Лекция №7
Ряды Динамики.

Установление вида ряда динамики.

Основная цель статистического изучения динамики коммерческой деятельности состоит  в выявлении и измерении закономерностей их развития во времени. Это достигается посредством построения и анализа статистических рядов динамики.

Рядами динамики называются  статистические  данные,  отображающие развитие изучаемого явления во времени. В каждом ряду динамики имеются два основных элемента: показатель времени t; соответствующие им уровни развития изучаемого явления у. В качестве  показаний времени в рядах динамики выступают либо определенные даты (моменты) времени, либо отдельные периоды (годы, кварталы, месяцы, сутки).

Уровни рядов динамики  отображают  количественную  оценку  (меру) развития во времени изучаемого явления.  Они могут выражаться абсолютными, относительными или средними величинами.

В зависимости  от характера изучаемого явления уровни рядов динамики могут относиться или к определенным датам (моментам) времени, или к отдельным периодам.  В соответствии с этим, ряды динамики подразделяются на моментные и интервальные.

Моментные ряды динамики отображают состояние изучаемых явлений на определенные даты (моменты) времени.

Примером моментного ряда динамики является следующая информация о списочной численности работников фирмы N в 1994 г.:

Дата	1.01	1.04	1.07	1.10	1.01
Год	1994 г.	1994 г.	1994 г.	1994 г.	1995 г.
Число работников, чел.	192	190	195	198	200

Особенностью моментного  ряда  динамики  является  то,  что в его уровни могут входить одни и те же единицы изучаемой совокупности. Так, основная часть  персонала фирмы N,  составляющая списочную численность на 1.01.1994г., продолжающая работать в течение данного года, отображена в уровнях последующих периодов.  Поэтому при суммировании уровней моментного ряда динамики может возникнуть повторный счет.

Интервальные ряды  динамики отображают итоги развития (функционирования) изучаемых явлений за отдельные периоды (интервалы) времени.

Примером интервального  ряда динамики могут служить данные о розничном товарообороте магазина в 1990-1994 гг.:

Год	1990	1991	1992	1993	1994
Объем розничного товарооборота, тыс. руб.	885,7	932,6	980,1	1028,7	1088,4

Особенностью интервального ряда динамики является то,  что каждый его уровень  складывается из данных за более короткие интервалы времени. Например, суммируя товарооборот за первые три месяца года, получают его объем за I квартал, а сумма товарооборота четырех кварталов дает объем товарооборота за год и т.д.
Ряды динамики могут быть полными и неполными.

Полный ряд - ряд динамики,  в котором одноименные моменты времени или периоды времени строго следуют один за другим в календарном порядке или равноотстоят друг от друга.

Неполный ряд динамики - ряд, в котором уровни зафиксированы в неравноотстоящие моменты или периоды времени.

Пример.

Численность населения СССР характеризуется данными  переписей, млн. чел.:
 1939   1959   1970   1979    неполный моментный ряд

 170,6  208,8  241,7  262, 4   абсолютных величин
Пример.

Производство электроэнергии  характеризуется  следующими данными, млрд. кВт-ч.:

  1930   1940   1950   1960     полный интервальный ряд

   48,6   91,2   292,3  740,9     абсолютных величин
Приведение рядов динамики в сопоставимый вид.
Ряды динамики,  изучающие изменение  статистического  показателя, могут охватывать  значительный период времени,  на протяжении которого могут происходить события, нарушающие сопоставимость отдельных уровней ряда динамики  (изменение методологии учета,  изменение цен и т.д.).

Для того, чтобы анализ ряда был объективен, необходимо учитывать события, приводящие  к несопоставимости уровней ряда и использовать приемы обработки рядов для приведения их в сопоставимый вид.

Наиболее характерные случаи несопоставимости уровней ряда динамики:

Территориальные изменения объекта исследования, к которому относится изучаемый показатель (изменение границ городского района,  пересмотр административного деления области и т.д.).

Разновеликие интервалы времени,  к которым  относится  показатель. Так,  например, в феврале - 28 дней, в марте - 31 день, анализируя изменения показателя по месяцам,  необходимо учитывать  разницу  в количестве дней.

Изменение даты учета. Например, численность поголовья скота в разные годы  могла  определяться по состоянию на 1 января или на 1 октября, что в данном случае приводит к несопоставимости.

Изменение методологии учета или расчета показателя.

Изменение цен.

Изменение единиц измерения.

Пример.

Динамика изменения численности населения района области по состоянию на 1 января (в тыс. человек) представлена рядом динамики:
1982   1983   1984

22,0   22,3   22,8 - в старых границах района.

В 1984 году произошло изменение административного деления области, и площадь района увеличилась, соответственно увеличилась и численность населения района:

  1985   1986   1987

   34,2   34,3   34,4 - в новых границах района.

Для приведения ряда в сопоставимый вид необходимо для  1984  года знать численность населения в старых и новых границах района для определения коэффициента пересчета:



Все уровни ряда,  предшествующие 1984 году, умножаются на коэффициент К и ряд принимает вид:

  1982   1983   1984   1985   1986   1987

   33,0    33,3   34,2    34,2    34,3   34,4

После этого преобразования ряда динамики возможен дальнейший анализ ряда (определение темпов роста и др.).
Определение среднего уровня ряда динамики.
В качестве обобщенной характеристики уровней ряда динамики служит средний уровень ряда динамики . В зависимости от типа ряда динамики используются различные расчетные формулы.

Интервальный ряд абсолютных величин с равными  периодами  (интервалами времени):


Моментный ряд с равными интервалами между датами:



Моментный ряд с неравными интервалами между датами:



где  -  уровни ряда,  сохраняющиеся без изменения на протяжении интервала времени .
 Показатели изменения уровней ряда динамики.

Одним из важнейших направлений анализа  рядов  динамики  является изучение особенностей развития явления за отдельные периоды времени.

С этой целью для динамических рядов рассчитывают ряд показателей:

К - темпы роста;

 - абсолютные приросты;

 - темпы прироста.

Темп роста - относительный показатель,  получающийся в результате деления двух  уровней  одного  ряда  друг на друга.  Темпы роста могут рассчитываться как цепные,  когда каждый уровень ряда сопоставляется с предшествующим ему уровнем:  ,  либо как базисные, когда все уровни ряда сопоставляются с одним и тем же уровнем , выбранным за базу сравнения: . Темпы роста могут быть представлены в виде коэффициентов либо в виде процентов.
Абсолютный прирост - разность между двумя уровнями ряда динамики, имеет ту же размерность, что и уровни самого ряда динамики. Абсолютные приросты могут быть цепными и базисными,  в зависимости от способа выбора базы для сравнения:

цепной абсолютный прирост - ;

базисный абсолютный прирост - .

Для относительной  оценки абсолютных приростов рассчитываются показатели темпов прироста.

Темп прироста - относительный показатель, показывающий на сколько процентов один уровень ряда динамики больше (или меньше) другого, принимаемого за базу для сравнения.

Базисные темпы прироста: .

Цепные темпы прироста: .

  и   - абсолютный базисный или цепной прирост;

- уровень ряда динамики,  выбранный за базу для определения базисных абсолютных приростов;

  - уровень ряда динамики, выбранный за базу для определения i-го цепного абсолютного прироста.

Существует связь между темпами роста и прироста:

К = К - 1 или К = К - 100 %  (если темпы роста определены в  процентах).

Если разделить абсолютный прирост (цепной) на темп прироста (цепной) за соответствующий период, получим показатель, называемый - абсолютное значение одного процента прироста: .

Пример.

Выпуск продукции предприятия за 1985 — 1990 гг. характеризуются следующими данными (в сопоставимых ценах), млн. руб.:

1985	1986	1987	1988	1989	1990
23,3	24,9	26,6	27,6	29,0	32,2

Требуется произвести анализ динамики выпуска продукции предприятием за пять лет.

1. Определяем цепные и базисные темпы роста
(К).

Цепные:                                 Базисные:

               

               

                

                
                 
2. Определяем цепной и базисный абсолютный прирост
  ().

Цепные:                                 Базисные:

     

    

    

    

    
3. Определяем цепные и базисные темпы прироста
  ().

Цепные:                                 Базисные:

        

        

         

        

        
Проверим связь между темпами роста и прироста.

Цепные темпы прироста:







   и т.д.

Видим, что получаем такие же результаты.
Определение среднего абсолютного прироста,

средних темпов роста и прироста.

По показателям  изменения  уровней ряда динамики (абсолютные приросты, темпы роста и прироста), полученным в результате анализа исходного ряда,  могут быть рассчитаны обобщающие показатели в виде средних величин - средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.

Средний абсолютный прирост может быть получен по одной из формул:

 или ,

где n - число уровней ряда динамики;

 - первый уровень ряда динамики;

 - последний уровень ряда динамики;

 - цепные абсолютные приросты.

Средний темп роста можно определить, пользуясь формулами:







где n - число рассчитанных цепных или базисных темпов роста;

 - уровень ряда, принятый за базу для сравнения;

 - последний уровень ряда;

 - цепные темпы роста (в коэффициентах);

- первый базисный темп роста;

- последний базисный темп роста.
Между темпами прироста  и темпами роста К существует соотношение  = К - 1, аналогичное соотношение верно и для средних величин.

При переходе от месячных к годовым уровням можно установить, что тенденция роста очень незначительна.
Общий средний уровень ряда:

  — среднее число браков, заключаемых за один день.
Средний уровень января:

 — среднее число браков за один день января.

Аналогично рассчитывается средние уровни февраля, марта и т.д. Результаты расчётов сведены в таблицу:

Месяц
январь	5,74	104,2
февраль	6,45	117,1
март	5,27	95,6
апрель	5,4	88,0
май	4,63	84,0
июнь	5,01	91,0
июль	5,34	96,9
август	5,64	102,4
сентябрь	5,0	90,7
октябрь	5,39	97,8
ноябрь	6,13	111,3
декабрь	6,14	111,4

Полученные индексы сезонности дают оценку того, как в отдельные месяцы года количество заключённых браков отклоняется от среднего значения. Построенный по полученным индексам сезонности линейный график наглядно покажет сезонность рассматриваемого процесса.

2. Ряд динамики имеет общую тенденцию, и она определена либо методом скользящего среднего, либо методом аналитического выравнивания.

Индекс сезонности ,

где  — исходные уровни ряда:

 — уровни ряда, полученные в результате определения скользящих средних для тех же периодов времени, что и исходные уровни:

I — номер месяца или квартала, для которого определяется индекс сезонности:

n — число лет наблюдения за процессом.

В случае, если тенденция развития определялась методом аналитического выравнивания, расчетная формула получения индексов сезонности совершенно аналогична предыдущей, но вместо  — уровней, полученных методом скользящих средних, используются  — полученные методом аналитического выравнивания.

Пример.

На основе исходных данных о реализации сахара в продовольственных магазинах города в 1990 — 1992 гг. (т), определены скользящие средние по трем уровням ряда:

	1990		1991		1992
Месяц	Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни	Исходные уровни	Сглажен. уровни
январь	78,9	-------	108,6	106,2	129,1	131,3
февраль	78,1	81,0	107,9	107,8	128,6	129,5
март	86,0	87,2	106,8	115,4	130,7	137,4
апрель	97,5	88,9	132,1	117,3	152,8	141,1
май	83,3	88,9	113,0	119,0	139,8	146,7
июнь	86,0	86,6	111,8	116,4	147,4	150,3
июль	90,6	87,6	124,4	116,8	163,8	152,5
август	86,1	86,0	114,1	115,6	146,3	149,3
сентябрь	81,3	90,8	108,4	115,6	137,8	145,4
октябрь	105,1	94,5	124,0	117,0	152,2	144,4
ноябрь	97,2	101,5	118,0	126,2	143,2	150,6
декабрь	102,1	102,6	136,3	128,0	156,5	-------

На основе исходных и сглаженных уровней ряда строятся индексы сезонности:



Так для января:



Для февраля:



и т.д.
Индексы сезонности по месяцам сведены в таблицу:

Месяц	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
	100	98	96	110	95	98	106	96	93	107	95	103

Построив линейный график, можно увидеть закономерности изменения объёма продаж сахара по месяцам года.
Продолжение контрольной работы №2.

Задача №1.

Имеются следующие данные о реализации молочной продукции в магазинах города по месяцам с 1987 — 1990 г.г. (тыс.т.):

Месяц	1987	1988	1989	1990
январь	5,3	8,3	10,4	5,3
февраль	5,0	7,6	10,2	5,2
март	8,8	11,0	11,8	8,0
апрель	9,8	11,5	14,1	8,2
май	15,4	16,1	17,8	9,8
июнь	18,3	24,8	27,6	14,9
июль	17,1	23,8	25,0	11,8
август	15,4	19,4	19,8	10,3
сентябрь	12,9	15,7	17,4	8,0
октябрь	9,5	11,8	12,7	6,5
ноябрь	9,0	10,2	11,0	5,4
декабрь	7,5	10,1	8,6	5,6

Для изучения общей тенденции реализации данной продукции:

1) произведите преобразование исходных данных путём укрупнения периодов времени: а) в квартальные уровни, б) в годовые уровни;

2) нанесите на линейный график полученные квартальные уровни;

3) произведите сглаживание квартальных уровней с применением пятизвенной скользящей средней;

4) нанесите полученные при сглаживании данные на график с квартальными уровнями;

5) сделайте выводы о характере общей тенденции изучаемого явления.

Задача №2.

Имеются следующие данные о розничном товарообороте за 1984 — 1990 г.г. (тыс. руб.):

1984	1985	1986	1987	1988	1989	1990
483,5	500,7	546,1	570,2	580,7	590,1	611,2

Для изучения общей тенденции развития розничного товарооборота:

1) изобразите ряд динамики в виде линейного графика;

2) произведите аналитическое выравнивание уровней ряда по прямой и выразите общую тенденцию роста соответствующим математическим уравнением;

3) определите выровненные (теоретические) уровни ряда динамики и нанесите их на график с исходными (эмпирическими) данными;

4) сделайте выводы.

Задача №3.

Имеются следующие данные по городу о числе родившихся детей по месяцам 1986 — 1988 гг. (чел.):

Месяц	1986	1987	1988
январь	454	413	410
февраль	389	354	352
март	420	394	394
апрель	393	370	373
май	391	374	383
июнь	358	343	341
июль	363	347	351
август	357	350	346
сентябрь	345	336	333
октябрь	342	335	334
ноябрь	328	322	319
декабрь	315	316	310

Для анализа внутригодовой динамики:

1) определите индексы сезонности, считая, что в ряду динамики отсутствует тенденция развития;

2) представьте в виде линейного графика сезонную волну;

3) сделайте соответствующие выводы.