Надежность АСО и У
Лабораторная работа № 3
Решение задачи оптимального резервирования системы методом динамического программирования
Вариант №1
Студент
Корнеева М.С.
(шифр605596)
Группа
АУЗ– 562

Введение
Цель работы
Изучение влияния структурного резервирования на показатели надежности системы, освоение метода динамического программирования для решения задачи оптимального резервирования
Задание на работу
1. Освоить методы решения задачи оптимального резервирования технической системы.
2. Для заданного варианта построить оптимальную схему системы при нагруженном резервировании ее элементов. Для этого решить задачу методами неопределенных множителей Лагранжа и динамического программирования.
3. Составить отчет по работе, содержащий все этапы выполнения задания
Задача
Система управления содержит блок обработки и блок выдачи команд. Величины вероятностей безотказной работы и приведенных затрат на эти блоки P₁(t_i)=0,5, P₂(t_i)=0,7, с₁= 3 усл.ед., с₂= 1 усл.ед
Найти оптимальный нагруженный резерв для каждого блока при условии, что вероятность безотказной работы системы должна быть не менее 0,98 при минимальных затратах.

Ход выполнения работы
Теоретические положения.
Большая группа задач оптимизации связана с определением числа резервных элементов (подсистем) с учетом ограничивающих факторов (затрат). Подобные задачи могут быть двух видов.
Задачи оптимального резервирования первого вида состоят в определении требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих заданное значение показателя надежности системы при минимальных затратах.
Задачи второго вида - определение требуемого количества резервных элементов, обеспечивающих максимум значения показателя надежности системы при величине затрат, не превышающей заданную.
Для решения перечисленных задач используют метод неопределенных множителей Лагранжа, а также методы: градиентный, перебора и динамического программирования.
Метод неопределенных множителей Лагранжа позволяет аналитически получить приближенное решение задачи. Погрешность результатов обусловлена тем, что данный метод оперирует действительными числами, в то время как количество резервных элементов системы выражается как целое число. Округление результатов до целых чисел вызывает сдвиг экстремума в пространстве параметров, вследствие чего возникает погрешность решения. Кроме того метод неопределенных множителей Лагранжа дает решение в явном виде только при простейших моделях надежности.
Метод динамического программирования является модификацией метода простого перебора. В этом методе для сокращения числа вариантов при переборе вводится понятие доминирующая последовательность – подмножество вариантов, перспективных с точки зрения поиска оптимального решения.
Применительно к задаче оптимального резервирования будем считать, что один состав системы, представляющий собой некоторую комбинацию расположения резервных элементов, доминирует над другим, если для одного и того же уровня надежности обеспечение этого состава связано с минимальными затратами. Все неоптимальные решения, не входящие в состав доминирующей последовательности в силу того, что они обладают большей величиной затрат при той же надежности или меньшей надежностью при тех же затратах, чем члены доминирующей последовательности, исключаются из рассмотрения.
Решение задачи методом неопределенных множителей Лагранжа.
Пусть система состоит из  подсистем и каждая подсистема имеет  резервов. Вероятность отказа системы .

Затраты на резервную подсистему .
Оптимальный резерв i-ой подсистемы имеет вид:
,
где
Занесем исходные данные и промежуточные расчеты в таблицу

i	1	2
	3	1
	0,5	0,3
	-0,6932	-1,204
	-4,3281	-0,8306

Первоначальное состояние системы, когда нет резервов, описывается вектором состояния , поскольку изначально генератор состоит из двух блоков. .
При этом


Определяем оптимальное количество элементов каждой подсистемы:


Округляя результаты до ближайших целых значений, получим приближенный оптимальный состав системы: . При таком составе системы параметры системы будут следующими:


При таком составе системы вероятность отказа составляет Q=0.018, что меньше заданной величины Q_зад=0,02, значит условие выполняется
Решение задачи методом динамического программирования
Примем, что для блока № 1 максимальное число резервных блоков равно 6, а для блока № 2 максимальное число резервных блоков равно 5. Для построение доминирующей последовательности построим таблицу

													Число К1 резервных блоков к блоку 1
													0		1		2		3		4		5		6
												1	3,0000	2	6,0000	3	9,0000	4	12,0000	5	15,0000	6	18,0000	7	21,0000
													0,5000		0,2500		0,1250		0,0625		0,0313		0,0156		0,0078
Число К2 резервных блоков к блоку 2			0	8	1,0000							14	4,0000	15	7,0000	16	10,0000	17	13,0000	18	16,0000	19	19,0000	20	22,0000
					0,3000								0,8000		0,5500		0,4250		0,3625		0,3313		0,3156		0,3078
			1	9	2,0000							21	5,0000	22	8,0000	23	11,0000	24	14,0000	25	17,0000	25	20,0000	27	23,0000
					0,0900								0,5900		0,3400		0,2150		0,1525		0,1213		0,1056		0,0978
			2	10	3,0000							28	6,0000	29	9,0000	30	12,0000	31	15,0000	32	18,0000	33	21,0000	34	24,0000
					0,0270								0,5270		0,2770		0,1520		0,0895		0,0583		0,0426		0,0348
			3	11	4,0000							35	7,0000	36	10,0000	37	13,0000	38	16,0000	39	19,0000	40	22,0000	41	25,0000
					0,0081								0,5081		0,2581		0,1331		0,0706		0,0394		0,0237		0,0159
			4	12	5,0000							42	8,0000	43	11,0000	44	14,0000	45	17,0000	46	20,0000	47	23,0000	48	26,0000
					0,0024								0,6170		0,3670		0,2420		0,1795		0,1483		0,1326		0,1248
			5	13	6,0000							49	9,0000	50	12,0000	51	15,0000	52	18,0000	53	21,0000	54	24,0000	55	27,0000
					0,0007								0,5540		0,3040		0,1790		0,1165		0,0853		0,0696		0,0618

В клетках 14-55 записываем значения вероятностей отказов и затрат для последовательно соединенных блоков 1 и 2.
В таблице темно-серым цветом обозначены клетки-варианты реализации устройства, подходящие под условие отказоустойчивости. Из них выбираем вариант с наименьшими затратами

Выводы
Решив задачу методом неопределенных множителей Лагранжа и методом динамического программирования пришел к следующему оптимальному по затратам и отказоустойчивости составу системы, с учетом введенных нагруженных блоков: .
Графически:
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

1

1

1

1

1

1

2

2

2