ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА N 1.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТНОЙ ДИСПЕРСИИ СТЕКЛЯННОЙ ПРИЗМЫ С ПОМОЩЬЮ ГОНИОМЕТРА
ЦЕЛЬ РАБОТЫ: определение спектральной зависимости коэффициента преломления стеклянной призмы и оценка ее спектральных характеристик.
1. ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: гониометр ГС-5, стеклянная плоскопараллельная призма, ртутная лампа.

2. Электронная, классическая теория частотной дисперсии
Многие оптические явления находят удовлетворительное объяснение в предположении, что связь между векторами  и  (а также  и ) локальна во времени и пространстве. Это означало бы, что  и  определились в любой момент времени пространства  значениями  и  в тот же момент времени и при том же значении . Однако дело обстоит иначе. В ряде явлений необходимо учитывать нелокальность во времени и пространстве. К таким явлениям можно отнести частотную дисперсию диэлектрической проницаемости вещества, естественное вращение плоскости поляризации и некоторые другие. В данной работе исследуется частотная дисперсия стеклянной призмы. Рассмотрим подробнее это явление.
Будем считать, что наше поле  однородно по пространству (пространственной нелокальностью пренебрегаем), тогда для стационарного случая имеет место соотношение, определяющее связь индукции  с напряженностью электрического поля  и поляризацией среды :
.(1)
Однако наличие конечных масс электронов и ионов вещества, заряды которых определяют поляризацию , приводит к инерционности появления  для переменного поля . Следовательно, воздействие электрического поля  электромагнитной волны приведет к временной нелокальности поляризации .
В рамках линейной электродинамики поляризации среды , вызванная электрическим толчком, пропорциональна . Считая, что среда изотропна, мы запишем связь  в момент времени :
, (2)
где функция  зависит от свойств среды и от времени  с момента электрического толчка. Очевидно, что при  в силу инерционности электронов и ионов , а при  в силу наличия затухания (реальные среды диссипативны) .
Для задач, когда поле  действует достаточно долгое время (реальная электромагнитная волна), мы разбиваем весь период на достаточно малые промежутки времени, сводя задачу к последовательным электрическим толчкам. Тогда вклад в поляризацию среды в момент времени , внесенный в более ранним толчком , будет равен . В силу суперпозиции полный вектор поляризации в момент времени  определяется:
 (3)
Используя переход к новой переменной
.(4)
Учитывая связь (1), запишем
. (5)
Интегрирование в (5) производится во времени, предшествующему моменту . Этого требует принцип причинности, утверждающий, что каждое событие определяется только прошедшими событиями и не может зависеть от будущих.
Для монохроматической волны  выражение (5) преобразуется:

,(6)
где связь между  и  записана формально в локальной форме с помощью диэлектрической проницаемости как функция частоты:
. (7)
Лорентцом впервые была построена классическая, электронная теория, позволяющая получить явный вид (7). В рамках этой теории среду мы рассматриваем как совокупность электронных, гармонических, затухающих осцилляторов. Движение такого электронного осциллятора будет описываться следующим уравнением:
(8)
где  - масса электрона,  - заряд свободного электрона,  - коэффициент упругой связи электрона с ядром,  - коэффициент, обусловленный затуханием колебаний осциллятора,  - эффективное поле, действующее на электронный осциллятор. В общем случае  отличается от среднего макроскопического поля , входящего в уравнение Максвелла. Для разряженных газов . В такой среде под действием плоской линейно поляризованной вдоль Х электромагнитной волны (в такой волне вектор напряженности электрического поля  направлен вдоль X и не имеет своей ориентации при распространении, а фронт волны представляет плоскость) уравнение движения электрона (8) приобретает вид:
 (9)
где  - коэффициент затухания (экстенции),  - собственная частота электронного осциллятора,  - амплитуда электрического поля волны. Нетрудно показать, что решение уравнения (9) имеет вид:
. (10)
Учитывая связь диэлектрической проницаемости  с электронной поляризуемостью отдельного атома , можно записать:
,(11)
где  - количество атомов в единице объема. Используя (10), и считая, что магнитная проницаемость среды  (что приводит к следующей связи диэлектрической проницаемости и коэффициента преломления ), выражение (11) запишем в виде:
. (12)
Выражение (12) показывает, что  является комплексной величиной, и поэтому может быть представлен в виде , где затухания среды.


Рис.1. Частотные зависимости  от  вблизи собственной частоты электронного осциллятора .
Для разряженных газов показатель преломления близок к единице, тогда в разложении в ряд Тейлора величин можно ограничиться двумя первыми членами. Учитывая условия равенства двух комплексных величин, можно записать следующие соотношение:
, (13)
 (14)
На рисунке 1 представлены частотная зависимость  от  вблизи собственной частоты электронного осциллятора .
В оптике принято понимать, что нормальной оптической дисперсией обладают те вещества, для которых , аномальной, - для которых . Исследуя графическую зависимость  (см. рис.1), можно сделать вывод, что область аномальной дисперсии (частоты между точками А и В) определяется процессом поглощения электронными осцилляторами электромагнитной волны вблизи частоты , а вдали от этой частоты наблюдается нормальная дисперсия. Таким образом, любое вещество обладает областями нормальной и аномальной дисперсии.

3. Описание экспериментальной установки
В данной работе для изучения дисперсии света в стеклянной призме используется гониометр-спектрометр ГС-5.
3.1. Гониометр-спектрометр является оптическим прибором лабораторного типа и предназначен для: измерения углов между полированными гранями твердых материалов по измеренному углу наименьшего отклонения призмы; измерение пирамидальности призмы и других исследовательских работ.

3.2. Прибор состоит из следующих основных узлов: зрительно трубы 1 (см. рис. 2),коллиматор 2, основания 3 с осевой системой и столиком 4. Зрительная труба и коллиматор представляют собой телескопические системы с внутренней фокусировкой, осуществляемой маховичками 5,6 по шкалам 7,8, на которых имеются индексы и деления.
Рис.2. Эскиз гониометра-спектрометра ГС-5.
Коллиматор дает параллельный пучок лучей. Винты 9,10 служат для юстировки внутренних осей по вертикали. На коллиматоре 2 имеется спектральная щель 11, а на зрительной трубе-автоколлимационный окуляр 12. Винты 13 служат для установления вертикальной оси столика, 14 - зажимные устройства столика, 15 - окуляр отсчетного устройства. В окуляр 15 рассматривают одновременно изображение штрихов лимба и шкалу микрометра (справа в окошечке) (см. рис. 3). Чтобы снять отсчет необходимо маховичок 16 повернуть настолько, чтобы верхние и нижние изображения штрихов совместились. Число градусов будет равно видимой ближайшей левой от вертикального штриха цифре. Число десятков минут равно числу интервалов, заключенных между верхним штрихом, который соответствует отсчитанному числу градусов, и нижним оцифрованным штрихом, отличающимся от верхнего на 180⁰. Число единиц минут и секунд отсчитываются по шкале микрометра в правом окне. Так, например, на рис.3 измеряемый угол равен 0^о15'57''.
3.3. Проверка рабочего состояния гониометра состоит в следующем. Визирная ось трубы должна быть перпендикулярна к оси вращения столика. Это условие проверяется с помощью плоскопараллельной пластинки. Для этого ее стоит установить на столике гониометра и винтом 13 добиться, чтобы ее полированная грань была перпендикулярна к оси зрительной трубы. Повернув алидаду или столик на 180⁰, проверяют совпадение перекрестия сетки с автоколлимационным изображением, полученным от противоположной грани. При совпадении необходимо провести юстировку винтами 13 и 10. Повторять юстировку до тех пор, пока при повороте на 180⁰ автоколлимационное изображение не будет оставаться в центре.
После этого проверяют настройку прибора, повернув плоскопараллельную пластину на столике на 90⁰ вокруг вертикальной оси.

4. Порядок выполнения работы
4.1 Измерение угла между гранями с помощью автоколлиматора (см. рис. 4, а).
Установить призму на столик так, чтобы одна из ее граней располагалась перпендикулярно к одному из винтов наклона столика. Поворачивая зрительную трубу, найти автоколлимационное изображение креста и совместить его вертикальную ось с вертикальной осью перекрестия трубы. Снять отсчет А₁ по лимбу. Поворотом в горизонтальной плоскости трубы или столика с призмой на величину  найти автоколлимационное изображение креста от второй грани призмы и совместить его с перекрестием. Снять отсчет А₂ по лимбу. Вычислить угол  по формуле , где .
4.2 Измерение угла между гранями призмы методом отражения (см. рис. 4,б)

При измерении угла призмы методом отражения используется коллиматор и зрительная труба с окуляром. Между коллиматором и трубой устанавливается угол порядка . Осветить щель коллиматора (можно использовать ртутную лампу) и, поворачивая столик, совместить изображение щели коллиматора, полученное от первой грани призмы, с вертикальной нитью перекрестия окуляра трубы. Видимая ширина щели должна быть в 2-3 раза больше нити перекрестия. Коллиматор должен быть сфокусирован винтом 5. Снять отсчет В₁. Повернуть столик с призмой до совмещения изображения щели, полученного от второй грани, с нитью перекрестия трубы, снять отсчет В₂. Угол призмы  определить по формуле , где .
Рис.3. Шкала отсчета угла.

Рис.4. Схематическое изображение выполнения работы:
а) определение угла между гранями методом автоколлиматора;
б) определение угла методом отражения;
в) определение показателя преломления по углу наименьшего отклонения.
4.3 Определение коэффициента преломления по углу наименьшего отклонения лучей (см. рис. 4, в).
4.3.1. Установить призму на столик, как показано на рис. 4, в, щель коллиматора осветить ртутной лампой.
4.3.2. Найти изображение спектра в поле зрения трубы, навести трубу на одну из двух желтых линий (длины волн основных линий спектра излучения ртутной лампы в видимой области представлены в таблице 1).
4.3.3. Наблюдая в трубу, поворачивать столик так, чтобы линия перемещалась вправо (при этом угол отклонения этих лучей уменьшается). Линию необходимо при этом держать в поле зрения трубы. В некоторый момент времени линия начнет двигаться в обратном направлении.
4.3.4. Установив момент остановки изображения линии, снять отсчет по лимбу А₄. Момент изменения направления движения линии и есть то положение призмы относительно коллиматора, при котором лучи идут пути наименьшего угла отклонения.
4.3.5. Не снимая призмы со столика, совместить щель с перекрестием сетки трубы и снять по лимбу отсчет А₂ (см. рис. 4, в). Наименьший угол отклонения рассчитывается по формуле .
Значение показателя преломления определить по формуле:
, (15)
где  - угол при вершине призмы (рекомендуется взять 60⁰).
4.3.6. Определить показатели преломления для всех линий, указанных в таблице 1, в соответствии с вышеизложенной методикой.
4.3.7. Построить график зависимости .
4.3.8. Из полученной кривой зависимости  определить среднюю дисперсию D и число Аббе g из следующих соотношений:
, , (16)

где  - показатели преломления для соответствующих длин волн l_D=5893 А (А - Ангстрем) (желтая линия в спектре излучения Na), l_F=4861 А (голубая линия в спектре излучения водорода H), l_C=6563 А (красная линия в спектре излечения водорода H). Значения коэффициентов D и g можно определить, если знать . Для расчета значений показателя преломления для указанных длин волн можно воспользоваться формулой Коши:
 (17)
где коэффициенты А, В, С определяются, используя значения  для трех длин волн вблизи той, для которой определяем показатель .
Таблица 1.

ЦВЕТ	ЖЕЛТЫЙ		ЗЕЛЕНЫЙ		СИНИЙ			ФИОЛЕТОВЫЙ
	I	II	I	II	I	II	III	I	II
ДЛИНА ВОЛНЫ	5791	5769	5461	4916	4358	4348	4339	4078	4047

Следует отметить, что для вычисления показателей преломления с использованием формулы Коши являются громоздкими, поэтому следует составить программу для использования ЭВМ.
4.3.9. По значению параметров D и g определить сорт стекла, из которого изготовлена исследуемая призма.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Физический смысл коэффициентов b, k; способы измерения дисперсии.
2. Что означает временная нелокальность электромагнитной волны?
3. Поясните появление частотной зависимости .
4. Дайте объяснение дисперсии показателя преломления на основе классической электронной теории Лорентца.
5. Определите понятия "нормальной" и "аномальной" дисперсии.
6. Представьте график зависимости от частоты и длины волны скорости распространения электромагнитной волны в веществе.
7. Физический смысл дисперсии и числа Аббе.
8. Угол наименьшего отклонения. Какова дисперсия призмы при этом угле? Вывести формулу (15).

ЛИТЕРАТУРА
1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. М., 1980, с 517-527, 584-586.
2. Годжаев М.Н. Оптика. М., 1977, с. 269-273.
3. Калитиевский Н.И. Волновая оптика. М., 1978, с. 110-125.
4. Бегунов Б.Н. Геометрическая оптика. М., 1966.
5. Теория оптических систем. М., 1982.