Синтез зубчатых зацеплений

Зубчатым зацеплением называется высшая кинематическая пара образуемая последовательно взаимодействующими поверхностями зубьев.
Синтез зубчатого зацепления состоит в том, чтобы отыскать такие взаимодействующие поверхности, которые обеспечивали заданный закон их относительного движения.
Синтез основан на использовании основной теоремы зацепления:
.
Следствия теоремы: для получения постоянного передаточного отношения необходимо чтобы отношение радиусов начальных окружностей было постоянно, т.е. точка Р – полюс зацепления не менял своего положения.
При выборе кривых очерчивающих профиль зуба руководствуются соображениями кинематического, динамического, технологического и эксплуатационного характера:
-        кинематические – состоят в том, чтобы проектируемые профили очерчивались простыми геометрическими приёмами, и удовлетворялось требуемое передаточное отношение;
-        динамические – чтобы при постоянной передаваемой мощности, усилие действующее на зубья и опоры было постоянным по величине и направлению и чтобы форма зуба обеспечивала наибольшую прочность;
-        технологические и эксплуатационные – простота изготовления, бесшумная и безударная работа, допустимость некоторых погрешностей в изготовлении и монтаже.
В современном машиностроении наибольшее распространение получили колеса с эвольвентным и круговым (зацепление Новикова) профилями зубьев. В точном машиностроении и приборостроении разновидности циклоидального зацепления.

Эвольвента окружности и её свойства

Эвольвентой называется кривая, очерчиваемая точкой прямой, при перекатывании этой прямой по окружности без проскальзывания (рис. 7.3). В теории зацепления прямую называют производящей (образующей), а окружность – основной окружностью (радиус r_b).
Рассмотрим построение эвольвенты Е (рис. 7.3). В произвольной точке эвольвенты М проведем нормаль, которая касается основной окружности в точке В, получаем радиус кривизны эвольвенты r.

Рис. 7.3
Из прямоугольного треугольника DОВМ найдем катет МВ:
.
Из условия образования эвольвенты радиус кривизны МВ должен быть равен длине развертываемой дуги АВ основной окружности:
ÈАВ = r_b×(q+a),
,
где q - полярный угол наклона радиус вектора; - угол между направлением радиус вектора и направлением радиуса основной окружности проведенного в точке касания нормали.
Отсюда:
         .
         Разность тангенса и угла представляет собой эвольвентную функцию называемую инволютой. Инволюта является параметром для геометрических расчетов зубчатых механизмов.
Свойства эвольвенты:
-        эвольвента не имеет точек внутри основной окружности;
-        нормаль к любой точке эвольвенты направлена по касательной к основной окружности;
-        центр кривизны эвольвенты лежит в точке касания нормали с основной окружностью.
Эвольвентное зацепление и его свойства
Из свойств эвольвенты вытекают свойства эвольвентного зацепления. Пусть профиль зуба колеса 1 (рис. 7.4) очерчен по эольвенте основной окружности с радиусом r_b1, а профиль зуба колеса 2 – по эвольвенте основной окружности радиуса r_b2. Поместим центры этих окружностей в центры вращения О₁ и О₂. Нормаль к эвольвенте первого колеса должна быть касательной к основной окружности первого колеса, а нормаль к эвольвенте второго колеса должна быть касательной к основной окружности второго колеса. В точке касания эвольвент нормаль должна быть общей к обоим профилям, и, следовательно, точка контакта лежит на общей касательной к основным окружностям. При вращении ведущего колеса 1 против часовой стрелки, а ведомого колеса 2 – по часовой (рис. 7.4, а) точка касания эвольвент перемещается по отрезку В₁В₂ этой касательной, т.к. вне отрезка В₁В₂ эвольвенты не могут касаться, т.е. иметь общую нормаль; В₁В₂ является линией зацепления.
Точка пересечения общей нормали к эвольвентам с линией межосевого расстояния О₁О₂ является полюсом зацепления Р и занимает неизменное положение.
Если направление вращение ведущего колеса 1 и ведомого колеса 2 изменится, то линия зацепления В₁В₂, по которой перемещается точка контакта,  займет новой положение (рис. 7.4, б).
Угол между линией зацепления В₁В₂ и прямой, перпендикулярной линии межосевого расстояния, называется углом зацепления и обозначается через a_w. Углы РВ₁О₁ и РВ₂О₂ равны углу зацепления a_w как углы с соответственно перпендикулярными сторонами.  Поскольку РО₁ = r_w1, а РО₂ = r_w2, то
.
Следовательно, при эвольвентном зацеплении передаточное отношение может быть выражено через отношение радиусов основных окружностей:
,
причем знак плюс относится к внутреннему зацеплению, а знак минус – к внешнему.
Из формулы видно, что при эвольвентном зацеплении изменение межосевого расстояния не влияет на значение передаточного отношения вследствие неизменности радиусов основных окружностей. При изменении межосевого расстояния изменяются лишь радиусы начальных окружностей и угол зацепления.

w1

w1

a)

б)

Рис. 7.4

P

O

1

O

2

α

w

линия зацепления

B

1

B

2

α

w

w2

α

w

r

b2

r

b1

P

O

1

O

2

α

w

линия зацепления

B

1

B

2

α

w

w2

α

w

r

b2

r

b1

Контрольные вопросы
1.                Сформулируйте основные задачи синтеза планетарных механизмов?
2.                В чем заключаются условия соосности, соседства и сборки при синтезе планерных механизмов?
3.                Сформулируйте основные требования предъявляемые к геометрическим кривым очерчивающим профили зубьев?
4.                Назовите свойства эвольвенты?
5.                Что такое инволюта (эвольвентная функция) угла?
6.                Назовите основные свойства эвольвентного зацепления?

Лекция 8
Изготовление зубчатых колес. Смещение режущего инструмента. Коэффициент перекрытия. Явление подрезания. Коррегирование эвольвентного зацепления. Качественные характеристики зубчатой передачи.
Методы изготовления эвольвентных зубчатых колес
Существует множество вариантов изготовления зубчатых колес. В их основу положены два принципиально отличных метода:
·     метод копирования, при котором рабочие кромки инструмента по форме соответствуют обрабатываемой поверхности (конгруэнтны ей, т.е. заполняют эту поверхность как отливка заполняет форму). Строится копия, по этой копии изготавливается фреза.
·     метод обкатки, при котором инструмент и заготовка за счет кинематической цепи станка выполняют два движения - резания и огибания (под огибанием понимается такое относительное движение заготовки и инструмента, которое соответствует станочному зацеплению, т.е. зацеплению инструмента и заготовки с требуемым законом изменения передаточного отношения).
         Из вариантов изготовления по способу копирования можно отметить:
·     нарезание зубчатого колеса профилированной дисковой или пальцевой фрезой (проекция режущих кромок которой соответствует конфигурации впадин, рис. 8.1). При этом методе резание производится в следующем прядке: прорезается впадина первого зуба, затем заготовка с помощью делительного устройства (делительной головки) поворачивается на угловой шаг и прорезается следующая впадина. Операции повторяются пока не будут прорезаны все впадины. Недостатки метода: производительность низкая, сложность изготовления инструмента, по мере износа инструмента ухудшение точности и качества поверхности нарезаемого колеса, для изготовления колес с различными модулями необходим набор фрез.

Рис. 8.1
·     отливка зубчатого колеса в форму. При этом внутренняя поверхность литейной формы конгруэнтна наружной поверхности зубчатого колеса. Производительность и точность метода высокая, однако при этом нельзя получить высокой прочности и твердости зубьев.
Из вариантов изготовления по методу обкатки наибольшее распространение получили:
·          обработка на зубофрезерных или зубодолбежных станках червячными фрезами (рис. 8.2, а), долбяками (рис. 8.2, б), инструментальной рейкой – гребёнкой (рис. 8.2, в). Производительность достаточно высокая, точность изготовления и чистота поверхностей средняя. Можно обрабатывать колеса из материалов с невысокой твердостью поверхности. Долбяк позволяет нарезать колеса с внутренним зацеплением.

Рис. 8.2
·     накатка зубьев с помощью специального профилированного инструмента. Обеспечивает высокую производительность и хорошую чистоту поверхности. Применяется для пластичных материалов, обычно на этапах черновой обработки. Недостаток метода образование наклепанного поверхностного слоя, который после окончания обработки изменяет свои размеры.
·     обработка на зубошлифовальных станках дисковыми кругами. Применяется как окончательная операция после зубонарезания (или накатки зубьев) и термической обработки. Обеспечивает высокую точность и чистоту поверхности. Применяется для материалов с высокой поверхностной прочностью.
На рис. 8.3 показан контур зубьев рейки, который называется исходным, так как он служит основой для определения форм и расположения режущих кромок. Отличие размеров инструментов от нарезаемого колеса состоит в том, что их высота увеличена на радиальный зазор (0,25 m). Необходимость зазора обусловлена технологическими требованиями (охлаждение заготовки рабочей жидкостью, сход стружки). Головка зуба режущего инструмента вырезает ножку зуба в заготовке. Этот контур называется производящим, так как при движении режущих кромок он образует производящую поверхность. Прямая СС, проходящая по середине прямолинейной части зуба называется делительной прямой. По делительной прямой толщина зуба равна ширине впадины.
Для сокращения номенклатуры режущего инструмента стандарт устанавливает нормативный ряд модулей и определенные соотношения между размерами элементов зуба.

Рис. 8.3
По ГОСТ 13755-81 значения параметров исходного контура должны быть следующими:
·     угол главного профиля a = 20°;
·     коэффициент высоты зуба = 1;
·     коэффициент радиального зазора в паре исходных контуров = 0,25;
·     радиус закругления = 0,4 m.
Исходный производящий контур отличается от исходного высотой зуба h₀ = 2,5m.
Исходный и исходный производящий контуры образуют между собой конгруэнтную пару (рис. 8.3), т.е. один заполняет другой как отливка заполняет заготовку (с радиальным зазором с^*× m в зоне прямой вершин зуба исходной рейки).
Достоинства метода: простота изготовления инструмента, по мере износа легко заточить, обеспечение прямолинейности режущих кромок.

Смещение режущего инструмента
Если при нарезании колеса средняя линия инструментальной рейки касается делительной окружности нарезаемого колеса, то нарезаемое колесо называют нормальным или нулевым.
Если при нарезании среднюю линию инструментальной рейки сс сместить относительно делительной окружности нарезаемого колеса, то получим колеса нарезанные со смещением режущего инструмента.
Величина смещения:
в = x×m,
где x – коэффициент смещения, если x > 0 – нарезается положительное колесо, если x < 0 – нарезается отрицательное колесо (рис. 8.4).

Рис. 8.4
В зависимости от положения рейки зуб колеса очерчивается разными участками эвольвенты, и форма зуба при этом меняется. На рис. 8.5 приведена картина форм зубьев для различных вариантов смещения. Как видно из рисунка, при положительном смещении толщина зуба по делительной окружности увеличивается, а при отрицательном – уменьшается. Изменение геометрических параметров влечет за собой изменение прочностных характеристик зубьев нарезаемого колеса. Таким образом, соответствующим выбором коэффициента смещения можно влиять на геометрические и эксплуатационные характеристики колеса и зацепления в целом (изменяется форма зуба, изгибная и контактная прочность, коэффициент перекрытия).

Рис. 8.5
Введя в зацепление колеса нарезанные по всем трём вариантам, получают 3 варианта зацепления: нулевое, положительное и отрицательное.
Заострение зубчатого колеса
Если при нарезании зубчатого колеса увеличивать смещение, то основная и делительная окружность не изменяют своего размера, а окружности вершин и впадин увеличиваются. При этом участок эвольвенты, который используется для профиля зуба, увеличивает свой радиус кривизны и профильный угол. Толщина зуба по делительной окружности увеличивается, а по окружности вершин уменьшается.
        
         На рис. 8.6 изображены два эвольвентных зуба для которых:
x₂ >  x₁            Þ    r_a2 > r_a1 ;
s₂  >  s₁                             Þ    s_a2 < s_a1.
Для термообработанных зубчатых колес с высокой поверхностной прочностью зуба заострение вершины зуба является нежелательным. Термообработка зубьев (азотирование, цементация, цианирование), обеспечивающая высокую поверхностную прочность и твердость зубьев при сохранении вязкой сердцевины, осуществляется за счет насыщения поверхностных слоев углеродом. Вершины зубьев, как выступающие элементы колеса, насыщаются углеродом больше. Поэтому после закалки они становятся более твердыми и хрупкими. У заостренных зубьев появляется склонность к скалыванию зубьев на вершинах. Поэтому рекомендуется при изготовлении не допускать толщин зубьев меньших некоторых допустимых значений. То есть заостренным считается зуб у которого s_a < [s_a].
При этом удобнее пользоваться относительными величинами [s_a /m]. Обычно принимают следующие допустимые значения:
улучшение, нормализация                     [s_a /m] = 0,2;
цианирование, азотирование                [s_a /m] = 0,25...0,3;
цементация                                            [s_a /m] = 0,35...0,4.
Подрезание эвольвентных зубьев
Явление подрезания наблюдается, когда рабочий участок выходит за пределы теоретического. Рассмотрим критический случай, когда они совпадают. Участок линии зацепления, соответствующий эвольвентному зацеплению определяется отрезком зацепления. Текущая точка контакта B_l определяется пересечением линии станочного зацепления и прямой граничных точек инструмента. Если точка B_l  располагается ниже (рис. 8.7) точки N, то возникает подрезание зуба. Условие при котором нет подрезания можно записать так:
P₀N ³ P₀B_l .
Из D P₀N0
, а из D P₀B_lF
.
Тогда:
,
  при x= 0
,
откуда:
,
где Z_min - минимальное число зубьев нулевого колеса нарезаемое без подрезания, при стандартном угле a = 20° и при коэффициенте высоты головки зуба , равно 17.
Если средняя прямая рейки сдвигается на величину , то предельное число зубьев будет равняться:
,
При a = 20° и , имеем:
.
Величина х – коэффициент смещения, показывает на какое число модулей нужно отодвинуть среднюю прямую от касательной к делительной окружности, чтобы при числе зубьев меньшем 17, не возникло явление подрезания (рис. 8.6, а).
Установив критическое условие подрезания эвольвентных колес, рассмотрим меры которые применяют для устранения явления подрезания.
Все эти меры называют методами коррегирования, или исправления эвольвентного зацепления.
Коррегирование
На практике применяются три способа коррегирования: высотное, угловое и смешанное.
Рассмотрим все виды коррегирования:
1.    Высотное коррегирование (рис. 8.6, б).
При высотном коррегировании два сопряженных колеса нарезаются инструментом, который получает одинаковое по величине смещение относительно оси заготовки.
У коррегированных колес диаметры окружности выступов отличаются от нормальных: у малого колеса диаметр окружности выступов увеличен, а у большого колеса на такую же величину уменьшен. Высота головок зубьев коррегированной пары неодинакова: у малого колеса больше, у большого – меньше. Общая высота не изменяется и остается такой же, как у некоррегируемых колес.
Высотное коррегирование с постоянным межосевым расстоянием рекомендуется для передач, у которых Z₁ + Z₂ ³ 25, а число зубьев малого колеса Z₁ ³ 7.
2.    Угловое коррегирование (рис. 8.6, в).
Угловое коррегирование применяют, когда необходимо уменьшить число зубьев на малом колесе.
Поскольку выше нами установлено, что , то число зубьев уменьшается при увеличении угла зацепления. В таких случаях угол зацепления доводят до 32°. Зуб при этом утолщается у ножки. Одновременно возрастает радиус кривизны профиля.
Однако при увеличении угла зацепления уменьшается действительная длина зацепления и соответственно коэффициент перекрытия. Отсюда уменьшается плавность работы передачи и появляются удары. На рис 8.6 в, сплошной линией показан профиль при a = 20°, а пунктиром – при большем угле. Во втором случае профиль более пологий и рабочая часть линии зацепления М¢N¢ меньше по величине.

Рис. 8.6
3.    Смешанное коррегирование (рис. 8.6 г).
Этот вид коррегирования получил наибольшее распространение. При нарезании заготовки режущий инструмент смещается на зуборезном станке.
На рис. 8.6 г, пунктиром показано стандартное зацепление колеса с рейкой, а смещенное на величину в – контурными линиями. При положительном смещении толщина зуба рейки по линии сс, проходящей через полюс зацепления Р, будет меньше, чем на линии с¢с¢, поэтому ширину впадины шестерни во избежание ударов уменьшают, т.е. при каждом таком шаге толщину её зуба увеличивают. Толщина нарезаемого зуба у основания увеличивается, что упрочняет зуб.
Коэффициент торцевого перекрытия.
Если в зубчатой передаче требуется обеспечить только непрерывность в передаче вращения, то достаточно, чтобы в зацеплении постоянно находились не менее одной пары зубьев. Однако в передачах состоящих из зубчатых колес с малым числом зубьев при работе на больших скоростях возникает шум и удары в зацеплении, теряется равномерность передачи окружной силы.
Если в зацеплении находится несколько пар зубьев одновременно, то указанные факторы уменьшаются.
Полный коэффициент перекрытия e_g является суммой торцового коэффициента перекрытия e_a и осевого коэффициента перекрытия e_b, т.е.
e_g = e_a + e_b.
Значение торцового коэффициента перекрытия может быть вычислено как отношение длины активной линии зацепления g_a к шагу эвольвентного зацепления р_a:
.

Рис.8.7

P

O

1

O

2

α

w

линия зацепления

B

1

B

2

α

w

r

а1

r

а2

H

1

H

2

α

a2

α

a1

р

α

Активная линия зацепления – участок линии зацепления, в точках которого последовательно соприкасаются взаимодействующие профили зубьев. При отсутствии подрезания этот участок заключен между точками Н₁ и Н₂ (рис. 8.7). Шагом зацепления р_a называется расстояние по контактной нормали (нормаль к главным профилям в точке их касания) между двумя контактными точками одноименных главных профилей соседних зубьев:
р_a = m p cosa .
Длина активной линии зацепления g_a:

Здесь радиус основной окружности r_b получен из прямоугольного треугольника (рис. 8.8), где гипотенуза – радиус делительной окружности (r = mZ/2), а прилежащий катет – радиус основной окружности:

Рис.8.8

α

O

1

B

1

r

b

r

C

.

Окончательно
 .
Подставляя формулы для р_a и g_a в e_a, получаем выражение для вычисления коэффициента торцового перекрытия:
 .
Для прямозубых зубчатых колес обычно e_a < 1,7. Для увеличения коэффициента перекрытия используют косозубые колеса, тогда добавляется коэффициент осевого перекрытия e_b, который может быть вычислен как отношение рабочей ширины венца передачи b_w к осевому шагу р_х (рис. 8.9):
 ,
где m_n – расчетный или нормальный модуль, т.е. модуль в нормальном сечении nn.

Рис.

8.9

b

n

n

p

t

p

x

p

n

bw

Качественные характеристики передачи

Рассмотрим геометрические и кинематические характеристики зубчатой передачи, зависящие от исходных параметров передачи Z₁, Z₂, m, x₁, x₂ и влияющие на эксплуатационные качества передачи.
1.       Приведенный радиус кривизны. Усталостное выкрашивание является основным видом разрушения активной поверхности зубьев закрытых и хорошо смазанных зубчатых передач. Выкрашивание заключается в том, что вследствие многократного возникновения контактных напряжений на поверхности зубьев вблизи полюса появляются микроскопические трещины, которые, развиваясь и объединяясь, приводят к отделению мелких частиц металла и образованию ямок. Для предотвращения выкрашивания необходимо, чтобы контактные напряжения на активных поверхностях не превышали допустимых.
Если эвольвенты в полюсе зацепления заменить дугами окружности с радиусами r₁ и r₂, равным радиусам кривизны эвольвент в полюсе, то контактные напряжения можно приближенно определить по формуле Герца-Беляева для двух контактирующих цилиндров (рис. 8.10).
,
где q – удельная нагрузка; r_пр – приведённый радиус кривизны; E_пр – приведенный модуль упругости; m - коэффициент Пуассона.
Из этой формулы, в частности, следует, что контактные напряжения обратно пропорциональны . Приведенный радиус кривизны r_пр равен:
.

а

)

При статической неуравновешенности (рис. 14.10) главная центральная ось инерции параллельна оси вращения ротора, главный вектор дисбалансов больше нуля, а главный момент дисбалансов равен нулю ( ), т.е. необходимо уравновесить только вектор D_с = m × e. Для этого достаточно установить на роторе только одну корректирующую массу m_k, величина которой определяется из равенства:
,
где величиной e_k задаются из соображений удобства размещения противовесов. Направление вектора D_k противоположно направлению D_c.
Таким образом, условие статической уравновешенности ротора заключается в .

Моментная неуравновешенность
При моментной неуравновешенности (рис. 14.11) главная центральная ось инерции пересекает ось вращения в центре масс ротора точке S, главный вектор дисбалансов D_с равен нулю, главный момент дисбалансов М_D не равен нулю ( ), т.е. необходимо уравновесить только момент дисбалансов М_D. Для этого достаточно разместить на роторе две одинаковых корректирующих массы m_k на равных расстояниях от оси вращения e_k и от центра масс S - l_k. Массы выбираются и размещаются так, чтобы момент их дисбалансов M_Dk был по величине равен, а по направлению противоположен моменту дисбалансов ротора М_D:
,
где D_k – дисбаланс корректирующей массы, .
В этих зависимостях величинами l_k и e_k  задаются по условиям удобства размещения противовесов на роторе, а величину m_k рассчитывают. Необходимо отметить, что величины D_k в плоскостях коррекции необязательно должны быть равными, необходимо выполнять только неизменность положения центра масс - он должен оставаться на оси вращения.
Таким образом, условие моментной уравновешенности ротора заключается в .

Динамическая неуравновешенность
При динамической неуравновешенности (рис. 14.12) главная центральная ось инерции пересекает ось вращения не в центре масс ротора точке S, либо перекрещивается с ней; и главный вектор дисбалансов D_с, и главный момент дисбалансов М_D не равны нулю ( ), т.е. необходимо уравновесить вектор D_с и момент дисбалансов М_D . Для этого достаточно разместить на роторе две корректирующих массы m_k1 и m_k2 на расстояниях от оси вращения e_k1 и e_k2, а от ценра масс S, соответственно на l_k1 и l_k2. Массы выбираются и размещаются так, чтобы момент их дисбалансов M_Dk был по величине равен, а по направлению противоположен моменту дисбалансов ротора М_D:
,
где D_k1 и D_k2 – дисбалансы корректирующих масс,  и .
Векторная сумма дисбалансов при этом должна быть равна и противоположно направлена вектору D_с:
.
В этих зависимостях величинами l_ki и e_ki  задаются по условиям удобства размещения противовесов на роторе, а величины m_ki рассчитывают.
Таким образом, условие динамической уравновешенности ротора заключается в .

Контрольные вопросы
34.           Вибрации и колебания в машинах и механизмах.
35.           Что такое неуравновешенность механизма, её разновидности.
36.           Метод замещающих масс.
37.           Полное статическое уравновешивание кривошипно-ползунного механизма методом замещающих масс.
38.           Частичное статическое уравновешивание кривошипно-ползунного механизма методом замещающих масс.
39.           Балансировка роторов. Как решаются задачи уравновешивания при статической, моментной и динамической неуравновешенности.

Лекция 15
Уравновешивание роторов при проектировании. Виброзащита машин и механизмов. Методы виброзащиты. Подрессоривание и виброизоляция. Динамическое гашение колебаний.
Уравновешивание роторов при проектировании
Статическое уравновешивание при проектировании
При проектировании статически уравновешивают детали, имеющие небольшие осевые размеры и конструктивно неуравновешенные, например, дисковые кулачки (рис. 15.1).
Когда кулачок неподвижен w₁ = 0, реакция в опоре R₁₀ = - G. При вращении кулачка w₁ ¹ 0, реакция в опоре равна векторной сумме сил тяжести и центробежной силы инерции R₁₀ = - (G + P_и), где P_и = - m₁× e₁ ×w₁². При проектировании детали типа кулачка уравновешивание производится так: в деталь с центром на оси вращения вписывается окружность, подсчитываются площади ограниченные контуром кулачка и расположенные вне или внутри окружности, определяется массы и центры масс S_n неуравновешенных частей кулачка, находится эксцентриситет e₁ центра масс S₁ кулачка по величине и направлению и определяется его дисбаланс D₁ = m₁× e_1, с помощью корректирующей массы m_k,  размещаемой на эксцентриситете e_k, создается дисбаланс D_k  равный по величине и противоположный по направлению D₁.
Динамическое уравновешивание при проектировании
Динамическое уравновешивание при проектировании проводят с деталями и узлами, в которых массы распределены относительно оси вращения неравномерно, например, детали типа коленчатого вала. Эти детали делят на несколько дисков и в каждом диске, также как при статическом уравновешивании, определяют величину и направление дисбаланса D_i. На детали выбирают две плоскости коррекции и каждый вектор дисбаланса раскладывают на две составляющие, расположенные в плоскостях коррекции. Затем составляющие векторы дисбалансов в плоскостях коррекции суммируются и их равнодействующий дисбаланс, например, D_I, уравновешивается соответствующей  корректирующей массой m_Ik. Пример такого уравновешивания изображен на рис. 15.2.

Схема размещения корректирующих масс в плоскостях коррекции приведена на рис. 15.3.

I                                                       II
D_II
 D_I                                                                                                         e_II
0_I                                                                         0_II
 

  e_I                        D_kI                                                               m_kII
m_kI
 D_kII
Рис. 15.3
Виброзащита машин и механизмов
При движении механической системы под действием внешних сил в ней возникают механические колебания или вибрации. Эти вибрации оказывают влияние на функционирование механизма и часто ухудшают его эксплуатационные характеристики: снижают точность, уменьшают КПД и долговечность машины, увеличивают нагрев деталей, снижают их прочность, оказывают вредное воздействие на человека-оператора. Для снижения влияния вибраций используют различные методы борьбы с вибрацией. С одной стороны при проектировании машины принимают меры для снижения ее виброактивности (уравновешивание и балансировка механизмов), с другой - предусматриваются средства защиты как машины от вибраций, исходящих от других машин (для рассматриваемой машины от среды), так среды и операторов от вибраций данной машины.
Существует два способа виброзащиты: виброгашение и виброизоляция. Виброгашение основано на присоединении к колеблющимся звеньям машины дополнительных колебательных систем (динамических виброгасителей). Виброизоляция основана на разделении исходной системы на две части и соединения этих частей посредством виброизоляторов или амортизаторов.
Динамические гасители или антивибраторы, основаны на изменении соотношения между собственными частотами системы и частотами возмущающих сил для устранения резонансных колебаний.
Виброизоляторы, в которых за счет их упругих и демпфирующих свойств уменьшается амплитуда колебаний как на резонансных и нерезонансных режимах.
Взаимодействие двух подвижных звеньев
Рассмотрим механическую систему (рис. 15.4), состоящую из двух подвижных звеньев, образующих между собой кинематическую пару. Для упрощения предположим, что движение звеньев возможно только по одной координате x. Масса первого звена m₁, второго - m₂. На звено 2 действует периодическая внешняя сила Р₂ = R₂₀× sin wt , действием сил веса пренебрегаем. Уравнения движения звеньев имеют вид:
.
Если считать, что контакт между звеньями в процессе движения не нарушается и тела абсолютно жесткие, то
.
С учетом R₂₁ = - R₁₂, определим реакцию в точке контакта между звеньями:
.
Откуда
,
и после преобразований получаем:
.
Проанализируем эту зависимость:
если m₁ Þ 0, то R₂₁ Þ 0;
если m₂ Þ 0, то R₂₁ Þ - P₂;
если  m₂  = m₁ = m, то R₂₁ Þ - 0,5 × Р₂ ;
если m₂  Þ ¥, то R₂₁ Þ 0;
если m₁  Þ ¥, то R₂₁ Þ - P₂.
Анализ показывает, что реакция взаимодействия между звеньями зависит от соотношения их масс и величины внешней силы. При этом кинетическая энергия системы составляет:
,
а потенциальная равна нулю.
Подрессоривание или виброизоляция
При виброизоляции между рассматриваемыми звеньями устанавливают линейный или нелинейный виброизолятор, который обычно состоит из упругого и демпфирующего элементов (рис. 15.5).
В этой механической системе x₂ ¹ x₁ (предположим, что x₂  > x₁) и Dx = x₂ - x₁, тогда кинетическая энергия системы
,
а потенциальная
.
То есть в системе с виброизолятором только часть работы внешней силы расходуется на изменение кинетической энергии. Часть этой работы переходит в потенциальную энергию упругого элемента, и часть рассеивается демпфером (переходит в тепло и рассеивается в окружающей среде).
Уравнения движения:
,
.
Решение этой системы уравнений подробно рассматривается в курсе теории колебаний, поэтому ограничимся только анализом амплитудно-частотной характеристики (рис. 15.6). Характеристику построим в относительных координатах Dx_отн = x/x_ст , где x_ст - статическая деформация упругого элемента.
Динамическое гашение колебаний
Динамические гасители или антивибраторы широко применяются в машинах работающих в установившихся режимах для отстройки от резонансных частот (например, в судовых двигателях внутреннего сгорания). Динамические гасители могут быть выполнены в виде упругого или физического маятника. Рассмотрим простейший линейный упругий динамический гаситель (рис. 15.7). Принцип действия динамического гасителя заключается в создании гасителем силы направленной противоположно возмущающей силе. Настройка динамического гасителя заключается в подборе его собственной частоты: собственная частота гасителя должна быть равна частоте тех колебаний, амплитуду которых необходимо уменьшить («погасить»):
,
где  - собственная частота гасителя, m_г - масса гасителя, с_г - жесткость пружины гасителя.
Уравнения движения системы с динамическим гасителем, схема которого изображена на рис. 15.7 имеют вид:
Деталь - элемент конструкции не имеющий в своем составе внутренних связей (состоящий из одного твердого тела).
Звено - твердое тело, или система жестко связанных твердых тел (может состоять из одной или нескольких деталей), входящее в состав механизма и совершающее особое относительное движение по отношению к другим телам. Одно из звеньев механизма всегда неподвижно – это стойка.
Стойка - звено, которое при исследовании механизма принимается за неподвижное (корпус механизма).
Звенья механизма связаны между собой кинематическими парами. Кинематическая пара – это подвижное соединение двух соприкасающихся звеньев.
Группа - кинематическая цепь, состоящая из подвижных звеньев, связанных между собой кинематическими парами (отношениями), и удовлетворяющая некоторым заданным условиям.
Узел - несколько деталей связанных между собой функционально, конструктивно  или каким-либо другим образом.
С точки зрения системы узлы, группы, простые или типовые механизмы рассматриваются как подсистемы. Самым низким уровнем разбиения системы при конструировании является уровень деталей; при проектировании - уровень звеньев. Элементы из системы можно выделить только после определения взаимосвязей между ними, которые описываются отношениями. Для механических систем интерес представляют отношения определяющие структуру системы и ее функции, т. е. расположения и связи. Расположения - такие отношения между элементами, которые описывают их геометрические относительные положения. Связи - отношения между элементами, предназначенные для передачи материала, энергии или информации между элементами. Связи могут осуществляться с помощью различных физических средств: механических соединений, жидкостей, электромагнитных или других полей, упругих элементов.
Механические соединения могут быть подвижными (кинематические пары) и неподвижными. Неподвижные соединения делятся на разъемные (винтовые, штифтовые) и неразъемные (сварные, клеевые).
Механизмом называется система твердых тел, предназначенная для передачи и преобразования заданного движения одного или нескольких тел в требуемые движения других твердых тел.
Кинематическая цепь - система звеньев, образующих между собой кинематические пары.
Число степеней свободы или подвижность механизма - число независимых обобщенных координат, однозначно определяющее положение всех его звеньев на плоскости или в пространстве.
Из теоретической механики: Системы материальных тел (точек), положения и движения которых подчинены некоторым геометрическим или кинематическим ограничениям, заданным наперед и не зависящим от начальных условий и заданных сил, называется несвободной. Эти ограничения, наложенные на систему и делающие ее несвободной называются связями. Положения точек системы, допускаемые наложенными на нее связями называются возможными. Независимые друг от друга величины однозначно определяющие возможные положения системы в произвольный момент времени называются обобщенными координатами системы.
Входные звенья - звенья, которым сообщается заданное движение или соответствующие силовые факторы (силы или моменты); выходные звенья - те, на которых получают требуемое движение и силы.
Начальное звено - звено, координата которого принята за обобщенную. Начальная кинематическая пара - пара, относительное положение звеньев в которой принято за обобщенную координату.
Рассмотрим пример механизма представленного на рис. 1.9: он состоит из трех подвижных звеньев, одного неподвижного звена – стойки и четырёх кинематических пар (все они разрешают только вращательное движение), (звенья на структурной схеме обозначаются цифрами; кинематические пары буквами латинского алфавита, соединения со стойкой нумерацией стойки с индексом соединяемого подвижного звена – 0₁, 0₃).

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.9

 

 

Строение механизмов

Как отмечалось выше, структура любой технической системы определяется функционально связанной совокупностью элементов и отношений между ними. При этом для механизмов под элементами понимаются звенья, группы звеньев или типовые механизмы, а под отношениями подвижные (кинематические пары) или неподвижные соединения. Поэтому под структурой механизма понимается совокупность его элементов и отношений между ними, т.е. совокупность звеньев, групп или типовых механизмов и подвижных или неподвижных соединений. Геометрическая структура механизма полностью описывается заданием геометрической формы его элементов, их расположения, указания вида связей между ними. Структурная схема - графическое изображение механизма, выполненное с использованием условных обозначений рекомендованных ГОСТ (см. например ГОСТ 2.703-68) или принятых в специальной литературе, содержащее информацию о числе и расположении элементов (звеньев, групп), а также о виде и классе кинематических пар, соединяющих эти элементы. В отличие от кинематической схемы механизма, структурная схема не содержит информации о размерах звеньев и вычерчивается без соблюдения масштабов. (Примечание: кинематическая схема - графическая модель механизма, предназначенная для исследования его кинематики).
Задачей структурного анализа является определение параметров структуры заданного механизма - числа звеньев и структурных групп, числа и вида кинематических пар, числа подвижностей (основных и местных), числа контуров и числа избыточных связей.
Задачей структурного синтеза является синтез структуры нового механизма, обладающего заданными свойствами: числом подвижностей, отсутствием местных подвижностей и избыточных  связей, минимумом числа звеньев, с парами определенного вида (например, только вращательными, как  наиболее технологичными) и т.п.
Степень подвижности механизма - число независимых обобщенных координат однозначно определяющее положение звеньев механизма на плоскости или в пространстве.
Связь - ограничение, наложенное на перемещение тела по данной координате.
Избыточные (пассивные) - такие связи в механизме, которые повторяют или дублируют связи, уже имеющиеся по данной координате, и поэтому не изменяющие реальной подвижности механизма. При этом расчетная подвижность механизма уменьшается, а степень его статической неопределимости увеличивается. Иногда используется иное определение: Избыточные связи - это связи, число которых в механизме определяется разностью между суммарным числом связей, наложенных  кинематическими парами, и суммой степеней подвижности всех звеньев, местных подвижностей и заданной (требуемой) подвижностью механизма в целом.
Местные подвижности - подвижности механизма, которые не оказывают влияния на его функцию положения (и передаточные функции), а введены в механизм с другими целями (например, подвижность ролика в кулачковом механизме обеспечивает замену в высшей паре трения скольжения трением качения).
Классификация кинематических пар
Кинематические пары определяют характер относительного движения звеньев и налагают условия связи, т.е. ограничивают движения соединяемых звеньев.
Кинематические пары классифицируются по следующим признакам:
1.  по числу условий связей (согласно этой классификации класс пары равен числу условий связей, или числу ограничений накладываемых на относительные движения звеньев). Классификация кинематических пар по числу подвижностей и по числу связей приведена в таблице 1.1.

Таблица 1.1 Классификация кинематических по числу условий связей

Класс  пары	Число связей	Подвижность	Пространственная  схема                    (пример)	Условные   обозначения
I	1	5	z       i          K5вп         y                                x                                 j	i       K5вп                    j
II	2	4	z           i              B4вп        y                                 j        x	i                          B4вп                                j
Ш	3	3	z                                                   i                                       C3сф                         C         y                                   x            j	i                C3сф                     j
IV	4	2	z         j                                   i                                              x                              D2ц         y	i               D2ц              j
V	5	1	z           j                                   i                                              x         y                   E1п                    Поступательная КП	Вращательная КП         i                 E1в             j Поступательная КП              i                   E1п              j

Примечание: Стрелки у координатных осей показывают возможные угловые и линейные относительные перемещения звеньев. Если стрелка перечеркнута, то данное движение в кинематической паре запрещено (т.е. на данное относительное движение наложена связь).
2.  по виду места контакта (места связи) поверхностей звеньев:
·     низшие, в которых контакт звеньев осуществляется по плоскости или поверхности (пары скольжения);
·     высшие, в которых контакт звеньев осуществляется по линиям или точкам (пары, допускающие скольжение с перекатыванием).
Два твердых тела (звена), соприкасающиеся своими поверхностями и имеющие возможность двигаться относительно друг друга, образуют кинематическую пару. Кинематическая пара допускает не любое движение звеньев относительно друг друга, а только такое движение, которое согласуется с характером соприкосновения и с формой соприкасающихся поверхностей.
Если звенья, образующие КП, в силу характера их соприкосновения, могут совершать только простейшие движения относительно друг друга (вращательное, прямолинейное поступательное или, в общем случае, винтовое), то пара является низшей. Низшая пара - пара, в которой требуемое относительное движение звеньев обеспечивается соприкасанием ее элементов по плоскости или поверхности. В таких парах движение одного звена относительно другого представляет собой чистое скольжение.
Более сложные относительные движения можно реализовать в парах, характер соприкасания звеньев в которых допускает не только относительное скольжение, но и перекатывание. Такие пары называются высшими. Высшая пара - пара, в которой требуемое относительное движение звеньев может быть получено только соприкасанием звеньев по линиям или в точках.
3.  по относительному движению звеньев, образующих пару:
·     вращательные;
·     поступательные;
·     винтовые;
·     плоские;
·     сферические.
4.  по способу замыкания (обеспечения контакта звеньев пары):
·     силовое (за счет действия сил веса или силы упругости пружины, рис. 1.10);
·     геометрическое (за счет конструкции рабочих поверхностей пары, рис. 1.11).
Рис. 1.10                                     Рис. 1.11
Кинематические пары в плоских механизмах
Плоскими называют механизмы, точки звеньев которых движутся в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.
В плоских механизмах могут существовать только кинематические пары 4 и 5 классов (т.е. двух и одно подвижные), причём кинематические пары 4 класса будут высшими, а 5 низшими (табл. 1.1). Например, механизм на рис. 1.12 является плоским, имеет две низших вращательных кинематических пары 5 класса 0₁ и 0₂ и одну высшую 4 класса А (разрешает качение и скольжение колеса 1 по 2).

Рис. 1.12
Краткая историческая справка
Как самостоятельная научная дисциплина ТММ, подобно другим прикладным разделам науки, возникла в результате промышленной революции начало которой относится к 30-м годам XVIII века. Однако машины существовали задолго до этой даты. Поэтому в истории развития ТММ можно условно выделить четыре периода:
1-й период до начала XIX века - период эмпирического машиностроения в течение которого изобретается большое количество простых машин и механизмов: подъемники, мельницы, камнедробилки, ткацкие и токарные станки, паровые машины (Леонардо да Винчи, Вейст, Ползунов, Уатт). Одновременно закладываются и основы теории: теорема об изменении кинетической энергии и механической работы, «золотое правило механики», законы трения, понятие о передаточном отношении, основы геометрической теории циклоидального и эвольвентного зацепления (Карно, Кулон, Амонтон, Кадано Дж., Ремер, Эйлер).
2-й период от начала до середины XIX века - период начала развития ТММ. В это время разрабатываются такие разделы как кинематическая геометрия механизмов (Савари, Шаль, Оливье), кинетостатика (Кариолис), расчет маховика (Понселе), классификация  механизмов по функции преобразования движения (Монж, Лану) и другие разделы. Пишутся первые научные монографии по механике машин (Виллис, Бориньи), читаются первые курсы лекций по ТММ и издаются первые учебники (Бетанкур, Чижов, Вейсбах).
3-й период от второй половины XIX века до начала XX века - период фундаментального развития ТММ. За этот период разработаны: основы структурной теории (Чебышев, Грюблер, Сомов, Малышев), основы теории регулирования машин (Вышнеградский), основы теории гидродинамической смазки (Грюблер), основы аналитической теории зацепления (Оливье, Гохман), основы графоаналитической динамики (Виттенбауэр, Мерцалов), структурная классификация и структурный анализ (Ассур), метод планов скоростей и ускорений (Мор, Манке), правило проворачиваемости механизма (Грасгоф) и многие другие разделы ТММ.
4-й период от начала XX века до настоящего времени - период интенсивного развития всех направлений ТММ как в России, так и за рубежом. Среди русских ученых необходимо отметить обобщающие работы Артоболевского И.И., Левитского Н.И., Фролова К.В.; в области структуры механизмов - работы Малышева А.П., Решетова Л.Н., Озола О.Г.; по кинематике механизмов - работы Колчина Н.И., Смирнова Л.П., Зиновьева В.А.; по геометрии зубчатых передач - работы Литвина Ф.Л., Кетова Х.Ф., Гавриленко В.А., Новикова М.Л.; по динамике машин и механизмов - Горячкин В.П., Кожевников С.Н., Коловский М.З. и др. Данное перечисление не охватывает и малой доли работ выдающихся ученых, внесших существенный вклад в развитие ТММ в этот период. Из зарубежных ученых необходимо отметить работы Альта Х., Бегельзака Г., Бейера Р., Крауса Р., Кросли Ф. и многих других.
 

 

x₁
m₁
c_г                           k_г
 

 г                                 m_г

x_г
Рис. 15. 7