Отчет по лабораторной работе на тему:

Модели надежности программного обеспечения
1.  Модель Шумана основана на следующих допущениях:

·      общее число команд в программе на машинном языке постоянно;

·      в начале компоновочных испытаний число ошибок равно некоторой постоянной величине, и по мере исправления ошибок их становится меньше. В ходе испытаний программы новые ошибки не вносятся;

·      ошибки изначально различимы, по суммарному числу исправленных ошибок можно судить об оставшихся;

·      интенсивность отказов программы пропорциональна числу остаточных ошибок.

Предполагается, что до начала тестирования (т.е. в момент t=0) имеется M ошибок.  В течение времени тестирования τ обнаруживается ε₁(t)  ошибок в расчете на одну команду в машинном языке.

Тогда удельное число ошибок на одну машинную команду, оставшихся в системе после времени тестирования τ, равно:

                                                                                                              (1)

где I - общее число машинных команд, которое предполагается постоянным в рамках этапа тестирования.

Предполагается, что значение функции количества ошибок Z(t) пропорционально числу ошибок, оставшихся в программе после израсходованного на тестирование времени τ.

Z (t) = C * ε₂ (τ),

где С - некоторая постоянная, t - время работы программы без отказов.

Тогда, если время работы программы без отказа t отсчитывается от точки  t = 0, а τ остается фиксированным, функция надежности, или вероятность безотказной работы на интервале от 0 до t, равна

                                                                           (2)

                                                                                           (3)

Нам необходимо найти начальное значение ошибок M и коэффициент пропорциональности  С. Эти неизвестные оцениваются путем пропуска функционального теста в двух точках переменной оси отладки t_a и t_в, выбранных так, что ε₁(t_a)<ε₁(t_d).

В процессе тестирования собирается информация о времени и количестве ошибок на каждом прогоне, т.е. общее время тестирования τ складывается из времени каждого прогона:

τ = τ₁ + τ₂ + τ₃ + … + τ_n.

Предполагая, что интенсивность появления ошибок постоянна и равна λ, можно вычислить ее как число ошибок в единицу времени,

                                                                                                                                 (4)

где A_i - количество ошибок на i - ом прогоне.

Тогда  .                                                                                                                   (5)

Имея данные для двух различных моментов тестирования t_a и t_в, можно сопоставить уравнения (3)  при τ_a и τ_b:

                                                                                                                                                

                                                                                                   (6)

                                                                                                      (7)

Из соотношений (6)  и (7) найдем неизвестный параметр  С  и М:

                                                                                   (8)

                                                                                                            (9)

Получив неизвестные M^* и C^*, можно рассчитать надежность программы по формуле (2).

Пример 1.

Программа содержит 2 000 командных строк, из них, до начала эксплуатации (после периода отладки), 15 командных строк содержат ошибки. После
20 дней работы обнаружена 1 ошибка. Найти среднее время безошибочной работы программы и интенсивность отказов программы при коэффициенте пропорциональности, равном 0,7.

I=	2000
M=	15
t=	20
x=	1
C=	0,7

E1(t)=	0,0005
E2(t)=	0,007
P(t)=	0,906649
tср=	204,0816
λ=	0,0049	- интенсивность отказов

Пример 2.

На условиях примера 1 определить вероятность безошибочной работы программы в течение 90 суток.

I=	2000
M=	15
t=	90
x=	1
C=	0,7
P(t)= 0,643393

Пример 3.

Определить первоначальное количество возможных ошибок в программе, содержащей 2 000 командных строк, если в течение первых 60 суток эксплуатации было обнаружено 2 ошибки, а за последующие 40 суток была обнаружена одна ошибка. Определить T₀ – среднее время безошибочной работы, соответствующее первому и второму периоду эксплуатации программы и коэффициент пропорциональности.

I=	2000
t1=	60		суток
t2=	100		суток
x1=	2		ош.
x2=	3		ош.
T0=	30		33,33333
Интенсивности отказов: λ1=	0,033333
λ2=	0,03
C=	6,666667
E1(t1)=	0,001
E2(t2)=	0,0015
M=	12
Л2/Л1=	0,9

2. Модель Миллса. Пусть в процессе тестирования обнаружено n исходных ошибок  и v из S рассеянных ошибок. Тогда оценка N - первоначальное число ошибок в программе - составит

.

 

Вторая часть модели связана с проверкой гипотезы выражения и тестирования  N. 

Рассмотрим случай, когда программа содержит  К собственных ошибок и  S рассеянных ошибок. Будем тестировать программу до тех пор, пока не обнаружим все рассеянные ошибки. В то же время количество обнаруженных исходных ошибок накапливается и запоминается. Далее вычисляется оценка надежности модели: 

                 (11)

как вероятность того, что в программе содержится K ошибок.

Величина С является мерой доверия к модели и показывает вероятность того, насколько правильно найдено значение N. Эти два связанных между собой по смыслу соотношения образуют полезную модель ошибок: первое предсказывает возможное число первоначально имевшихся в программе ошибок, а второе используется для установления доверительного уровня прогноза.

Формула для расчета С в случае, когда обнаружены не все искусственно рассеянные ошибки, модифицирована таким образом, что оценка может быть выполнена после обнаружения v (v£S) рассеянных ошибок:

     1       (12)

где числитель и знаменатель формулы при n £ К являются биноминальными коэффициентами.
Пример 4
.


Предположим, что в программе имеется 3 собственных ошибки. Внесём ещё 6  ошибок случайным образом.

В процессе тестирования было найдено:

1)  6 ошибок из рассеянных и 2 собственных;

2) 5 ошибок из рассеянных и 2 собственных;

3) 5 ошибок из рассеянных и 4 собственных.

Найти надёжность по модели Миллса - С.

K=					3			ош - собственные
S=					6			ош - случайные
1)
n=					2
v=					6
C=					0,6
2)
n=					2
v=					5
C=					0,333333
2!				4!			6!			8!		10!
2				24			720			40320		3628800
3)
n=			4
v=			5
C=			1			по формуле  (12)

3. Простая интуитивная модель. Использование этой модели предполагает проведение тестирования двумя группами программистов (или двумя программистами в зависимости от величины программы) независимо друг от друга, использующими независимые тестовые наборы. В процессе тестирования каждая из групп фиксируют все найденные ею ошибки.

Пусть первая группа обнаружила n₁ ошибок, вторая n₂ , n₁₂ - это число ошибок, обнаруженных как первой, так и второй группой.

Обозначим через N неизвестное количество ошибок, присутствующих в программе до начала тестирования. Тогда можно эффективность тестирования каждой из групп определить как

.

Эффективность тестирования можно интерпретировать как вероятность того, что ошибка будет обнаружена. Таким образом, можно считать, что первая группа обнаруживает ошибку в программе с вероятностью , вторая - с вероятностью . Тогда вероятность p₁₂ того, что ошибка будет обнаружена обеими группами, можно принять равной . С другой стороны, так как группы действуют независимо друг от друга, то р₁₂ = р₁р₂. Получаем:  

Отсюда получаем оценку первоначального числа ошибок программы:

.

Пример 5
.


В процессе тестирования программы 1-я группа нашла 15 ошибок, 2-я группа нашла 25 ошибок, общих ошибок было 5. Определить надёжность по простой интуитивной модели.

n1=		15	ош
n2=		25	ош
общ.ош=		5	ош
N=		75
p1=		0,2
p2=		0,333333
p12=		0,066667

4. Модель Коркорэна

Применение модели предполагает знание следующих ее показателей:

·      модель содержит изменяющуюся вероятность отказов для различных источников ошибок и соответственно разную вероятность их исправления;

·      в модели используются такие параметры, как результат только N испытаний, в которых наблюдается N_i ошибок i-го типа;

·      выявление в ходе N испытаний ошибки i-го типа появляется с вероятностью а_i.

Показатель уровня надежности R вычисляют по следующей формуле:



где N₀ - число безотказных (или безуспешных) испытаний, выполненных в серии из N испытаний,  k - известное число типов ошибок,  a_i — вероятность выявления при тестировании ошибки i-го типа,

Y_i - вероятность появления ошибок, при N_i > 0, Y_i = a_i,  при N_i = 0, Y_i = 0.

Пример 6
.
 

Было проведено 100 испытаний программы. 20 из 100 испытаний прошли безуспешно, а в остальных случаях получились следующие данные:

Тип ошибки	Вероятность появления  ошибки ai	Число появления ошибок  Ni при испытании	Yi	(Yi*(Ni-1))/N
1. Ошибки вычисления	0,09	5	0,09	0,0036
2. Логические ошибки	0,26	25	0,26	0,0624
3. Ошибки ввода/вывода	0,16	3	0,16	0,0032
4. Ошибки манипулирования данными	0,18	0	0	0
5. Ошибки сопряжения	0,17	11	0,17	0,017
6. Ошибки определения данных	0,08	3	0,08	0,0016
7. Ошибки в БД	0,06	4	0,06	0,0018

Оценить надёжность по модели Коркорэна.

Исходные данные:
N=	100
N0=	20
R=	0,2896

Пример 7. Было проведено 100 испытаний программы. 20 из 100 испытаний прошли безуспешно, а в остальных случаях получились следующие данные:

Тип ошибки, i	Вероятность появления  ошибки.  ai	Число появления ошибок  Ni при испытании	Yi	(Yi*(Ni-1))/N
1	0,09	8	0,09	0,0063
2	0,26	0	0	0
3	0,17	4	0,17	0,0051
4	0,2	25	0,2	0,048
5	0,8	25	0,8	0,192
6	0,08	3	0,08	0,0016
7	0,16	5	0,16	0,0064

Оценить надёжность программы  по модели Коркорэна.

Исходные данные:
N=	100
N0=	20
R=	0,4594