Лекция

Лекция Метод конечных разностей или метод сеток

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2015-10-29

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Выберите тип работы:

Скидка 25% при заказе до 4.6.2025


Метод конечных разностей, или метод сеток

Рассмотрим линейную краевую задачу

(2.24)

(2.25)

,



где , , и непрерывны на [a, b].

Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей длины, или шага



.



Точки разбиения 



, 



называются узлами, а их совокупность – сеткой на отрезке [a, b]. Значения в узлах искомой функции  и ее производных   обозначим соответственно через



.

Введем обозначения





Заменим производные так называемыми односторонними конечно-разностными отношениями:



(2.26)



Формулы (2.26) приближенно выражают значения производных во внутренних точках интервала [a, b].

Для граничных точек положим



.  (2.27)



Используя формулы (2.26), дифференциальное уравнение (2.24) при , (i=1, 2,..., n–1) приближенно можно заменить линейной системой уравнений



(2.28)

Кроме того, в силу формул (2.27) краевые условия (2.25) дополнительно дают еще два уравнения:



. (2.29)



Таким образом, получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции  в узлах сетки. Система уравнений (2.28), (2.29), заменяющая приближенно дифференциальную краевую задачу (2.24), (2.25) обычно называется разностной схемой. Решить эту систему можно каким-либо общим численным методом. Однако схема (2.28), (2.29) имеет специфический вид и ее можно эффективно решить специальным методом, называемым методом прогонки. Специфичность системы заключается в том, что уравнения ее содержат три соседних неизвестных и матрица этой системы является трехдиагональной.

Преобразуем уравнения (2.28):



. (2.30)



Введя обозначения





получим

, (i=0, 1,..., n-2). (2.31)



Краевые условия по-прежнему запишем в виде



. (2.32)



Метод прогонки состоит в следующем.

Разрешим уравнение (2.31) относительно :



. (2.33)



Предположим, что с помощью полной системы (2.31) из уравнения исключен член, содержащий. Тогда уравнение (2.33) может быть записано в виде



, (2.34)



где  и  должны быть определены. Найдем формулы для этих коэффициентов. При i=0 из формулы (2.33) и краевых условий (2.32) следует, что



Исключая из этих двух уравнений , найдем



.



Выразим теперь отсюда :



(2.35)



Но, согласно формуле (2.34),



(2.36)



Сравнивая теперь (2.35) и (2.36), найдем, что



(2.37)

Пусть теперь i >0, то есть i=1, 2,..., n2. Выражая  по формуле (2.34), получим:



.



Подставляя это в формулу (2.33), будем иметь



.



Разрешая полученное уравнение относительно, находим



, или

. (2.38)



Отсюда, сравнивая формулы (2.34) и (2.38), получаем для коэффициентов и рекуррентные формулы:

 

(2.39)

Так как  и  уже определены по формулам (2.37), то, используя формулы (2.39), можно последовательно определить коэффициенты  и  до  и  включительно. Эти вычисления называются прямым ходом метода прогонки.

Из формулы (2.33) при i=n2 и второго краевого условия (2.32) получаем





Разрешая эту систему относительно, будем иметь



. (2.40)



Теперь, используя (2.34) и первое краевое условие (2.32), мы можем последовательно найти . Это − обратный ход метода прогонки.

Итак, получаем следующую цепочку:



(2.41)

Для простейших краевых условий  

формулы для и  упрощаются. Полагая в этом случае из формул (2.37), (2.40), (2.41) будем иметь





Рассмотренный нами подход сводит линейную краевую задачу к системе линейных алгебраических уравнений. При этом возникает три вопроса.

1) Существует ли решение алгебраической системы типа (2.31)?

2) Как фактически находить это решение?

3) Сходится ли разностное решение к точному при стремлении шага сетки к 0?

Можно доказать, что если краевая задача имеет вид





причем р(x)>0, то решение системы (2.31), (2.32) существует и единственно. Фактическое отыскание решения можно провести, например, методом прогонки. На третий вопрос дает ответ следующая

Теорема

Если  и  дважды непрерывно дифференцируемы, то разностное решение, соответствующее схеме с заменой

равномерно сходится к точному с погрешностью  при



Таким образом, схема (2.28), (2.29) дает приближенное решение краевой задачи, но точность ее весьма мала. Это связано с тем, что аппроксимация производной





имеет низкий порядок точности − погрешность этой аппроксимации





Более точную разностную схему можно получить, если при переходе от линейной краевой задачи к конечно-разностным уравнениям воспользоваться центральными формулами для производных:



, (2.42)

, (2.43)

i=1, 2,..., n.



Погрешность формулы (2.42) выражается так:





то есть формула (2.42) имеет второй порядок точности относительно шага сетки h. Подставляя выражения (2.42), (2.43) в задачу (2.24), (2.25) и выполняя некоторые преобразования, получим следующую систему:



(2.44)



Где .



Система (2.44) снова трехдиагональная и ее решение также можно получить методом прогонки. Его алгоритм здесь будет выглядеть так. Сначала находят коэффициенты

(2.45)



Затем определяют коэффициенты  по следующим рекуррентным формулам:



(2.46)



Обратный ход начинается с нахождения :



(2.47)



После этого находим по формулам:



, (2.48)

. (2.49)

Относительно схемы (2.44) можно также доказать, что она имеет единственное решение при



и ,



и это решение может быть найдено описанным методом прогонки. Кроме того, для схемы (2.44) имеет место



Теорема

Пусть решение граничной задачи (2.24), (2.25) единственно и непрерывно дифференцируемо на [a, b] до четвертого порядка точности включительно. Если выполняются условия

, , 



то схема (2.44) будет равномерно сходиться к решению задачи (2.24), (2.25) с погрешностью .



Заметим, что условия, приводимые в теоремах, являются достаточными, а отнюдь не необходимыми. Поэтому в практике численных расчетов нарушение этих условий обычно не вызывает заметного ухудшения расчетных схем.


1. Реферат Казахские ханства
2. Реферат на тему Выбор канала распространения рекламы
3. Курсовая Экономические, правовые и организационные процессы приватизации государственного имущества
4. Реферат на тему Vampires Essay Research Paper Vampires
5. Курсовая на тему Регистры и формы бухгалтерского уч та
6. Реферат Архівування файлів Методи архівування файлів за допомогою основних програм архваторів - опис
7. Контрольная работа Уголовный процес 2
8. Реферат на тему Hopewell Indian Culture Essay Research Paper The
9. Сочинение на тему Своеобразие авторского подхода к изображению героя в повести Очарованный странник
10. Реферат на тему Stretching Essay Research Paper Today millions of