Лекция Понятие устойчивости
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Реферат
По физике
УСТОЙЧИВОСТЬ
Лекция 14.
Будем называть равновесное состояние устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях.
Приведём некоторые примеры.
Тяжелый шар на поверхности, имеющей вершины, впадины и горизонтальные участки.
В том случае, когда шарик находится на вершине, составляющая силы тяжести Т, возникающая при его отклонении, уводит его от первоначального состояния, для шарика, находящегося во впадине сила Т будет возвращать отклонённый шарик в первоначальное состояние и он будет колебаться в окрестности наиболее низкой точки впадины, т.е. при малых отклонениях состояние шарика будет также меняться мало. Случай шарика, находящегося на горизонтальной поверхности, будет случаем разграничивающим рассмотренные выше не устойчивые и устойчивые равновесные состояния. Такое состояние называется безразличным.
2. Хорошо знакомую картину разрушение образца при растяжении с образованием шейки можно трактовать, как потерю устойчивости цилиндрической формы образца.
По мере приближения состояния образца становится неустойчивой, образуется шейка и малым изменениям силы соответствуют значительные изменения конфигурации системы.
Рис. 98
Центрально сжатый гибкий стержень
Предполагается, что стержень идеально прямой, а сила прилаженная строго по оси (что, конечно, практически невозможно).
Для того, чтобы судить устойчиво ли данное равновесное состояние, надо приложить горизонтальную возмущающую силу, которая вызовет прогиб. Если сила Р невелика, то прогиб окажется малым, равновесное состояние (прямолинейное) фактически не изменится . Однако если сила Р превысит некоторое значение называется критическим (F кр ), то равновесное состояние становится неустойчивым, т. е. любые малые возмущения приведут к значительным прогибам. Зависимость между прогибом и силой показана действительное поведение стержня, которое можно обнаружить с помощью нелинейных решений, сплошной чертой показано грубое, линейное решение задачи.
Задача Эйлера
Рассмотрим центрально сжатый шарнирно закрепленный с обоих концов стержень. Эта задача была решена Л. Эйлером.
Существо задачи состоит в том, что задача об устойчивости по отношению к заданному возмущению подменяется задачей о возможности существования двух различных форм равновесия при одном и том же значении силы F. Очевидно, что прямолинейная равновесная форма возможна (y = 0). Допустим, что наряду с прямолинейной равновесной формой возможна и криволинейная равновесная форма, показанная на рисунке.
Кривизна стержня на основании закономерности известной из теории изгиба выразится
Будем полагать, что угол поворота y’ – величина малая по сравнению с единицей и тем более мал квадрат этой величины по сравнению с единицей
Изгибающий момент в произвольном сечении с координатой Z: (знак минус увязывает прогиба и кривизны).
Дифференциальное уравнение изогнутой оси выглядит
или (1)
Решение этого дифференциального уравнения хорошо известно
Из граничных условий попробуем найти произвольные постоянные
C1 и С2
при Z=0:
при Z=:
Возможны две ситуации
C1=0, откуда y0, т. е. получаем прямолинейную равновесную форму,
Sin K (nN) подставим в (1) выражение R2 =
откуда найдем значение силы, при которой помимо прямолинейной равновесной формы появляется смежная криволинейная равновесная форма
реальный смысл имеет наименьшее значение силы при n=1 эйлерова сила – критическая сила.
Fкр=
Очевидно, что Ix – минимальный момент инерции.
Потери устойчивости будет происходить по синусоиде y = C1Sin
однако произвольную C1 мы так и не смогли найти.
Дело в том, что задача о потере устойчивости задача существенно нелинейно, а мы поступили непоследовательно. С одной стороны мы подошли к задаче как нелинейной, отойдя от принципа начальных размеров, и определив изгибающий момент с учетом изгиба стержня. С другой стороны, приняв приближенное выражение для кривизны, мы линеаризовали задачу. Для того, чтобы определить прогибы в закритической стадии надо исходить из нелинейного дифференциального уравнения.
Однако главная цель – определение критической силы для стержня нами достигнута.
Влияние условий закрепления концов стержня на величину критической силы
Формула (2) даёт возможность определить критическую силу только в том случае шарнирного опирания обоих концов стержня. Обобщим полученный результат на некоторые другие часто встречающиеся случаи закрепления.
а). Стержень, закреплённый жёстко одним концом и свободный от закрепления на другом. Очевидно изгиб стержня в этом случае будет таким же, как и в случае шарнирно опертого стержня, но имеющего длину в 2 раза большую.
Критическая сила в этом случае будет равна критической силе шарнирно опёртого стержня, имеющего длину 2.
Введём понятие коэффициента привидения длины - , т. е. числа показывающего во сколько раз нужно увеличить длину шарнирно опёртого стержня, чтобы критическая сила для него равнялась критической силе стержня длиной при заданном закреплении.
Очевидно, что в нашем случае коэффициент можно трактовать , как число показывающее сколько раз длина стержня укладывается в длине полуволны синусоиды, по которой происходит потеря устойчивости.
Обобщим формулу Эйлера
(3)
Для некоторых других случаев закрепления коэффициент приведения длины равен:
Рис. 102
Пределы применимости формулы Эйлера
Формула Эйлера выведена в предположении, что материал линейно упруг, и, естественно, применила, в тех случаях пока справедлив закон Гука.
Придадим формуле (3) иной вид.
Введём понятие критического напряжения, т. е. напряжения соответствующего критической силе.
; (4)
но где - минимальный радиус инерции сечения.
Введём ещё одну величину – гибкость стержня.
, тогда
Тогда можно оказать, что формула Эйлера справедлива, если критические напряжения не превышают предела пропорциональности при сжатии.
Выясним при каких гибкостях можно использовать формулу Эйлера .
Приравняем в (4)
=
Если , то можно использовать формулу (3)
Для малоуглеродистых сталей, особенно часто используемых для сжатых элементов: МПа, E = 2*105 МПа тогда,
т.е. для малоуглеродистых сталей формулу Эйлера можно использовать при гибкостях больших 100.
Коэффициент запаса на устойчивость
Представляет собой отношение критической силы для стержня к силе, действующей на него.
Коэффициент запаса на устойчивость может выступать, некоторая заданная нормативная величина, тогда ,где Fadm – нагрузка допускаемая из условия устойчивости.
Пример.
Для заданного сжатого стержня определить допускаемую силу
= 50 см; материал Ст. 3
E = 2 105 МПа; = 210 МПа
ny= 2
Ix = Imin = 4 см2 ; A = 2*6 = 12 см2;
= 2*50 = 100 см;
Fkp =
МПа; kpМПаМПаpr
формула Эйлера применима
Fadm = кН
Расчет сжатых стержней на устойчивость по коэффициенту снижения допускаемых напряжений
Приведенное выше решение пригодно только для сравнительно длинных и тонких стержней. В случае коротких и жестких стержней потеря устойчивости происходит при возникновении пластических деформаций и задача требует специального рассмотрения. Существует решения (Т. Карман, Энгессер) об устойчивости стержня за пределами упругости. Иногда прибегают к эмпирическим формулам типа формулы Ясинского.
, где a и b-константы зависящие от свойств материала.
Изложим методику расчёта на устойчивость, предложенную русским инженером Ясинского в конце прошлого века. Суть этой методики состоит в том, что расчёт на устойчивость подменяется расчетом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости. Допускаемое напряжение на устойчивость полагается равным
- допускаемое напряжение при сжатии;
- коэффициент снижения допускаемых напряжений. Он может трактоваться, как следующее отношение.
Коэффициент снижение допускаемых напряжений зависит от гибкости
С увеличением гибкости величины его уменьшается.
Разумеется, что зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов он вычислен и приведён в таблицах. Приведем такую таблицу для ст. 3 материала наиболее часто применяемого для сжатых элементов.
|
|
|
|
0 | 1,00 | 110 | 0,52 |
10 | 0,99 | 120 | 0,45 |
20 | 0,96 | 130 | 0,40 |
30 | 0,94 | 140 | 0,36 |
40 | 0,92 | 150 | 0,32 |
50 | 0,89 | 160 | 0,29 |
60 | 0,86 | 170 | 0,26 |
70 | 0,81 | 180 | 0,23 |
80 | 0,75 | 190 | 0,21 |
90 | 0,69 | 200 | 0,19 |
100 | 0,60 | --- | --- |
Для промежуточных значений соответствующие значения определяются путем линейной интерполяции.
Примеры.
Если известно сечение сжатого элемента, то нагрузку которую может воспринять стержень из условия устойчивости определяется.
Nadm =
Определить величину допускаемой нагрузки на ферму из условия устойчивости поясов АВ и ВД.
Материал – Ст. 3, = 160МПа
Рис. 104
Площадь сечения А = 2АL = 2*4,8 = 9,6 см2 ;
Минимальный момент инерции сечения будет
Ix = 2ILx
Минимальный радиус инерции
По сортаменту определяем =1,53см
Приведенная длина верхнего пояса
см
Гибкость по таблице
Допускаемое усилие из условия устойчивости для стержня AB:
Свяжем между собой силу, действующую на ферму F и усилие NAB
Рис. 105
Допускаемая нагрузка на ферму
Fadm=48.5кн
Другим типом задачи является подбор размером сечения заданного типа. Можно записать
A=
Однако зависит от размеров и формы сечения, таким образом круг замыкается и задача может быть решена только методом попыток. По сути задача подбора сечения сводится к некоторой последовательности задач первого типа.
Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатого стержня. F=280кн. Материал Ст.3 =160МПа: =1м. Разберемся с геометрическими характеристиками
Рис. 106
A=a2 ; Ix= ;
1) см
a=см; см2;
Нагрузка, которую может воспринять сечение при заданных размерах
Размеры сечения слишком велики
2) см
a=см; A=24см2;
Размеры сечения слишком малы
Т. к. в обоих случаях мы оказались далеки от истины, то попробуем в качестве следующего значения среднее арифметическое из первых двух
см; a =см; A=36см2;
кн
Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение отличается от действующей силы не более чем на 5% в ту или другую сторону т. е.
0,95F
В нашем случае это условие выполнено.
Принимает размер сечения a = 6см
Лекция 15
Энергетический способ определения критических сил
В сколь-нибуть сложных случаях, получить критическую силу из решения дифференциального уравнения изогнутой оси сжатого стержня затруднительно.
Поэтому в подобной ситуации проще получить приближённое решение, например, энергетическим методом.
Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F. Условно на рисунке стержень показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях пока оставим открытым
Рис. 106
Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую поперечную нагрузку Fп, то стержень изогнётся, но будет находиться в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила совершит при этом работу на перемещении ▲, которое можно найти следующим образом.
Укорочение малого элемента длиной dz будет равно
▲=
учтём, что = y'
Тогда ▲=
Потенциальная энергия деформации изогнутого стержня
U=
Здесь учтено, что M = EIxy”
Изменение полной энергии при малом изгибе будет
Если , то стержень устойчив, если же , т.е. F производит работу большую, чем может на копиться в стержне в виде энергии упругой деформации, избыточная работа идёт на сообщение кинетической энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше. Т.е. он не устойчив. Очевидно, что когда сила достигает критического значения, то Fкрили
откуда
Для получения значения критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси. Функцию y = y(z) надо подбирать таким образом, чтобы она удовлетворяла граничным условиям.
Примеры
Вначале попробуем решить рассмотренную ранее задачу о критической силе для шарнирно опёртого по обоим концам стержня. Точное решение известно.
Fkp =
Форма изогнутой оси в этом случае известна
y = CSin
но предположим, что это нам не известно и аппроксимируем изогнутую ось полиномом четвёртой степени
Граничные условия следующие
А) при Z = 0: y=0 (1) ; y”=0 (2) прогиб равен нулю и момент равен нулю,
Б) при Z = : y = 0 (3) ;y”=0 (4)
Возьмём производные
y’ = 4Az3+3Bz2+2Cz+D;
y” = 12 Az2+6Bz+2C
Из (1) E = 0 ; bp (2) C = 0 Используем (3) ; из (4) следует
12 A подставляя в (3): A
D=A y’=A(4z3-6; y”=12A(z2-
Подставим эти выражения в формулу (1)
Как видим, приближённое решение практически не отличается от точного.
2)Рассмотрим более сложную задачу.
Определить критическую силу для стержня , показанного на рисунке.
Аналогично предыдущему случаю, аппроксимируем изогнутую ось полиномом
y = Az4+Bz3 +Cz2 +Dz+E
Запишем граничные условия
1) при z = 0 y = 0 (1)
y’ = 0 (2)
2) при z =3: y” = 0 (свободный конец и момент отсутствует) (4)
Найдем производные
y' = 4Az3+3Bz2+2Cz+D
y” = 12Az2+6Bz+2C;
Используем граничные условия
Из (1) E = 0 ; из (2) D = 0
Из (3) A164+B83+C4=0
42A+2B+C=0 (3а)
Из (4) 12A*92+6B*3+2C=0
542A+9B+C=0 (4а)
Решим совместно (3а) и (4а)
_9B+C=-542A
2B+C=-42A
------------------------
7B=-502A B=;
C=-42-2( )=
Подставим найденные значения коэффициентов полинома в выражения для
y’=2A(2z3- z2+)
y” = 12A(z2-z+.
Подставим в (1)
Вычисляя интеграл, получаем
Fkp