=18(8 + 64)=18 * 72=1296
_________________________________________________________________________________________________________
21.   Х – равномерно распределён на отр. [ - 8,2 ]
Р ( 1 )>5 = Р (0< Х <1 )  =  > (0< Х <0,5)  =
     Х                          5
1 – 5 >0 ; 1 – 5Х  > 0;   Х –1/5 < 0 Û (0< Х <0,5)      
Х                 Х                  Х
                                  
1 – 5Х  > 0;   Х – 1/5 < 0
    Х                   Х
[ х, в ]
            0,Х>а                                         0; Х <а
f (Х)=     1    ;  а < Х < в      F (Х) =     х – а ; а £ Х £ а  Û 0< Х  1/5   
             в –о                                            в –а                                   
              0,Х > в                                     1, Х >B                                 
                                                                                                                         

F (Х) = Х + 8 = F (1/5)  - F ( 0 ) =1/5  + 8  -   8  =   1    
         5                                                10          10     50
_______________________________________________________________________________________________________________________
22. Х – равномерно распределена на отр. [ -17; 10 ]
          2                                 2
Р ( Х   > 64) = 1- Р ( Х   < 64) = 1 – 16
                                                           27     
        2
Р (Х  < 64 ) = Р (-8 < Х <8)  =
                    0; Х < -17
  F(Х) =       Х + 17 , -17 £ Х  £ 10   
                        27
                    1, Х > 10

=  F (8) – F (-8) = 8 + 17  - -8 + 17  =   16
                                27            27           27
______________________________________________________________________________________________________________
23. Х – равномерно распределена на отр. [ -1; 1 ] 
           8/9           X [a,b] ; f (x)                            
М ( Х     )                     a                                                 0; x <-1
                        M(x)= ∫  x f(x) dx          f (x)=       -1<x<1
                                     b                                                 0; x>1           
                                          a
                        M(y(x))=∫ y (x) f (x) dx
                                          b
        8/9         1         8/9                     17/9   1  
M(X     ) = ∫  Ѕ* X     DX = Ѕ * X            = 9/17       
                   -1                             17/9      -1
24. Х – равномерно распределена на отр. [ 0.1 ]
             9/10                       9/10
Д ( 19Х      )  = 361 (Х       )
         9/10                      9/10   2              2     9/10                  9/4            2      9/10          9/10 * 2
Д (Х       ) = М ( (Х       )  )  - М  (Х     )  = М (Х   )  -  М  (Х      )    Х     
__________________________________________________________________________________________________________
25. Х – равномерно распределена на отр. [ 5; 8 ] * Д (24x+ 36) - ?
Д (24Х + 36) = Д (24Х) = 576 * Д (Х) = 576 * 3  = 432
                         2                                                              4
Д (Х) = ( в – а )
                  12
                      2
Д (Х) = 8 – 5  =   9   =   3
               12         12       4
_______________________________________________________________________________________________________________
26. Х1,……Х2  –   Независимые и распределенные по показательному закону.
                                                        2
Найти  М [ (Х1 + Х2  + …..+ Х10)   ], если  М (Хi ) = 4.
М (Х) =   1
                l
Д (Х)  =    1
                         2            
                 l
M (Хi ) = > Д (Хi)  = 16
                                 2                                                    2                                                                                 2                      
М [ (Х1  +….+ Х10)  ]=Д(Х1  +…+ Х10) + М   (Х1  +….+ Х10) =10Д (Х1)+[ 10М (Х1) ]=
                           2 
= 160 + ( 10 * 4)    = 1760
_________________________________________________________________________________________________________________
                                          2
М(Х) =1/ l ;  Д(Х) =  1/l
27.  Х –распределен по показательному признаку
                                       2
Найти  М [ (Х + 8)  ] , если Д (Х) = 36                     М (Х)=6
                    2                2                                          2                                                                        2
М (Х + 8)   = M(Х   + 16х + 64) = М (Х   ) + 16М (Х) + М (64) = Д (Х) + М  (Х) +
+ 16 М(Х) + 64 =36 + 36 + 96 + 64 =232
____________________________________________________________________________________________________________
 28. Х –показательное распределение; Х – показательный закон
 

                 0, Х < 0
 F (Х) =            -2х                                                                                                                                         
                 1 – е     , Х >0,  Найти Ln  (1 – Р ( Х < 6) )  = Ln (1 – F (6)  ) =
                      -6/7                                      -6/7                    -6/7
=  F (6) = 1 – е      =   Ln  ( 1 – (1 – е    ) ) = Ln е       =  -   6/7

 

29.  (Х) -  случайная величина 
 

                    0, Х < 10
ѓ (Х) =         С   ; Х  ≥ 10
                             5
                    Х
С - ? ;   М (Х) - ?
   ¥                                      ¥                     опр.                B                                          ¥     -5                                
∫    ѓ  (Х)dх = 1 => ∫      с    dх =    lim     ∫   = cdx  = C lim    ∫  X   dx  =
 10                              10       5             b->¥     10             5             b->¥    10
                                           Х                                       X
                                  b
                           -4                            -4           4                   4                        4    
= C *  lim       X       = C lim      -  b     +  10       = C *  10   = > 1  = C  10    = >
           b->¥      -4              b->¥          4           4                   4                       4
                                10
                             4
=>  C = 4 * 10 
 

                     0; Х < 10
ѓ (Х) =                    4
                      4 * 10  ,   Х  ³ 10
                             5
                         Х     
                       ¥                                   ¥                   4
М (Х)  =  ∫   Х ѓ (Х) dx  =  ∫     4 * 10 dx
              10                            10           4
                                                             Х
_________________________________________________________________________________
30. Х – нормальная случайная величина
М (Х) = 16
Д (Х)  = 25
? – Р (Х>10,5)
 

=    1   -  f     10,5 – 16   =  0,5  +  f (1,1) = 0,5 + 0,364 = 0,864
2                                 5
________________________________________________________________________________________
 

1.       Р (d £ X  £ b )  =  f  b – m     - f   d - m
                                             d                      d  
 

2.     P ( X < b  )  =   1   +  f     b – m
2                             d        
 

3. P ( X > b  )  =  1    -   f    b – m
                         2                  d