Лекция 3
Изоморфизмы и гомоморфизмыОпределение Пусть
и
две группы и
некоторое отображение.
называется изоморфизмом, а группы
и
- изоморфными (однотипными), если
1.
- взаимно однозначно и
2.

.
Изоморфизм групп
и
обозначается символом

.
Если выполнено только условие 2. , то отображение
называется гомоморфизмом (подобием).
Примеры 1. Пусть группы
и
заданы таблицами умножения:
и
Отображение
является изоморфизмом. ( При всяком изоморфизме просто меняются обозначения элементов. “Внутренняя структура” группы остается неизменной).
2. Пусть

=
Z (группа целых чисел с операцией сложения),
- группа из предыдущего примера. Положим:

(2n)=p;

(2n+1)=q.
Тогда
- гомоморфизм.
3. Пусть H - нормальная подгруппа в G и G/H соответствующая факторгруппа. Напомним, что ее элементами являются всевозможные смежные классы x*H, где

. Определим отображение
формулой:

(x)=x*H.
Поскольку смежные классы перемножаются по формуле (x*H)*(y*H)= (x*y)*H, отображение
является гомоморфизмом. Оно называется
естественным гомоморфизмом группы на факторгруппу.
Простейшие свойства гомоморфизмов групп. Пусть
- гомоморфизм. Тогда:
1.
2. 
.
3. Если
-подгруппа, то
-подгруппа в

.
4. Если
- (нормальная) подгруппа, то
- (нормальная) подгруппа в

.
Доказательство 1. Пусть

- любой элемент. Тогда
и по признаку нейтрального элемента

.
2. Имеем:

. По признаку обратного элемента получаем:

.
3. Применим признак подгруппы:
4. Пусть
- подгруппа.

- элементы из

, то есть

и
входят в К. Тогда
и потому

. Значит,
- подгруппа

. Пусть теперь К - нормальная подгруппа и
- любой элемент. Тогда
и значит

. Аналогично,

.
Поскольку

, то и

, то есть подгруппа
нормальна в

.
Замечание Образ нормальной подгруппы не всегда
нормален.
Из доказанной теоремы следует
в частности, что для всякого гомоморфизма
подгруппа в

. Она называется образом гомоморфизма
и обозначается Im

. Точно также,
- подгруппа в

, причем нормальная, поскольку тривиальная подгруппа {e} нормальна в любой группе. Она называется ядром гомоморфизма
и обозначается Ker

.
Инъективные и сюръективные гомоморфизмы. Напомним, что отображение

называется инъективным, если оно переводит различные элементы из X в различные элементы Y и сюръективным, если его образ совпадает со всем Y. Например, естественный гомоморфизм группы на подгруппу сюръективен. Из определения сразу следует, что гомоморфизм
cюръективен тогда и только тогда, когда Im

.
Критерий инъективности гомоморфизма групп Гомоморфизм групп
инъективен тогда и только тогда, когда Ker
={

}.
Доказательство Поскольку

,
и значит, если
инъективно в ядре не может быть других элементов и таким образом Ker
={e}. Обратно, пусть ядро
состоит только из нейтрального элемента и x и y - два таких элемента

, что

. Тогда
и значит
и потому равно
. Отсюда получаем x=y и
инъективно.
Следствие
Если Ker

= {e}, то
изоморфно отображает
на подгруппу Im

.
Теорема Кэли Всякая конечная группа порядка n изоморфна подгруппе группы перестановок из n элементов.
Доказательство Пусть G={

}- группа порядка n. Составим для нее таблицу Кэли.
В i-ой строке этой таблицы выписаны элементы

, которые только порядком следования отличаются от первоначального набора элементов группы. Обозначим полученную перестановку

. Определим отображение
по формуле

. Как нам известно, произведению элементов группы G отвечает композиция перестановок, то есть
-гомоморфизм.
Если

, то, в частности,
и значит

. Таким образом,
Ker
тривиально и

определяет изоморфизм между G и подгруппой Im
в

.
Теорема о гомоморфизме для групп Пусть
сюръективный гомоморфизм. Тогда факторгруппа
изоморфна

. Если эти изоморфные группы отождествить, то
превращается в естественный гомоморфизм

.
Доказательство Обозначим H=ker

. Следующим образом определим отображение

. Пусть С произвольный элемент
то есть некоторый смежный класс группы
по ее подгруппе H. Возьмем любой

.
Тогда
не зависит от выбора элемента x. В самом деле, если
любой другой элемент, то y=x*h, где
и значит,

. Положим:

. Используя правило перемножения смежных классов, получаем: Ф((x*H)*(y*H)) =Ф((x*y)*H)=
= Ф(x*H)

Ф(y*H), то есть построенное отображение - гомоморфизм. Если
любой элемент, то поскольку
сюръективно, найдется такой
, что

. Но тогда Ф(x*H)=

. Значит Ф - сюръективно. Если Ф(x*H)=

, то ф(x)=

,
и потому x*H=H=

. Это доказывает, что Ker Ф=е и значит Ф - инъективно и, следовательно, является изоморфизмом. Поскольку

(x)= Ф(x*H), мы видим, что если считать изоморфизм Ф тождественным отображением ( то есть отождествить

и G/H), отображение
совпадет с естественным гомоморфизмом, переводящим x в x*H.
Следствие
Всякий гомоморфизм
определяет изоморфизм между факторгруппой
и подгруппой Im

.
Примеры
1. Пусть

={1, -1} с операцией умножения. Определим гомоморфизм

), сопоставляя каждой четной перестановке число 1, а нечетной - число (-1). Тогда Ker
- подгруппа четных перестановок. Очевидно, что при n>1
сюръективно. По теореме о гомоморфизме
-нормальная подгруппа в
и

.
2. Отображение

(А)=det(A) является сюръективным гомоморфизмом группы GL(n,
R) всех невырожденных матриц порядка n
в группу
не равных нулю чисел с операцией умножения. При этом Ker

= SL(n,
R) -подгруппа матриц с определителем 1. Значит
эта подгруппа нормальна и GL(n,
R) /SL(n,
R)

.