Матрицы

Основные вопросы лекции: общие определения, связанные с понятием матрицы; действия над матрицами; определители 2-го и 3-го порядков; определители порядка n, их вычисление; свойства определителей; обратная матрицы; ранг матрицы.

Матрицей размера mхn называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Матрицы обозначаются прописными (заглавными) буквами латинского алфавита, например, A, B, C,…, а для обозначения элементов матрицы используются строчные буквы с двойнойиндексацией: a_ij, где i – номер строки, j – номер столбца:

, i=1, 2,…, m; j=1, 2,…, n

Матрица называется квадратной n – го порядка, если число ее строк равно числу столбцов и равно n.

Элементы матрицы a_ij, у которых номер столбца равен номеру строки (i=j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы. Для квадратной матрицы главную диагональ образуют элементы a₁₁, a₂₂, …, a_nn, а a_1n, a_2n-1, …, a_n1 – элементы дополнительной диагонали.

Виды матриц: матрица (вектор) – строка, матрица (вектор) – столбц, диагональная, единичная матрица.

Над матрицами, как и над числами, можно производить ряд операций.

а) Умножение матрицы на число. Произведением матрицы А на число λ называется матрица В=λА, элементы которой b_ij=λa_ij для i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

В частности, произведение матрицы А на число 0 есть нулевая матрица, т.е. 0•А= О.

б) Сложение матриц. Суммой двух матриц А и В одинакового размера mхn называется матрица С=А+В, элементы которой

С=A±B=(aij)±(bij)=(aij±bij)=(cij), i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n.

(т.е. матрицы складываются поэлементно).

В частном случае А+0=А.

в) Умножение матриц. Умножение матрицы А на матрицу В определено, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй. Тогда произведением матриц называется такая матрица , каждый элемент которой с_ij равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы j – го столбца матрицы В:

Примечание. A*B≠B*A.

Транспонирование матрицы – переход от матрицы А к матрице А', в которой строки и столбцы поменялись местами с сохранением порядка. Матрица А' называется транспонированной относительно матрицы А:

,

В литературе встречаются и другие обозначения транспонированной матрицы, например, А^т.

Возведение в степень. Целой положительной степенью А^m (m>1) квадратной матрицы А называется произведение m матриц, равных А, т.е.

А^m=A*A*…*A (m>1)

m раз

Заметим, что операция возведения в степень определяется только для квадратных матриц.

По определению полагают А⁰ = Е, А¹ = А.

Следом trА квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов:

Матрица А^-1, обратная к квадратной матрице А, – такая матрица, что

А^-1*А=А* А^-1=Е (Е – единичная матрица).

Определители

Необходимость введения определителя – числа, характеризующего квадратную матрицу А, – тесно связано с решением систем линейных уравнений. Определитель матрицы А обозначается det (A) или Δ.

Определителем матрицы первого порядка А=(а₁₁), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁: Δ = |А|=а₁₁. Например, пусть А= (3), тогда Δ₁ = |А|=3.

Определитель матрицы второго порядка вычисляется по формуле:

Определитель матрицы третьего порядка вычисляется по правилом треугольника или правилом Сарруса:

Минором M_ij элемента a_ij матрицы n – го порядка называется определитель матрицы (n-1) – го порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием i – й строки и j – го столбца.

Алгебраическим дополнением Aij элемента a_ij матрицы n – го порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j:

A_ij=(-1)^i+jM_ij, i, j=1, 2, 3

т.е. алгебраическое дополнение совпадает с минором, когда сумма номеров строки и столбца (i+j) – четное число, и отличается от минора знаком, когда (i+j) – нечетное число.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Примечание. Определитель треугольной (и диагональной) матрицы равен произведению элементов главной диагонали.

Свойства определителей

1. Если какая-либо строка (столбец) матрицы состоит из одних нулей, то ее определитель равен 0.

2. Если все элементы какой-либо строки (столбца) матрицы умножить на число λ, то ее определитель умножится на это число λ.

3. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется: |А'|=|А|.

4. При перестановке двух строк (столбцов) матрицы ее определитель меняет знак на противоположный.

5. Если квадратная матрица содержит две одинаковые строки (столбца), то ее определитель равен 0.

6. Если элементы двух строк (столбцов) матрицы пропорциональны, то ее определитель равен 0.

7. Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) этой матрицы равна 0, т.е.

, при i¹j

8. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

9. Сумма произведений произвольных чисел b₁, b₂, …, bn на алгебраические дополнения элементов любой строки (столбца) равна определителю матрицы, полученной из данной заменой элементов этой строки (столбца) на числа b₁, b₂, …, bn.

10. Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению их определителей:

|С| = |А|*|В|, где C=А*В; А и В-матрицы n – го порядка.

Ранг матрицы

Для решения и исследования ряда математических и прикладных задач важное значение имеет понятие ранга матрицы.

Определение. РангомматрицыА называется наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.

Ранг матрицы Аобозначается rang Аилиr(А).

Свойства ранга матрицы:

1⁰. Ранг матрицы А_mxn не превосходит меньшего из ее размеров, т.е. rang A≤min (m; n);

2⁰. г(А) = 0 тогда и только тогда, когда все элементы матрицы равны нулю, т.е. А=0;

3⁰. Для квадратной матрицы n-го порядка r(A)= n тогда и только тогда, когда матрица А – невырожденная.

Назовем элементарными преобразованиями матрицы следующие:

1. Отбрасывание нулевой строки (столбца).

2. Умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, не равное нулю.

3. Изменение порядка строк (столбцов) матрицы.

4. Прибавление к каждому элементу одной строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженных на любое число.

5. Транспонирование матрицы.

Теорема. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.