Федеральное Агентство по образованию

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)

Кафедра физики

ОТЧЕТ

Лабораторная работа по курсу "Общая физика"

ИЗУЧЕНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ

НА МАШИНЕ АТВУДА

Преподаватель Студент группы 645-1

___________ /____________. / __________ / ____________ /

___________20__ г. __________ 20__ г.

20__

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ


Целью работы является изучение закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда.

2. ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ И МЕТОДИКИ ЭКСПЕРИМЕНТА


С
хема экспериментальной установки на основе машины Атвуда приведена на рис.2.1.

На вертикальной стойке 1 крепится легкий блок 2, через который перекинута нить 3 с грузами 4 одинаковой массы. В верхней части стойки расположен электромагнит, который может удерживать блок, не давая ему вращаться. На среднем кронштейне 5 закреплен фотодатчик 6. На корпусе среднего кронштейна имеется риска, совпадающая с оптической осью фотодатчика. Средний кронштейн имеет возможность свободного перемещения и фиксации на вертикальной стойке. На вертикальной стойке укреплена миллиметровая линейка 7, по которой определяют начальное и конечное положения грузов. Начальное положение определяют по нижнему срезу груза, а конечное - по риске на корпусе среднего кронштейна.

Миллисекундомер 8 представляет собой прибор с цифровой индикацией времени. Регулировочные опоры 9 используют для регулировки положения экспериментальной установки на лабораторном столе.

Принцип работы машины Атвуда заключается в том, что когда на концах нити висят грузы одинаковой массы, то система находится в положении безразличного равновесия. Если на правый груз положить перегрузок, то система грузов выйдет из состояния равновесия и начнет двигаться.

3. ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ ФОРМУЛЫ

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения грузом с перегрузом пути S:



(3.1)

(3.2)

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути S:

(3.3)

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути S:

σ_сл(t) = t(, n)  S(t) ; (3.4)

где t(, n) - коэффициент Стьюдента


Стандартная абсолютная погрешность измерения времени:



(3.5)

где

t_i - времени прохождения пути при i –ом измерении ( i =1. … , n),

n – число измерений, < t > - среднее значение времени прохождения пути.

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути S:


σ(t²) = 2 <t> σ(t) (3.6)

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния:


(3.7)


Угловой коэффициент экспериментальной прямой:

 = (3.8)

Величина ускорения, определяемого из линеаризованного графика:

a = 2²

(3.9)

Абсолютную случайную погрешность ускорения _сл(a) рассчитываем методом наименьших квадратов.

Рассчитываем параметры линеаризованного графика

(y = f(x) = Ax + B
) и случайные абсолютные погрешности параметров.



Расчет производится по формулам: (3.10)

куда входят следующие величины:


(3.11)

где n – число экспериментальных точек.

Абсолютная случайная погрешность определения углового коэффициента: _сл(β):


(3.12)

где вспомогательная величина:


(3.13)

Абсолютная случайная погрешность ускорения:

(a) = 4 

(

)  (3.14)

4. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ И ИХ АНАЛИЗ.

Измеренные значения и результаты их обработки приведены в таблице 4.1.
Результаты измерений

Таблица 4.1

	S1 = 36 , см		S2 = 31 , см		S3 = 26 , см		S4 = 21 , см		S5 = 16 , см
Номер измере­ния	= 6 , см1/2		= 5,568 , см1/2		= 5,099 , см1/2		= 4,583 , см1/2		= 4 , см1/2
	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2	t, c	t2, c2
1	4,857	23,59	4,534	20,56	4,396	19,32	3,756	14,11	3,348	11,21
2	4,991	24,91	4,793	22,97	4,384	19,22	3,958	15,67	3,350	11,22
3	5,184	26,87	4,734	22,41	4,089	16,72	3,661	13,40	3,185	10,14
4	5,066	25,66	4,485	20,12	4,208	17,71	3,985	15,88	3,246	10,54
5	5,084	25,85	4,520	20,43	4,364	19,04	3,975	15,80	3,260	10,63
< t >, c	5,036		4,614		4,288		3,868		3,278
< t2 >, c2	25,36		21,30		18,40		14,97		10,75

Средние значения времени < t > и квадрата времени < t² > прохождения пути S, приведенные в таблице 4.1, рассчитаны по выражениям 3.1 и 3.2 (число точек измерения n=5 ).

Для первой точки измерения (S₁ = 36 см):

Стандартную абсолютную погрешность измерения времени рассчитываем по формуле 3.5 для числа измерений n=5:

Δt₁= t₁−< t>₁ = 4,857−5,036 = -0,179 с; Δt₁² = (-0,179)² = 0,032 с²;

Δt₂= t₂−< t>₁ = 4,991−5,036 = -0,045 с; Δt₂² = (-0,045)² = 0,002 с²;

Δt₃= t₃−< t>₁ = 5,184−5,036 = 0,148 с; Δt₃² = (0,148)² = 0,022 с²;

Δt₄= t₄−< t>₁ = 5,066−5,036 = 0,030 с; Δt₄² = (0,030)² = 0,001 с²;

Δt₅= t₅−< t>₁ = 5,084−5,036 = 0,048 с; Δt₅² = (0,048)² = 0,002 с²;

№ измерения	№ опыта	t, с	Δt, с	Δt2, с2	, с	S(t), с	σ(t),с	σ(t2), с2
1	1	4,857	-0,179	0,032	5,036	0,055	0,118	1,189
	2	4,991	-0,045	0,002
	3	5,184	0,148	0,022
	4	5,066	0,030	0,001
	5	5,084	0,048	0,002
	t1 = 5,036 ± 0,118, с
2	6	4,534	-0,080	0,006	4,614	0,063	0,130	1,200
	7	4,793	0,179	0,032
	8	4,734	0,120	0,014
	9	4,485	-0,129	0,017
	10	4,520	-0,094	0,009
	t2 = 4,614 ± 0,130, с
3	11	4,396	0,108	0,012	4,288	0,063	0,130	1,120
	12	4,384	0,096	0,009
	13	4,089	-0,199	0,040
	14	4,208	-0,080	0,006
	15	4,364	0,076	0,006
	t3 = 4,288 ± 0,130, с
4	16	3,756	-0,112	0,013	3,868	0,071	0,148	1,145
	17	3,958	0,090	0,008
	18	3,661	-0,207	0,043
	19	3,985	0,117	0,014
	20	3,975	0,107	0,012
	t4 = 3,868 ± 0,148, с
5	21	3,348	0,070	0,005	3,278	0,032	0,071	0,466
	22	3,350	0,072	0,005
	23	3,185	-0,093	0,009
	24	3,246	-0,032	0,001
	25	3,260	-0,018	0,0003
	t5 = 3,278 ± 0,071, с

Абсолютная случайная погрешность измерения времени прохождения пути определяется по формуле 3.4. При доверительной вероятности =0,9 и числе измерений n =5 коэффициент Стьюдента t(, n) = 2,1:

σ_сл(t)₁ = 2,1*0,055 = 0,116 c ;
Результаты расчетов погрешностей

прямых и косвенных измерений времени и квадрата времени.

Таблица 4.2
Абсолютную систематическую приборную погрешность измерения времени определяем как половину цены наименьшего деления секундомера :

σ_сис(t) = 0,0005 с ;

Абсолютная суммарная погрешность измерения времени прохождения пути по формуле 3.3 :




Так как величина σ_сис(t) много меньше величины σ_сл(t)₁ (σ_сис(t) = 0,0005 с << σ_сл(t)₁ = 0,116 c), то в дальнейшем будем считать, что σ(t)₁ ≈ σ_сис(t)₁ .

Абсолютная суммарная погрешность косвенного измерения квадрата времени прохождения пути рассчитываем по формуле 3.6 :

σ(t²)₁ = 2×5,036×0,116 = 1,168 с² ;

Результаты измерений записываем в виде < t > ±  σ(t) :

t₁= 5,036±0,116 с.
Результаты расчетов случайной, приборной и общей погрешности измерений времени и квадрата времени приведены в таблице 4.2.

Абсолютную погрешность измерения расстояния определяем как половину цены деления линейки:

σ(S) = 0,05 см ;

Абсолютная погрешность косвенного измерения корня квадратного из расстояния по формуле 3.7 :




Для остальных точек измерений (при других значениях S) расчет проводится аналогично.

Результаты расчетов приведены в таблицах 4.2 и 4.3.

Таблица 4.3.

n/n	S , см	σ(S), см	, см0,5	σ(). см0,5	, c	()2, c2	() , c см0,5
1	36	0,05	6	0,004	5,036	25,36	30,22
2	31	0,05	5,568	0,005	4,614	21,29	25,69
3	26	0,05	5,099	0,005	4,288	18,39	21,87
4	21	0,05	4,583	0,006	3,868	14,96	17,73
5	16	0,05	4	0,006	3,278	10,75	13,11
	130		25,25		21,08	90,75	108,6
МНК	S6		S2		S1	S4	S3

На основании данных, приведенных в таблицах 4.2, 4.3 строим графики зависимостей S = f₁(t) ( рис. 4.1.) и S = f₂(t²) ( рис. 4.2.), на графиках наносим доверительные интервалы.


Рисунок 4.1. Зависимость пройденного пути S от времени t.


Рисунок 4.2. Зависимость пройденного пути S от квадрата времени t².

На рис.4.3. представлен линеаризованный график = f₃(t) зависимости квадратного корня пройденного пути от времени t.




Рисунок 4.3. Зависимость от времени t.

На графике (рис. 4.3) видно, что прямая пересекает доверительные интервалы для всех экспериментальных точек.

Определим из графика угловой коэффициент прямой по формуле 3.8:

_граф = 5 / 8,3 = 1,19 см^0,5/с ;
Величину ускорения определим по формуле 3.9:

a_граф = 2×(1,19)² = 2,83 см/с² ;

По методу наименьших квадратов (МНК) рассчитаем параметр  линеаризованного графика = 

t

и случайную абсолютную погрешность параметра _сл(
).
По формулам 3.11, используя данные таблицы 4.3, определяем значение величин S₁ − S₆ для расчета по МНК (число точек n =5):


S₁ = 21,08 c; S₄ = 90,75 c² ;

S₂ = 25,25 см^1/2 ; S₆ = 130 см ;

S₃ = 108,6 cсм^1/2 ; S₅ = 5×90,75 − (21,08)² = 9,4 c  см^1/2 .

По формуле 3.10 определим параметр  линеаризованного графика:
 = (5×108,6 − 21,08 ×25,25) / 9,4 = 1,14 см^1/2/c.

Угловой коэффициент прямой  = 1,14 см^1/2/c.


Значение вспомогательной величины S₀ по формуле 3.13:
S₀ = 130/ 3 – (25,25² + 1,14 ²×9,4 ) / 15 = 0,01 см.

По формуле 3.12 определим погрешность вычисления углового коэффициента прямой:

() = (5×0,01² /9,4) ^0,5 = 0,01 см^1/2/c .


Величина ускорения по формуле 3.9 :



a = 2×1,14² = 2,6 см/с².

Абсолютная случайная погрешность ускорения по формуле 3.14 :

(a) = 4×1,14×0,01 = 0,046 см/с² .

Получаем:

a = (2,6 ±  0,046) см/с² = (2,6 ±  0,046)×10^-2 м/с² .


5. ВЫВОДЫ


В результате проделанной работы мы смогли в пределах погрешностей измерений построить линеаризованный график зависимости . Все точки в этой зависимости укладываются на прямую в пределах их погрешностей.

Подтвердили справедливость закона прямолинейного ускоренного движения тел под действием сил земного тяготения с помощью машины Атвуда:

при равноускоренном движении с нулевой начальной скоростью справедливо выражение S = at²/2 ,

где S – путь пройденный телом за время движения t,

a – ускорение движения.
В ходе работы определена величина ускорения и сделана оценка ее погрешности:

a = (2,46 ±  0,23)  10^-2 м/с² .

6. ОТВЕТЫ НА КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

6.1.
Какие силы действуют на груз с перегрузом во время движения?
 
Сила тяжести и сила натяжения нити. 

6.2.
Запишите уравнения движения для  каждого из грузов
.
 
Уравнения движения грузов имеют вид: 
(M+m)g –T₁=(M+m)a₁ 
Mg –T₂ =Ma₂. 
А так как нить не растяжима, то а_1=;-а₂; если блок невесом, то Т₁=Т₂. 
Данные уравнения получены путем составления основного уравнения динамики для первого и второго грузов. 

6.
3.
Причина, по которым теоретические выводы не совпадают с результатами измерений.
 
Погрешности измерений физических величин  (случайные и погрешности прибора) приводят к несовпадению теоретических результатов и результатов эксперимента 

6.4.
Каким образом из линеаризованного графика можно оценить систематическую погрешность измерения времени.
 
Систематическая погрешность приводит к тому, что прямая не будет проходить из начала координат. Величина отклонения от начала координат – систематическая погрешность. 

6.
5.
 
Укажите физические допущения, используемые при теоретическом анализе движения грузов.
 
Блок и нить невесомы, нить нерастяжима, сила трения отсутствует.