Лабораторная работа Основные понятия теории временных рядов
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Министерство образования Российской Федерации
Новосибирский Государственный Технический Университет Кафедра теории рынка
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ вариант – 17
Выполнили: Гармаева Е.А.
Харченко Т.В.
гр. ФБэ-51
Преподаватель: Фаддеенков А.В..
Новосибирск
2008
Цель: Ознакомиться с основными понятиями и статистическими характеристиками, используемыми при анализе временных рядов.
Задача: В первые годы жизни на острове Робинзон никак не мог добиться того, чтобы в самые ответственные моменты жизни у него хватало сил на работу. Задумавшись над этим, Робинзон взял себе за правило каждый месяц фиксировать количество дичи, добытое им на охоте (Х1), и свой собственный вес (Х2).
Исходные данные:
| x1 | x2 |
| 1 | 76 |
| 6 | 78 |
| 6 | 81 |
| 21 | 78 |
| 30 | 76 |
| 49 | 78 |
| 55 | 79 |
| 71 | 76 |
| 73 | 76 |
| 70 | 76 |
| 69 | 80 |
| 51 | 84 |
| 53 | 79 |
| 42 | 82 |
| 29 | 83 |
| 56 | 75 |
| 60 | 80 |
| 81 | 77 |
| 79 | 82 |
| 114 | 76 |
| 97 | 86 |
| 98 | 78 |
| 80 | 85 |
| 79 | 76 |
| 78 | 82 |
| 56 | 84 |
| 57 | 80 |
| 70 | 78 |
| 91 | 78 |
| 91 | 83 |
| 101 | 76 |
| 103 | 76 |
| 113 | 70 |
| 113 | 75 |
| 94 | 84 |
| 90 | 76 |
| 88 | 80 |
| 73 | 82 |
| 79 | 82 |
| 86 | 83 |
| 91 | 78 |
| 127 | 75 |
| 118 | 87 |
| 127 | 77 |
| 130 | 76 |
| 123 | 77 |
| 107 | 78 |
| 90 | 75 |
| 101 | 72 |
| 83 | 82 |
| 94 | 79 |
| 101 | 83 |
| 106 | 79 |
| 112 | 78 |
| 134 | 74 |
Задание №1 Построить график каждого временного ряда.
На графике 1 показан временной ряд, который отражает динамику количества дичи, добытой на охоте за 55 месяцев
Таким образом, график показывает, что за рассматриваемый период наблюдается устойчивый рост количества дичи, добытой на охоте, в то же время характер количества добытой дичи повторяется, имеется почти один и тот же характер (сначала уменьшение, потом увеличение) в каждом годовом периоде, т.е. каждые 12 месяцев.
График временного ряда, который отражает динамику собственного веса Робинзона за 55 месяцев
Таким образом, график показывает, что не наблюдается тенденции ни к значительному возрастанию, ни к значительному убыванию веса Робинзона. Возможно, временной ряд имеет сезонную компоненту.
Задание 2 Провести первичный статистический анализ временных рядов:
Вычислим средние значения характеристик временных рядов по формуле:
.79,9478,83Вычислим выборочные дисперсии характеристик временных рядов, вычисляемые по формуле:
.Вычислим выборочные стандартные отклонения по формуле:
.Ковариация между значениями
и зависит только от величины сдвига по времени и не зависит от t.Такая ковариация получила название автоковариации или автоковариационной функции.
Возможна также оценка автоковариационной функции по имеющимся наблюдениям временного ряда.
эту формулу мы будем использовать дальше при вычислении.
Вычислим автоковариационные функции:
Для количества добытой дичи:
и т.д.Для собственного веса Робинзона
и т.д.Для определения степени статистической взаимосвязи между элементами временного ряда вычисляют коэффициент автокорреляции или автокорреляционную функцию.
величину называют порядком функции.Для расчета будем использовать формулу:
.Для количества добытой дичи:
0,8430,709 и т.д.Для собственного веса Робинзона:
-0,025 и т.д.Сезонные составляющие временного ряда могут быть найдены с помощью коррелограммы. Коррелограмма (автокоррелограмма) показывает численно и графически автокорреляционную функцию, иными словами коэффициенты автокорреляции (и их стандартные ошибки) для последовательности сдвигов (лагов) из определенного диапазона (от 1 до 55).
Изобразим на коррелограммах автокорреляционные функции:
Для количества добытой дичи:
Для веса Робинзона:
Частная автокорреляционная функцияиспользуется для измерения автокорреляции между членами временного ряда х(t) и
при исключении влияния всех промежуточных членов временного ряда.Формулы для вычисления с точностью до обозначения совпадают с корреляционным анализом.
частный коэффициент автокорреляции для количества добытой дичи: -0,12181;
частный коэффициент автокорреляции для собственного веса Робинзона: -0,01516.
Частные коэффициенты автокорреляции еще раз доказывают, что между элементами временного ряда существует взаимосвязь, и большая взаимосвязь между элементами временного ряда наблюдается в весе Робинзона.
Возможно вычисление частных автокорреляционных функций более высоких порядков. В частности, частная автокорреляция второго порядка может быть вычислена так:
, где Вычислим частные коэффициенты автокорреляции второго порядка.
Для количества добытой дичи: - 0,28713
Для собственного веса Робинзона: -0,07 Частные коэффициенты автокорреляции более высоких порядков показывает, что наибольшая взаимосвязь между элементами временного ряда количества добытой дичи.
Задание 3. Проверка гипотезы о наличии неслучайных компонент во временных рядах:
Проверим гипотезу
и ее альтернативу :Проверка гипотезы с помощью критерия серий:
Расположим элементы временного ряда
в порядке возрастания и вычислим выборочную медиану по формуле .Получим серии знаков «+» и «−» по правилу: вместо каждого элемента временного ряда
нужно поставить «+», если , и «−», если , и элементы временного ряда, равные медиане, не учитываются.Найдем статистики
и , где − количество серий, −максимальная длина серии., . Т. к. неравенства
не выполняются, гипотеза
отвергается с вероятностью ошибки a, такой, что 0,05 < a < 0,0975, и, тем самым, подтверждается наличие зависящей от времени неслучайной составляющей в Проверка гипотезы с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий:
Найдем статистики
и по правилу: вместо каждого элемента временного ряда нужно поставить «+», если , и «−», если . Если два или несколько наблюдений равны между собой, то учитывается только одно из них. , Т. к. неравенства
и не выполняются, гипотеза
отвергается, и, тем самым подтверждается наличие постепенного смещения среднего значения в не только монотонного, но и периодического характера во временном ряду присутствует циклическая, сезонная компоненты.Проверка гипотезы с помощью критерия Абеля:
Вычислим
, где, , и сравним
с , где − квантиль стандартного нормального распределения. При
предельное распределение критической статистики затабулировано и представлено в статистических таблицах.Получим
и при . Так как неравенство выполняется, гипотеза отвергается и можно сделать вывод о том, что ряд содержит неслучайные компоненты.Проверим гипотезу
и ее альтернативу для ряда :Проверка гипотезы с помощью критерия серий:
, .Неравенства
выполняются => гипотеза
не отвергается ,значит, с вероятностью ошибки 0,05 < a < 0,0975, можем утверждать, что в нашем временном ряде нет трендовой составляющей.Проверка гипотезы с помощью критерия «восходящих» и «нисходящих» серий:
, Неравенства
и Неравенства выполняются, гипотеза
не отвергается. Таким образом, можно утверждать, что во временном ряду нет постепенного смещения среднего значения не только монотонного, но и периодического характера, т.е. нет циклической и сезонной компонент.Проверка гипотезы с помощью критерия Абеля:
и при . Так как неравенство не выполняется, гипотеза не отвергается и можно сделать вывод о том, что элементы ряда является случайными и независимыми.Таким образом, мы не можем построить уравнение для неслучайных компонент временного ряда Х2(t), т. к. наличие таковых не было доказано.
Задание 4 Построить уравнения для неслучайных компонент временного ряда
:1). Исследуем выборку
(количество дичи, добытой Робинзоном на охоте).ШАГ1: Выровняем исходный ряд
, используя метод скользящего среднего. -суммируем элементы ряда последовательно за каждые 12 месяцев со сдвигом на один момент времени
- разделив полученные результаты на 12, найдем скользящие средние.
-для приведения в соответствие с фактическими моментами времени найдем центрированные скользящие средние.
Получим:
| X1 | шаг 1.1 | шаг 1.2 | шаг 1.3 |
| 1 | | | |
| 6 | | | |
| 6 | | | |
| 21 | | | |
| 30 | | | |
| 49 | | | |
| 55 | 502 | 41,83 | 44,00 |
| 71 | 554 | 46,17 | 47,67 |
| 73 | 590 | 49,17 | 50,13 |
| 70 | 613 | 51,08 | 52,54 |
| 69 | 648 | 54,00 | 55,25 |
| 51 | 678 | 56,50 | 57,83 |
| 53 | 710 | 59,17 | 60,17 |
| 42 | 734 | 61,17 | 62,96 |
| 29 | 777 | 64,75 | 65,75 |
| 56 | 801 | 66,75 | 67,92 |
| 60 | 829 | 69,08 | 69,54 |
| 81 | 840 | 70,00 | 71,17 |
| 79 | 868 | 72,33 | 73,38 |
| 114 | 893 | 74,42 | 75,00 |
| 97 | 907 | 75,58 | 76,75 |
| 98 | 935 | 77,92 | 78,50 |
| 80 | 949 | 79,08 | 80,38 |
| 79 | 980 | 81,67 | 82,08 |
| 78 | 990 | 82,50 | 83,42 |
| 56 | 1012 | 84,33 | 83,88 |
| 57 | 1001 | 83,42 | 84,08 |
| 70 | 1017 | 84,75 | 85,38 |
| 91 | 1032 | 86,00 | 86,58 |
| 91 | 1046 | 87,17 | 87,63 |
| 101 | 1057 | 88,08 | 88,50 |
| 103 | 1067 | 88,92 | 89,63 |
| 113 | 1084 | 90,33 | 91,25 |
| 113 | 1106 | 92,17 | 92,83 |
| 94 | 1122 | 93,50 | 93,50 |
| 90 | 1122 | 93,50 | 95,00 |
| 88 | 1158 | 96,50 | 97,21 |
| 73 | 1175 | 97,92 | 98,92 |
| 79 | 1199 | 99,92 | 100,63 |
| 86 | 1216 | 101,33 | 101,75 |
| 91 | 1226 | 102,17 | 102,71 |
| 127 | 1239 | 103,25 | 103,25 |
| 118 | 1239 | 103,25 | 103,79 |
| 127 | 1252 | 104,33 | 104,75 |
| 130 | 1262 | 105,17 | 105,79 |
| 123 | 1277 | 106,42 | 107,04 |
| 107 | 1292 | 107,67 | 108,29 |
| 90 | 1307 | 108,92 | 108,29 |
| 101 | 1292 | 107,67 | 108,33 |
| 83 | 1308 | 109,00 | 54,50 |
| 94 | | | |
| 101 | | | |
| 106 | | | |
| 112 | | | |
| 134 | | | |
ШАГ 2: Находим оценки сезонной компоненты S, как разность между фактическими элементами ряда и центрированными скользящими средними. Получим:
| | сезон (год) | | | | | | | | | | | |
| год | 1,00 | 2,00 | 3,00 | 4,00 | 5,00 | 6,00 | 7,00 | 8,00 | 9,00 | 10,00 | 11,00 | 12,00 |
| 1,00 | - | - | - | - | - | - | 11,00 | 23,33 | 22,88 | 17,46 | 13,75 | -6,83 |
| 2,00 | -7,17 | -20,96 | -36,75 | -11,92 | -9,54 | 9,83 | 5,63 | 39,00 | 20,25 | 19,50 | -0,38 | -3,08 |
| 3,00 | -5,42 | -27,88 | -27,08 | -15,38 | 4,42 | 3,38 | 12,50 | 13,38 | 21,75 | 20,17 | 0,50 | -5,00 |
| 4,00 | -9,21 | -25,92 | -21,63 | -15,75 | -11,71 | 23,75 | - | - | - | - | - | - |
| Siсчерт. | -7,26 | -24,92 | -28,49 | -14,35 | -5,61 | 12,32 | 9,71 | 25,24 | 21,63 | 19,04 | 4,63 | -4,97 |
| СумSi | 6,96 | | | | | | | | | | | |
| k | 0,58 | | | | | | | | | | | |
| Si | -7,84 | -25,50 | -29,07 | -14,93 | -6,19 | 11,74 | 9,13 | 24,66 | 21,05 | 18,46 | 4,05 | -5,55 |
ШАГ 3: Исключим влияние сезонной компоненты (вычтем ее значения из каждого элемента временного ряда).
Получим:
.ШАГ 4: Используя регрессионный анализ, проведем аналитическое выравнивание ряда X-S.
Рассматриваем модель А:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=439,1652383>F
=0.82, то гипотеза Н0 отвергается, уравнение является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: =37,4349, =1,5589Проверяем на значимость параметр
: t = 15,63480272; tкр(0,05;53)=2,07.Проверяем на значимость параметр
: t = 20,95626967; tкр(0,05;53)=2,07Т.к. |t| > tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается. Значит, параметры модели
и являются значимыми.Получаем уравнение:
Рассматриваем модель В:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=588,9027853>F
=0.82, то гипотеза Н0 отвергается, уравнение является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: =645,3204091;=236,2715236.Проверяем на значимость параметр
: t = 2,079235; tкр(0,05;53)=2,07.Проверяем на значимость параметр
: t = 24,26732; tкр(0,05;53)=2,07Т.к. |t| ≥ tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается. Значит, параметры модели
и являются значимыми.Получили уравнение:
Рассматриваем модель С:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=6,16640083>F
=0.82, то гипотеза Н0 отвергается, уравнение является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: =0,001414622;
=-3,44385E-05Проверяем на значимость параметр
: t = 3,169074733; tкр(0,05;53)=2,07.Проверяем на значимость параметр
: t = -2,48322388; tкр(0,05;53)=2,07Т.к. |t| > tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается. Следовательно, параметры модели
и - значимые.Получили уравнение:
Шаг 4: Используя регрессионный анализ, проведем аналитическое выравнивание ряда X-S. Для этого необходимо сравнить три модели.
1)
2)
3)
После применения МНК получим:
1)
2)
3)
ШАГ 5: Построим графики трех моделей
ШАГ 6: Проводим сравнительный анализ полученных моделей.
По вычисленным коэффициентам детерминации ( модели А равным 0.89, для модели B 0.917, для модели С 0.104), по найденным оценкам параметров и по полученным графикам наилучшей является модель B.
Построим графики исходных данных
и прогнозов :2). Исследуем выборку Х2 ( вес Робинзона).
ШАГ1: Выровняем исходный ряд
, используя метод скользящего среднего. Получим:
| x2 | год.доб. | скол.ср. | центр.ск.ср. |
| 76 | 938 | 78,17 | 78,29 |
| 78 | 941 | 78,42 | 78,58 |
| 81 | 945 | 78,75 | 78,83 |
| 78 | 947 | 78,92 | 78,79 |
| 76 | 944 | 78,67 | 78,83 |
| 78 | 948 | 79,00 | 78,96 |
| 79 | 947 | 78,92 | 79,04 |
| 76 | 950 | 79,17 | 79,17 |
| 76 | 950 | 79,17 | 79,58 |
| 76 | 960 | 80,00 | 80,08 |
| 80 | 962 | 80,17 | 80,38 |
| 84 | 967 | 80,58 | 80,25 |
| 79 | 959 | 79,92 | 80,04 |
| 82 | 962 | 80,17 | 80,25 |
| 83 | 964 | 80,33 | 80,21 |
| 75 | 961 | 80,08 | 80,21 |
| 80 | 964 | 80,33 | 80,25 |
| 77 | 962 | 80,17 | 80,42 |
| 82 | 968 | 80,67 | 80,42 |
| 76 | 962 | 80,17 | 80,17 |
| 86 | 962 | 80,17 | 79,50 |
| 78 | 946 | 78,83 | 78,71 |
| 85 | 943 | 78,58 | 78,54 |
| 76 | 942 | 78,50 | 78,50 |
| 82 | 942 | 78,50 | 78,42 |
| 84 | 940 | 78,33 | 78,25 |
| 80 | 938 | 78,17 | 78,25 |
| 78 | 940 | 78,33 | 78,54 |
| 78 | 945 | 78,75 | 78,75 |
| 83 | 945 | 78,75 | 78,42 |
| 76 | 937 | 78,08 | 78,54 |
| 76 | 948 | 79,00 | 79,04 |
| 70 | 949 | 79,08 | 79,33 |
| 75 | 955 | 79,58 | 79,67 |
| 84 | 957 | 79,75 | 79,50 |
| 76 | 951 | 79,25 | 79,21 |
| 80 | 950 | 79,17 | 78,83 |
| 82 | 942 | 78,50 | 78,50 |
| 82 | 942 | 78,50 | 78,38 |
| 83 | 939 | 78,25 | 78,25 |
| 78 | 939 | 78,25 | 78,29 |
| 75 | 940 | 78,33 | 78,46 |
| 87 | 943 | 78,58 | 78,04 |
| 77 | 930 | 77,50 | 38,75 |
| 76 | | | |
| 77 | | | |
| 78 | | | |
| 75 | | | |
| 72 | | | |
| 82 | | | |
| 79 | | | |
| 83 | | | |
| 79 | | | |
| 78 | | | |
| 74 | | | |
| | сезон (год) | | | | | | | | | | | |
| год | 1,00 | 2,00 | 3,00 | 4,00 | 5,00 | 6,00 | 7,00 | 8,00 | 9,00 | 10,00 | 11,00 | 12,00 |
| 1,00 | - | - | - | - | - | - | 0,71 | -2,58 | -2,83 | -2,79 | 1,17 | 5,04 |
| 2,00 | -0,04 | 2,83 | 3,42 | -5,08 | -0,38 | -3,25 | 1,96 | -4,25 | 5,79 | -2,21 | 4,75 | -4,42 |
| 3,00 | 1,58 | 3,83 | 0,50 | -0,71 | -0,54 | 4,50 | -2,42 | -2,25 | -8,25 | -3,54 | 5,25 | -2,42 |
| 4,00 | 1,46 | 2,96 | 2,67 | 3,33 | -1,50 | -4,21 | - | - | - | - | - | - |
| Siсчерт. | 1,00 | 3,21 | 2,19 | -0,82 | -0,81 | -0,99 | 0,08 | -3,03 | -1,76 | -2,85 | 3,72 | -0,60 |
| СумSi | -0,64 | | | | | | | | | | | |
| k | -0,05 | | | | | | | | | | | |
| Si | 1,05 | 3,26 | 2,25 | -0,77 | -0,75 | -0,93 | 0,14 | -2,97 | -1,71 | -2,79 | 3,78 | -0,54 |
ШАГ 3: Исключим влияние сезонной компоненты (вычтем ее значения из каждого элемента временного ряда).
Получим:
.ШАГ 4: Используя регрессионный анализ, проведем аналитическое выравнивание ряда X-S.
Рассматриваем модель А:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=0.082<F
=0.82, то гипотеза Н0 не отвергается, уравнение не является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: = 78,98119, =-0,00799Проверяем на значимость параметр
: t = 89,6813; tкр(0,05;53)=2,07.Проверяем на значимость параметр
: t = -0.29 tкр(0,05;53)=2,07Т.к. |t| > tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается, параметр модели
- значимый.Т.к. |t| < tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 не отвергается, параметр модели
- незначимый, его можно исключить из уравнения.Получили уравнение:
Рассматриваем модель В:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=0,06
=0.82, то гипотеза Н0 не отвергается, уравнение не является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: = 6242,815; =-1,07Проверяем на значимость параметр
: t = 44,6551; tкр(0,05;53)=2,07.Проверяем на значимость параметр
: t = -0,24; tкр(0,05;53)=2,07Т.к. |t| > tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается, параметр модели
- значимый.Т.к. |t| < tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 не отвергается, параметр модели
- незначимый, его можно исключить из уравнения.Получили уравнение:
Рассматриваем модель С:
Находим оценку уравнения по F-критерию: Т. к. F=0,75<F
=0.82, то гипотеза Н не отвергается, уравнение не является значимым.Находим оценки параметров
и помощью МНК: =0,000003591077; =0,000000111569Проверяем на значимость параметр
: t = 44,73360176; tкр(0,05;53)=2,07.
Проверяем на значимость параметр
: t = 0,432668926; tкр(0,05;53)=2,07
Т.к. |t| < tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 не отвергается, параметр модели
- не значимый, , его можно исключить из уравнения.Т.к. |t| > tкр(0,05;53), то гипотеза Н0 отвергается, параметр модели
- значимый.Получили уравнение:
ШАГ 6: Проводим сравнительный анализ полученных моделей.
Коэффициенты детерминации для двух моделей очень малы: 0,007; 0,81; 0,051 для моделей А, B, C соответственно.
Так как уравнения моделей не являются значимыми, то среди них нельзя выбрать наилучшую.
