Лекция на тему Операторный метод анализа переходных колебаний
Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-12-16Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Академия России
Кафедра Физики
Лекция:
«ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях»
2. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
3. Операторные схемы замещения реактивных элементов при ненулевых начальных условиях
4. Библиографический список
1. Основные свойства преобразования Лапласа
Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:
.
Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции 
или ее 
-изображением и обозначают:
.
Отыскание -изображения заданной функции называется прямым преобразованием Лапласа, а нахождение по известному 
– обратным преобразованием Лапласа.
Основные свойства и правила этих преобразований:
Свойство единственности. Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.
Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:
– оригинал; 
– изображение.
Преобразование операции дифференцирования. Если оригинал представляет производную от некоторой функции
,
то его изображение имеет вид: 
.
При нулевых начальных условиях (ННУ) 
и 
, т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение его изображения на оператор 
(при ННУ).
Преобразование операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:
,
то его изображение имеет вид: 
, т. е. интегрированию оригинала соответствует деление его изображения на оператор .
Теорема запаздывания (оригинала). Если 
, то 
, где 
— время запаздывания, т. е. запаздыванию оригинала на время соответствует умножение его изображения на экспоненциальный множитель 
.
Теорема смещения (изображения). Если 
, то 
, т. е. умножению оригинала на экспоненциальный множитель 
соответствует смещение его изображения на величину 
.
Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.
Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.
2. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для -изображений колебаний формально верны законы Кирхгофа и Ома.
Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:
Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:
,
и следовательно, алгебраическая сумма -изображений токов в любом узле цепи равна нулю. Аналогично доказывается справедливость второго закона Кирхгофа для операторных напряжений в контуре:
.
При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).
Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.
Элемент резистивного сопротивления.
– операторное резистивное сопротивление,
– резистивная операторная проводимость.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.
Элемент индуктивности.
– операторное индуктивное сопротивление,
– операторная индуктивная проводимость.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока.
Элемент емкости.
– операторное емкостное сопротивление,
– операторная емкостная проводимость.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока.
Выражения
представляют закон Ома в операторной форме.
Выводы:
– законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях;
– все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме;
3. Операторные схемы замещения реактивных элементов при ненулевых начальных условиях
Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:
.
Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1.
SHAPE \* MERGEFORMAT
Кафедра Физики
Лекция:
«ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА переходных КОЛЕБАНИЙ в электрических цепях»
Орел 2009
Содержание
1. Основные свойства преобразования Лапласа2. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
3. Операторные схемы замещения реактивных элементов при ненулевых начальных условиях
4. Библиографический список
1. Основные свойства преобразования Лапласа
Нахождение изображений функции времени (равно как и обратные переходы от изображений к оригиналу) выполняются с помощью специальных интегральных преобразований, приводимых в курсе высшей математики. В настоящее время в большей части современной технической литературы операторные методы связывают с применением преобразования Лапласа, в основе которого лежит соотношение:
Важно отметить, что функции, описывающие реально возможные воздействия и соответствующие им реакции, всегда преобразуемы по Лапласу. Полученную в результате такого преобразования функцию называют иногда лапласовым изображением функции
Отыскание
Основные свойства и правила этих преобразований:
Свойство единственности. Каждому оригиналу (исходной функции) соответствует единственное изображение и наоборот, каждому изображению соответствует единственный оригинал.
Свойство линейности. Линейной комбинации оригиналов соответствует такая же линейная комбинация изображений:
Преобразование операции дифференцирования. Если оригинал
то его изображение имеет вид:
При нулевых начальных условиях (ННУ)
Преобразование операции интегрирования. Если оригинал представляет от некоторой функции интеграл:
то его изображение имеет вид:
Теорема запаздывания (оригинала). Если
Теорема смещения (изображения). Если
Решение задач прямого и обратного преобразований Лапласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается использовать справочные таблицы, которые содержат пары оригинал – изображение. Эти таблицы приводятся в справочниках.
Следует учесть, что при обратном преобразовании Лапласа полученные функции иногда не подходят под табличные. В этом случае используется разложение этой функции на простые дроби или в ряд с последующим применением обратного преобразования Лапласа.
2. Законы Кирхгофа и Ома в операторной форме
Возможность существенного упрощения решения задачи анализа колебаний в электрических цепях операторным методом основывается на том, что для
Действительно, согласно первому закону Кирхгофа:
Если обе части этого равенства подвергнуть преобразованию Лапласа, то оно переходит в равенство:
и следовательно, алгебраическая сумма
При выводе закона Ома в операторной форме будем полагать, что реактивные элементы находятся при ННУ (конденсатор разряжен, через катушку индуктивности не протекает ток).
Рассмотрим соотношения в элементах электрических цепей.
Элемент резистивного сопротивления.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| R |
| i |
| R |
| u |
| R |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| R |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| R |
| ( |
| ) |
| p |
| Z |
| R |
| R |
| = |
| R |
| i |
| u |
| R |
| R |
| = |
| ( |
| ) |
| ( |
| ) |
| ( |
| ) |
| p |
| Z |
| p |
| I |
| p |
| U |
| R |
| R |
| R |
| × |
| = |
| .=× |
| .=× |
Таким образом, операторное напряжение на резистивном сопротивлении равно произведению сопротивления на величину операторного тока.
Элемент индуктивности.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| L |
| L |
| L |
| i |
| L |
| u |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| L |
| .=× |
| .=× |
| dt |
| Ldi |
| u |
| L |
| L |
| = |
| ( |
| ) |
| ( |
| ) |
| p |
| LpI |
| p |
| U |
| L |
| L |
| = |
Следовательно, операторное напряжение на индуктивности равно произведению операторного индуктивного сопротивления на величину операторного тока.
Элемент емкости.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| С |
| С |
| .=× |
| .=× |
| C |
| i |
| C |
| u |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| C |
| dt |
| Cdu |
| i |
| C |
| C |
| = |
| ( |
| ) |
| ( |
| ) |
| p |
| CpU |
| p |
| I |
| C |
| C |
| = |
Операторное напряжение на емкости равно произведению операторного емкостного сопротивления на величину операторного тока.
Выражения
представляют закон Ома в операторной форме.
Выводы:
– законы Кирхгофа и Ома справедливы и в операторной форме, причем закон Ома справедлив только при нулевых начальных условиях;
– все ранее изученные методы анализа электрических цепей (метод контурных токов, метод узловых напряжений, метод эквивалентного генератора и др.) справедливы и в операторной форме;
3. Операторные схемы замещения реактивных элементов при ненулевых начальных условиях
Часто коммутация осуществляется в момент времени, когда реактивные элементы обладают энергией. В этом случае они находятся при ненулевых начальных условиях и к ним нельзя применить закон Ома в операторной форме. Для устранения этого препятствия используют прием, суть которого состоит в том, что физически один реактивный элемент искусственно заменяют двумя: операторным источником, отражающим энергию реактивного элемента на момент коммутации, и самим реактивным элементом, но находящимся теперь уже при нулевых начальных условиях. Такое изображение называется схемой замещения. Ее можно получить, используя свойства преобразования Лапласа:
Так, для индуктивности с током схемы замещения имеют вид, показанный на рисунке 1.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| .=× |
| L |
| ( |
| ) |
| L |
| I |
| L |
| 0 |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| LpI |
| L |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| L |
| 0 |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| L |
| ( |
| ) |
| pL |
| p |
| U |
| L |
| ( |
| ) |
| t |
| i |
| L |
| ( |
| ) |
| t |
| u |
| L |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| L |
а) б) в)
Рис. 1
Они являются следствием преобразования следующих выражений:
Здесь следует иметь в виду два обстоятельства: направление операторного тока должно совпадать с направлением тока через индуктивность в момент непосредственно предшествующий коммутации и второе, что реально существует один элемент, поэтому операторный ток через индуктивность в схеме замещения определяется в общей ветви (рис. 1б).
Заряженная емкость отображается схемами замещения, показанными на рисунке 2б, в.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| С |
| ( |
| ) |
| t |
| i |
| C |
| ( |
| ) |
| t |
| u |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| C |
| 0 |
| ( |
| ) |
| pC |
| p |
| I |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| C |
| .=× |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| CpU |
| C |
| ( |
| ) |
| 0 |
| C |
| CI |
| 1 |
| 1¢ |
| 1 |
| 1 |
| 1¢ |
| 1¢ |
а) б) в)
Рис. 2
Они являются следствием преобразования следующих выражений:
Здесь напряжение операторного источника совпадает с напряжением на емкости до коммутации, а операторное напряжение на емкости определяется между зажимами 1 – 1¢.
Применение операторных схем замещения реактивных элементов, находящихся при ненулевых начальных условиях, дает возможность применять закон Ома в операторной форме, что широко используется на практике и, в частности, при рассмотрении свободных колебаний в электрических цепях. Известно, что такие колебания возникают за счет энергии, запасенной реактивными элементами при отключении внешних источников. Следует иметь в виду, что указанная коммутация может осуществляться как путем механического отключения, так и путем гашения источников. В последнем случае источник напряжения заменяется коротким замыканием, а источник тока – обрывом.
При решении задач приходится осуществлять переход от обычной к операторной схеме. Если реактивные элементы находятся при ННУ, то такой переход не вызывает особых затруднений. Например, на рисунке 3, а показана исходная схема, а на рисунке 3, б – эквивалентная ей операторная.
SHAPE \* MERGEFORMAT
| L |
| 1 |
| R |
| 2 |
| R |
| С |
| E |
| .=× |
| ` |
| pL |
| 1 |
| R |
| 2 |
| R |
| pC |
| 1 |
| ( |
| ) |
| p |
| E |
| p |
| E |
| = |
а) б)
Рис. 3
Если же реактивные элементы находятся при ненулевых начальных условиях, то в операторной схеме они должны быть отображены схемами замещения.
Пример.
Пусть в цепи, изображенной на рисунке 4 в момент
SHAPE \* MERGEFORMAT
| 0 |
| I |
| R |
| R |
| R |
| С |
| L |
| K |
| ( |
| ) |
| t |
| u |
Рис. 4
Так как реактивные элементы в данном случае находятся при ненулевых начальных условиях, то предварительно следует определить
SHAPE \* MERGEFORMAT
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| 0 |
| R |
| R |
| С |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| U |
| C |
| ( |
| ) |
| p |
| I |
| L |
| ( |
| ) |
| p |
| E |
| C |
Рис. 5
Видно, что
Таким образом
SHAPE \* MERGEFORMAT
| 0 |
| I |
| R |
| R |
| R |
| С |
| L |
| ( |
| ) |
| 0 |
| C |
| u |
| ( |
| ) |
| 0 |
| L |
| i |
Рис. 6
Далее находится требуемая реакция в операторной форме, а затем осуществляется переход в область реального времени.
Вывод: нахождение реакций при ненулевых начальных условиях требует применения схем замещения в операторной форме и является более сложной задачей, чем при ННУ.
Библиографический список
1. Белецкий А.Ф. ТЛЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1986. С. 218 – 226.2. Шалашов Г.В. Переходные процессы в электрических цепях. –с. 7 – 20.
3. Бакалов В.П. ТЭЦ: учебник для вузов. – М.: Радио и связь, 1998 г. с. 169 – 180.
