Для отображения основной тенденции развития явления во времени применяют следующие функции:
Ø    Полиномы степени
Ø    Экспоненты
Ø    Логистические кривые
Полиномы

 
a_0,1,2,3,n – параметры полиномов
t - время
В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик ряда динамики.
а₁ трактуется как характеристика средних условий ряда динамики. а_1,2,3 как изменение ускорения.
В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней рядов. Согласно правилу:
Полином I степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамики, где первые разности (абсолютные приросты) постоянны.
Полином II степени применяется для отрицательного ряда динамики с постоянными 2-ми разностями (ускорениями)
Полином Ш степени применяется для ряда динамики с постоянными 3-ими разностями (темпы роста)
После выбора вида уравнения необходимо определить параметры уравнения. Самый распространенный способ определения параметров уравнения – это метод наименьших квадратов. Согласно этому методу надо составить систему нормальных уравнений
     полином I степени
При ручной обработке для упрощения счета при выравнивании динамического ряда условное обозначение временных точек t можно ввести так чтоб сумма t=0 (St=0)

При выравнивании по параболе 2-ого порядка, если St=0, то система имеет следующий вид:

Выравнивание по аналитическим формулам может быть использована при прогнозировании отдельных показателей путем экстраполяции ряда – нахождение уровней за пределами данного ряда. При прогнозировании социально-экономических явлений применение полиномов высоких степеней затруднительно, т.к.:
Требуется учет многих факторных параметров
Требуется длинный ряд показателей прошлых периодов (не менее 20) характеризующихся теми же факторными признаками. Сбор такой первичной информации возможен только в условиях стабильной экономики за длинный период. При этом высока вероятность того, что теоретические расчетные значения прогнозных показателей не будут соответствовать практическим, поэтому полиномы высоких степеней могут применяться лишь для краткосрочного прогнозирования.
Полином II степени предполагает наличие перелома тенденции, т.к. графически он представляется параболой.

Тема: Индексный метод в статистике

Индекс (от лат.) – указатель, показатель
В статистике, индекс – это относительный показатель, который характеризует соотношение явлений во времени в пространстве и по сравнению с планом
Индексы делятся на :
индивидуальные
общие (сводные, агрегатные)
В целом индексный метод направлен на решение следующих задач:
Характеристика общего изменения уровня сложного социально-экономического явления
анализ влияния каждого из факторов на изменения индексируемой величины путем элиминирования воздействия прочих факторов
анализ влияния структурных сдвигов на изменение индексируемой величины
Индексный метод использует принятые символы, для обозначения индексируемой величины:
i – индивидуальный индекс
I – общий (сводный, агрегатный0 индекс
p – цена
q – количество, объем
pq – количество, объем в стоимостном выражении (объем товарооборота)
z – себестоимость
zq – объем затрат на производство
r – урожайность
s – посевные площади
rs – валовый сбор с/х культур
1 – текущий или сравниваемый отчетный период
0 – базисный период
Индексный метод использует цепной и базисный метод расчета. Т.е. база сравнения м.б. выбрана как постоянная (1 уровень ряда, 0 или как переменная (цепной метод) за базу сравнения принимается предыдущий уровень
Индивидуальный индекс – характеризует изменения во времени экономических величин относящихся к одному объекту
Правила:
всегда индексируемая величина берется в текущем периоде, в знаменателе в базисном периоде
Текущий период всегда более поздний
в сложных показателях (величина, по которой взвешивается индексируемая величина) фиксируется в одном периоде либо в базисном, либо в текущем.
 - индивидуальный индекс цены
- индивидуальный индекс объема
- индивидуальный индекс урожайности
- индивидуальный индекс товарооборота
Общие индексы применяются, когда исследуется не единичные объекты, а состоящие из нескольких элементов совокупности
При расчете агрегатного индекса для разнородной совокупности находят такой общих показатель, в котором можно объединить все элементы


Агрегатный индекс количества или объема
Цена всегда фиксируется в базисном периоде

Сводный индекс цен по товарной группе рассчитывают двумя способами:
I способ по методу Ласпейреса
II способ по методу Поаше
По методу Ласпейраса структура потребления товаров и услуг фиксируется в базисном периоде

Обычно этот метод применяют для определения индекса потребительских цен
По методу Паоше структура потребления фиксируется в текущем периоде

Применяется для определения динамики общего уровня цен
Взаимосвязь индексов
 
Группа индексов для анализа затрат на производство и себестоимость
I_z – применяется для определения общего изменения уровня себестоимости нескольких видов продукции выпускаемой предприятием
При этом себестоимость взвешивается по объему производства отдельных видах продукции в текущем периоде

Экономия затрат (или сумма перерасхода) от изменения себестоимости рассчитывается как разность числителя и знаменателя


Индекс физического объема продукции взвешенный по себестоимости базисного периода

Индекс затрат на производство

Общее изменение затрат на производство

Взаимосвязь между индексами

Индексный метод, применяемый в статистике сельского хозяйства
Индекс валового сбора с/х культур может быть получен через индекс урожайности и индекс посевных площадей
Индекс посевных площадей

Индекс урожайности взвешивается по посевным площадям текущего периода


Индекс валового сбора

Абсолютный прирост валового сбора

Среднеарифметический индекс цен
 - по методу Ласпейраса
 - по методу Паоше
Среднегармонический индекс цен
 - по методу Ласпейраса
 - по методу Паоше

Тема: Системы индексов

Индексы могут использоваться для динамики социально-экономических явлений за ряд последовательных периодов. В этом случае для достижения сопоставимости они должны рассчитываться по единой схеме – системе индексов.
В зависимости от информационной базы и цели исследования система может строиться в четырех вариантах. Рассмотрим на примере сводного индекса цен за n периодов.
Система А: цепные индексы цен с переменными весами

      

Система Б: цепные индексы с постоянными весами

       

Система В: базисные индексы цен с переменными весами

      

Система Г: базисные индексы цен с постоянными весами

      

Индексы системы Б по своей природе мультипликативные, т.е. последовательное произведение этих индексов к сводному индексу цен за весь рассматриваемый период(система Г)
Индексы постоянного и переменного состава
Индексы постоянного и переменного состава используют при анализе динамики средних уровней. Если товар реализуется в нескольких точках, мы можем сравнить средний объем товарооборота или сравнить средние цены за разные периоды с учетом структуры продаж этих периодов

 - средняя цена текущего периода
 - средняя цена базисного периода
 - индекс средней цены
- индекс переменного состава, так как учитывая структуру продаж двух периодов. Но изменение средних цен может быть как за счет изменения цен, так и за счет изменения структурных продаж. Влияние фактора структуры можно определить с помощью индекса структурных сдвигов, зафиксировав цен в базисном периоде:
 - индекс структурных сдвигов
Первая часть формулы позволяет ответить на вопрос: «Какой была средняя цена в текущем периоде, если бы цены остались базисными?». Вторая часть формулы отражает фактическую среднюю цену. Индекс структуры показывает, в какой степени изменения средней величины индексируемого показателя произошло за счет изменения структуры состава совокупности.
Последним в данной системе является индекс цен фиксированного состава, который не учитывает влияния структуры, фиксируя веса, как правило, в текущем периоде.


Взаимосвязь индексов этой группы

Тема: Изучение взаимосвязи социально-экономических явлений

Социально-экономические явления представляют собой результат воздействия большого числа причин (факторов)
Признаки делят на:
факторные
результативные
Связь м/у факторными и результативными признаками может быть:
функциональной, при которой каждому значению факторного признака соответствует одно значение результативного признака
стохастической, когда причинная зависимость проявляется не в каждом отдельном случае, а в общем среднем при большом числе наблюдений. Частным случаем является корреляционная связь при которой изменение среднего значения результативного признака обусловлено изменением факторных признаков.
Связи м/у явлениями и их признаками классифицируются по степени тесноты, направлению и аналитическому выражению
По степени тесноты различают количественные оценки тесноты связи

Величина коэффициента корреляции	Характер связи
До +/- 0,3	Практически отсутствует
+/- 0,3 – +/-0,5	Слабая
+/- 0,5 – +/-0,7	Умеренная
+/-0,7 – +/-1	сильная

По направлению связь бывает:
прямая (+)
обратная (-)
По аналитическому выражению:
Прямолинейная (линейная)

Нелинейная (криволинейная)
- парабола
  - гипербола
Для выявления количества связей, ее характера и направления в статистике используют следующие методы:
1.                Метод приведения параллельных данных

x	1	2	3	4	5
y	-1	-2	-3	-4	-5

2.                метод аналитических группировок
3.                Графический метод
 SHAPE  \* MERGEFORMAT
4.                Метод корреляции
Корреляция – статистическая зависимость м/у случайными величинами не имеющая строгофункционального характера, при котором изменение одного из случайных величин приводит к изменению математического ожидания другой.
В статистике различают следующие варианты зависимости:
Ø    Парная корреляция – связь м/у двумя признаками (результативным и факторным, или двумя факторными)
Ø    Частная корреляция – зависимость м/у результативным и одним факторным признаком, при фиксированном значении других факторных признаков
Ø    Множественная корреляция зависимость результативного и 2-х и более факторных признаков включенных в исследование
Корреляционный анализ имеет задачи:
1.                отыскание математической формулы, которая выражала бы зависимость y от x
2.                измерение тесноты такой зависимости
Решение 1 задачи осуществляется в регрессионном анализе и нахождении уравнения регрессии (уравнение связи)
Параметры для всех уравнений связи определяют из системы нормальных уравнений, отвечающих требованию метода наименьших квадратов

Система нормальных уравнений при линейной зависимости


а₀ – параметр, выражающий суммарное влияние всех неучтенных факторов
а₁ – коэффициент выражающий усредненное влияние фактора х на результат у
Если связь выражена параболой второго порядка , то система нормальных уравнений для отыскания параметров а₀, а₁ и а₂ выражается следующим образом

Измерение тесноты связи для всех форм связи может быть решена с помощью исчисления теоретического корреляционного отношения (ŋ)

Где
 - факторная дисперсия
 - дисперсия фактического значения признака
d - средний квадрат отклонений расчетных значений результативного признака от средней фактической результативного признака. Т.к. d² отражает вариацию в ряду только за счет вариации фактора х, а дисперсия s² отражает вариацию у за счет факторов то их отношение, именуемое теоретическим коэффициентом детерминации, показывает какой удельный вес в общей дисперсии ряда у занимает дисперсия, вызываемая вариацией фактора х. Квадратный корень из отношения этих дисперсий дает нам теоретическое корреляционное отношение.
Если d²=s² то это означает, что роль других факторов в вариации сведена на нет. И отношение , означает полную зависимость вариации у от х.
Если d²=0, значит вариация х никак не влияет на вариацию у и ŋ=0
Т.о. корреляционное отношение может быть от 0 до 1.
В случае линейной зависимости
 - линейный коэффициент корреляции

В случае небольшого числа наблюдений n очень важно оценить надежность (значимость) коэффициента корреляции. Для этого определяют среднюю ошибку коэффициента корреляции по следующей формуле:

Где n-2 – число степеней свободы при линейной зависимости, затем находят отношение коэффициента корреляции к его средней ошибке
, которое сравнивается с табличным значением t-критерия Стьюдента. Если t фактического (расчетное) больше t табличного, то линейный коэффициент корреляции r считается значимым, а связь м/у х и у реальной.

Тема: Статистическое изучение взаимосвязи

Для измерения тесноты зависимости используют также ранговые коэффициенты корреляции (коэффициент корреляции рангов). Коррелируются не сами значения показателей х и у, а их ранги, т.е. номера их мест занимаемых в каждом ряду значений по возрастанию или убыванию. Обозначаются ранги R или N.
Коэффициент корреляции рангов Спирмена

Где:
 - разность рангов каждой пары значений х и у
N – число наблюдений
Коэффициент корреляции Кендэна

Порядок расчета этих показателей
1 шаг
Значения х и у ранжируются, т.е. определяется N_x и N_y
2 шаг
Значения N_x записываются строго в порядке возрастания или убывания
3 шаг
Ранги второго показателя N_y располагаются в порядке соответствующем значению х в исходном порядке
4 шаг
Для каждого значения N_х подсчитывается число следующих за ним рангов более высокого порядка. Общая сумма таких случаев правильного следования учитывается для всех рангов как баллы со знаком «+» и обозначаются Р
5 шаг
Аналогично для каждого значения N_y последовательно подсчитывается число следующих за ним рангов меньших по значению. Общая сумма таких случаев (инверсий) учитывается как баллы со знаком «-» и обозначаются Q
6 шаг
Определяется общая сумма баллов, которая обозначается S=P+Q
7 шаг
Полученная сумма S сопоставляется с максимумом, который равен  , в случае если в обоих рядах ранги следуют строго последовательно от 1 до n.
Между коэффициентом Кендэна и Спирмена есть численное соотношение

Интерпретация значений ранговых коэффициентов корреляции аналогична любым другим, т.е. чем ближе ρ и τ к 1, тем теснее зависимость, близость к 0 – отсутствие связи
Частный случай
Если ранги повторяются, т.е. признаки имеют повторяющиеся значения. При ранжировании повторяющимся значениям присваивается ранг, рассчитанный как среднее арифметическое из суммы мест, которое они занимают по возрастанию
Коэффициент конкордации
Корреляция рангов R может использоваться не только для двух, но и для большего числа показателей, факторов. Исчисляемый для этой цели показатель называется коэффициентом конкордации (W)