На основании выборочных данных вычислить:
1. По «способу моментов»:
а) среднее время, затрачиваемое на дорогу в институт;
б) среднее квадратическое отклонение.
2. Коэффициент вариации.
Задача № 1.6
Определить групповые дисперсии, среднюю из групповых дисперсий, межгрупповую и общую дисперсии по данным, приведенным в следующей таблице:
1.4. Контрольные вопросы
1. Необходимость измерения вариации признаков, от чего зависит ее размер.
2. Среднее линейное отклонение, размах вариаций и их недостатки как показателей вариации.
3. Среднее квадратическое отклонение, дисперсия и особенности расчета для несгруппированных и вариационных рядов распределения.
4. Цель расчет коэффициента вариации.
5. Основные свойства дисперсии.
6. Сущность упрощенного расчета дисперсии.
7. Дисперсия альтернативного признака.
8. Группы факторов, вызывающих вариацию признака.
9. Методы расчета общей, групповой и межгрупповой дисперсий. Правило сложения дисперсий, его практическое значение.
10. Смысл расчет эмпирического коэффициента детерминации и корреляционного отношения.
11. Характеристика форм распределения.
1.5. Тесты
1. Вариация – это:
   а) качественные изменения признака в пределах однородной совокупности, обусловленные влиянием различных факторов;
   б) различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени;
   в) изменение («колеблемость») величины либо значения признак при переходе от одной         единицы совокупности к другой;
   г) все ответы верны.
2. К абсолютным показателям вариации относят:
   а) размах вариации;
   б) коэффициент вариации;
   в) мода;
   г) среднее квадратическое отклонение;
   д) дисперсия.
3. К относительным показателям вариации относят:
   а) коэффициент интенсивности;
   б) коэффициент вариации;
   в) среднее линейное отклонение;
   г) среднее квадратическое отклонение;
   д) дисперсия.
4. Размах вариации представляет собой:
   а) разность между максимальным и минимальным значениями признака;
   б) разность между минимальным и максимальным значениями признака;
   в) сумма минимального и максимального значения признака;
   г) свой ответ.
5. Формула для расчета простой дисперсии для несгруппированных данных имеет вид ______.
6. Формула для расчета дисперсии для вариационного ряда имеет вид ________.
7. Корень квадратный из дисперсии – это:
   а) среднее линейное отклонение;
   б) среднее квадратическое отклонение;
   в) размах вариации;
   г) свой ответ.
8. Чем _______ значения дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее совокупность и тем более _____ будет средняя величина.
9. Коэффициент вариации применяют:
   а) для сравнения вариаций различных признаков;
   б) для характеристики однородности совокупности;
   в) для сравнения колеблемости одного и то же признака в нескольких неоднородных совокупностях;
   г) все ответы верны.
10. Коэффициент вариации представляет собой:
   а) выраженное абсолютным показателем отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;
   б) отношение среднего линейного отклонения к средней арифметической;
   в) выраженное в %  отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической;
   г) свой ответ.
11. Совокупность считается количественно однородной, а средняя типичной, если коэффициент вариации
   а) равен 33%;
   б) больше 44%;
   в) больше 33%;
   г) не превышает 33%.
12. Если все значение признака увеличить или уменьшить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого:
   а) увеличится или уменьшиться на величину А;
   б) предсказать нельзя;
   в) не изменится;
   г) нет верного ответа.
13. Распределение рабочих по заработной плате показано в следующей таблице:
Определить дисперсию по «способу моментов»:
   а) 10018;
   б) 5005;
   в) 10491;
   г) 2890.
14. Выделяют следующие виды дисперсий:
   а) общая;
   б) межгрупповая;
   в) хронологическая;
   г) линейная;
   д) внутригрупповая
15. Общая дисперсия измеряет ______________.
16. Отражает случайную вариацию:
   а) общая дисперсия;
   б) межгрупповая дисперсия;
   в) внутригрупповая дисперсия;
   г) средняя из внутригрупповых дисперсий.
17. Систематическую вариацию результативного признака характеризует:
   а) общая дисперсия;
   б) межгрупповая дисперсия;
   в) внутригрупповая дисперсия;
   г) средняя из внутригрупповых дисперсий.
18. Распределение рабочих по сменной выработке изделия А показано в следующей таблице:
Определить дисперсию по формуле для сгруппированных данных:
   а) 1900;
   б) 1700;
   в) 1600;
   г) свой ответ.
19. Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна:
   а) сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий;
   б) сумме внутригрупповых и межгрупповой дисперсий;
   в) сумме внутригрупповых дисперсий;
   г) свой ответ.
20. Долю вариации результативного признака Y под влиянием факторного признака X показывает:
    а) эмпирическое корреляционное отношение;
    б) эмпирический коэффициент детерминации;
    в) средняя из внутригрупповых дисперсий;
    г) коэффициент структуры.
21. Тесноту связи между группировочным и результативным признаками показывает:
    а) эмпирическое корреляционное отношение;
    б) эмпирический коэффициент детерминации;
    в) средняя из внутригрупповых дисперсий;
    г) коэффициент структуры;
22. Однородные совокупности характеризуются ___________ распределением:
   а) одновершинным;
   б) многовершинным;
   в) двухвершинным;
   г) свой ответ.
23. Для симметричного распределения имеет место следующее соотношение:
   а) Х равно Мо равно Ме;
   б) Х больше Мо больше Ме;
   в) Х меньше Мо меньше Ме;
   г) нет верного ответа.
24. Крутость вариационного ряда называют:
   а) ассиметрией;
   б) симметрией;
   в) эксцессом;
   г) свой ответ
25. Отрицательный знак показателя ассиметрии свидетельствует о:
   а) правосторонней ассиметрии;
   б) левосторонней ассиметрии;
   в) несущественности показателя ассиметрии;
   г) существенности показателя ассиметрии.
26. Особенности кривой нормального распределения:
   а) симметрична относительно центра распределения;
   б) эксцесс больше 0, ассиметрия больше 0;
   в) эксцесс равен 0, ассиметрия равна 0;
   г) в промежутке находится 60% всех значений признака;  - 70% всех значений признака;      - 90% всех значений признака;
   д)  в промежутке находится 68,3% всех значений признака;  -  95,4% всех значений признака;     - 99,7% всех значений признака.

2. ВЫБОРОЧНОЕ НАБЛЮДЕНИЕ
Выборочное наблюдение – это такое несплошное наблюдение, при котором отбор подлежащих обследованию единиц осуществляется в случайном порядке, отобранная часть изучается, а результаты распространяются на всю исходную совокупность. Наблюдение организуется таким образом, что эта часть отобранных единиц в уменьшенном масштабе репрезентирует (представляет) всю совокупность.
Для характеристики надежности выборочных показателей различают среднюю и предельную ошибки выборки.
2.1. Основные формулы
Средняя ошибка выборки при собственно случайном методе отбора ( ):
а) повторный отбор:
б) бесповторный отбор:
где n – численность выборочной совокупности;
       N – численность генеральной совокупности;
       s² – дисперсия средней или доли;
        процент выборки.
Дисперсия средней  находится с использованием формул, указанных в п. 5.
Дисперсия выборочной доли:
где  - доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности;
      m – единицы выборочной совокупности, обладающие данным признаком.
Предельная ошибка выборки ( D ):
где t – коэффициент кратности (доверия).
Доверительные интервалы:

а) для средней:				(2.5)
б) для доли:			(2.6)

Объем выборки при повторном отборе:

а) для средней			(2.7)
б) для доли:			(2.8)

Объем выборки при бесповторном отборе:

а) для средней				(2.9)
б) для доли:			(2.10)

2.2. Решение типовых задач
Задача № 2.1
В целях изучения затрат времени на изготовление детали рабочими завода проведена 10% случайная бесповторная выборка в результате которой получено данное распределение деталей по затратам времени, представлено в следующей таблице:
На основе этих данных вычислить:
1. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
2. С вероятностью 0.954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 мин.

Решение:
1. Определяем средние затраты времени на изготовление 1 детали для выборочной совокупности по формуле средней арифметической взвешенной:

Рассчитываем дисперсию для выборочной совокупности по формуле средневзвешенной для сгруппированных данных:

Так как выборка по условию задачи равна 10%, а n равно 100 шт., то N равно 1000 шт.Средняя ошибка выборки при бесповторном отборе рассчитывается по формуле:

Так вероятность равна 0,954, то коэффициент доверия t равен 2. Предельная ошибка выборки определяется по формуле:

Доверительные интервалы (пределы) средней рассчитываем, исходя из двойного неравенства:
;    
;       
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе лежат в границах от 12, 34 мин. до 13, 06 мин.
2. Определяем по выборочной совокупности долю деталей с затратами времени на их изготовление от 10 до 14 минут по формуле:

Тогда дисперсия выборочной доли равна:

Средняя ошибка выборки определяется по аналогичной формуле, что и для выборочной средней и равна:

Предельная ошибка выборки для доли и доверительные интервалы определяется по формула:

       .
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля деталей, изготовленных с затратами времени от 10 до 14 минут составляет от 61,3% до 78,9% в общем числе деталей.
Задача № 2.2
Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповторного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 3 года.
Определить количество студентов, которое нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года.

Решение:
Так как обследование проведено методом бесповторного отбора для определения среднего возраста студентов, то необходимый объем выборки рассчитывается по формуле:

Таким образом, выборка численностью 43 человека обеспечивает заданную точность при бесповторном отборе.
2.3. Контрольные задачи
Задача № 2.1
В целях контроля за соблюдением норм расхода сырья проведено выборочное обследование партии готовой продукции. При механическом (бесповторном) способе отбора 5% изделий получены определенные данные о весе обследованных единиц, представленные в следующей таблице:
На основании выборочных данных вычислить:
1. По «способу моментов»:
   а) средний вес изделия;
   б) дисперсию.
2. Cреднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0.997 возможные границы, в которых заключен средний вес изделий во всей партии.
5. С вероятностью 0.954 возможные границы удельного веса (доли) стандартной продукции во всей партии при условии, что к стандартной продукции относятся все изделия с весом от 100 г до 130 г.
Задача № 2.2
Для изучения возрастной структуры рабочих завода по состоянию на 1 июля было проведено 3% выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования распределения рабочих по возрасту представлены в следующей таблице:
На основании данных выборочного обследования вычислите:
1. По «способу моментов»:
   а) средний возраст рабочего;
   б) дисперсию.
2. Среднее квадратическое отклонение.
3. Коэффициент вариации.
4. С вероятностью 0.997 возможные границы среднего возраста рабочих завода.
5. С вероятностью 0.954 возможные границы доли рабочих завода, возраст которых составляет менее 20 лет.
Задача № 2.3
При изучении производительности труда работников торговли произведено 10% -ое выборочное обследование выполнения норм выработки кассирами магазинов. В результате механического отбора получены следующие данные о распределении выборочной совокупности по выполнению норм выработки, представленные в таблице:
По данным выборки определить для генеральной совокупности:
1. С вероятностью 0.954 пределы значения доли кассиров, выполняющих норму выработки.
2. С вероятностью 0.997 пределы, в которых находится средний процент выполнения кассирами норм выработки.
Задача № 2.4
На электроламповом заводе в порядке 5% механической выборки проверено 2000 лампочек, из которых 20 забраковано. Определить с вероятностью 0,997, в каких пределах колеблется процент бракованных лампочек.

Задача № 2.5
В порядке механической 5%-ой выборки было подвергнуто испытанию на разрыв 1000 нитей из партии. Установлено, что средняя крепость пряжи равняется 340 г при среднем квадратическом отклонении 20 г. С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых находится средняя крепость пряжи в партии.
Задача № 2.6
В городе Н с числом семей 15000 предполагается методом случайного бесповторного отбора определить долю семей с детьми ясельного возраста. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,03, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,3.
2.4. Контрольные вопросы
1. Преимущества выборочного наблюдения перед сплошным.
2. Дать определение понятий: ошибка наблюдения, ошибка регистрации, ошибка репрезентативности, максимально возможная ошибка.
3. Условия правильного отбора единиц совокупности при выборочном наблюдении.
4. Генеральная и выборочная совокупности.
5. Различия между повторной и бесповторной выборками.
6. Формулы взаимосвязи средней и предельной ошибки выборки.
7. Формулы расчета средней ошибки при повторном и бесповторном отборе.
8. Неравенства, устанавливающие возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.
9. Формулы для расчета необходимого объема выборки.
10. Сущность теорем П.Л. Чебышева и А.М. Ляпунова.
11. Распространение результатов выборочного наблюдения на генеральную совокупность.
2.5. Тесты
1. Совокупность, из которой производится отбор единиц для выборочного наблюдения называется:
   а) выборочной;
   б) генеральной;
   в) однородной;
   г) свой ответ.
2. Виды ошибок статистических наблюдений:
   а) регистрации;
   б) систематические;
   в) случайные;
   г) репрезентативности;
   д) все ответы верны.
3. По методу отбора различают:
   а) бесповторный отбор;
   б) случайный отбор;
   в) повторный отбор;
   г) все ответы верны.
4. Если количество единиц в совокупности меньше 30, то выборка считается:
   а) большой;
   б) малой;
   в) средней;
   г) нет верного ответа.
5. Виды выборок:
   а) случайная;
   б) типическая;
   в) механическая;
   г) групповая.
6. При 6%-ой выборке из партии деталей в 600 ед. объем выборки n составляет:
   а) 54 ед;
   б) 36 ед;
   в) 46 ед.
7. Для характеристики надежности выборочных показателей различают следующие виды ошибок выборки:
   а) среднюю;
   б) случайную;
   в) предельную;
   г) репрезентативности.
8. Размер средней ошибки выборки зависит от:
   а) объема выборки;
   б) однородности совокупности;
   в) ассиметрии;
   г) степени варьирования изучаемого признака.
9. Чем больше численность выборки при прочих равных условиях, тем величина средней ошибки выборки:
   а) больше;
   б) меньше;
   в) точнее
 г) свой ответ.
10. Чем больше вариация признака, тем ______ средняя ошибка выборки:
   а) больше;
   б) меньше;
   в) точнее;
   г) свой ответ.
11. Средняя ошибка выборки показывает __________.
12. Средняя ошибка выборки имеет единицы измерения:
   а) что и количественный признак;
   б) не имеет единиц измерения;
   в) представлена коэффициентом;
   г) в процентах.
13. Для отбора единиц из неоднородной совокупности применяется:
   а) типическая выборка;
   б) механическая выборка;
   в) собственно-случайная выборка;
   г) серийная выборка.
14. Отбор единиц из генеральной совокупности посредством жеребьевки или какого-либо иного подобного способа – это:
   а) типическая выборка;
   б) механическая выборка;
   в) собственно-случайная выборка;
   г) серийная выборка.
15. Доверительные интервалы (пределы) для средней ___________.
16. Для скорости расчетов с кредиторами предприятий корпорации в коммерческом банке была проведена случайная выборка 100 платежных документов, по которым средний срок перечисления и получения денег оказался равным 22 дня со стандартным отклонением 6 дней.
Определить с вероятностью p равной 0,954 предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней продолжительности расчетов предприятий данной корпорации.
   а) 1,2 дня; ;
   б) 2,2 дня; ;
   в) 3 дня;  .
17. Среди выборочного обследования 1000 семей региона по уровню душевого дохода (выборка 2%-ая, механическая) малообеспеченных оказалось 300 семей.
Определить с вероятностью 0,997 долю  малообеспеченных семей во всем регионе и доверительные интервалы.
   а) 2%; ;
   б) 1,4%; ;
   в) 5%;  .
18. Для определения доли рабочих со стажем работы 20 лет и более на заводе с числом рабочих 10000  была проведена механическая выборка. Определить какова должна быть численность, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала 0,05, если на основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна 0,2.
   а) 300 чел.;
   б) 500 чел.;
   в) 250 чел..

3. РЯДЫ ДИНАМИКИ
Ряд динамика представляет собой ряд расположенных в хронологической последовательности числовых значений статистического показателя, характеризующих изменение общественных явлений во времени. Построение и анализ рядов динамики позволяет выявить и измерить закономерности развития общественных явлений во времени.
Анализ интенсивности изменения во времени осуществляется с помощью показателей, получаемых в результате сравнения уровней ряда: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста. Система средних показателей включает средний уровень ряда, средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста.
3.1. Основные формулы
Таблица 3.1 – Основные характеристики ряда динамики
Таблица 3.2 – Средние показатели ряда динамики
Таблица 3.3 – Средний уровень ряда
Таблица 3.4 – Измерение связи. Уравнения регрессии
Параметры а₀ и а₁   определяются из системы уравнений:
а) линейная регрессия:
б) парабола второго порядка:
в) гипербола:
Для определения границ интервалов прогнозируемых явлений:
где – коэффициент доверия по распределению Стьюдента;
                – остаточное среднее квадратическое отклонение от тренда:
где m – число параметров адекватной модели тренда;
       n – число уровней ряда динамики.
3.2. Решение типовых задач
Задача № 3.1
Динамика производства электроэнергии в Украине характеризуется следующими данными, представленными в таблице 3.5 (столбец 1– 2):
Рассчитать:
1.     Цепные и базисные аналитические показатели ряда динамики.
Проверить взаимосвязи.
2. Средние: уровень ряда, абсолютный прирост, темпы роста и прироста.
Таблица 3.5 – Исходные данные и расчетные значения
Продолжение таблицы 3.5
Решение:
1. Проверка взаимосвязей:
а) абсолютных приростов:

б) темпов роста:

2. Так как исследуемый ряд динамики представляет собой интервальный ряд с одинаковыми интервалами, то расчет среднего размера производства электроэнергии производим по формуле:

Средний абсолютный прирост рассчитывается по формулам:


Cредний темп роста определяем по формулам:



Средний темп прироста определяется по формуле:


Задача № 3.2
Имеются данные об урожайности зерновых культур (исходные данные в столбцах 1 и 2):
Определить урожайность на ноябрь текущего года, построив линейную трендовую модель.
Решение:
Для выравнивания ряда используем линейную трендовую модель –
уравнение прямой:
Параметры искомого уравнения прямой определяем из следующей системы нормальных уравнений:

 откуда
                                               
Уравнение прямой будет иметь вид:
Подставляя в данной уравнение последовательно значения t, равные -9, -7, -5, -3, -1, 1, 3, 5, 7, 9, находим выровненные уровни .
Если , в нашем примере эти суммы равны между собой и равны 153,4, следовательно, значения уровней выровненного ряда найдены верно.
Полученное уравнение показывает, что, несмотря на значительные колебания в отдельные годы, наблюдается тенденция увеличения урожайности зерновых культур в среднем на  в месяц.
Используя полученное уравнение методом экстраполяции при t равном 11, определяем ожидаемую урожайность культур на ноябрь текущего года:

Зная точечную оценку прогнозируемого значения урожайности , определяем вероятностные границы интервала по формуле:
    
При доверительной вероятности, равной 0,95, коэффициент доверия Стьюдента равен 2,306.
 

Таким образом, с вероятностью, равной 0,95, можно утверждать, что урожайность зерновых культур в ноябре текущего года будет не менее чем 10,25, но и не более чем 20,89 ц/га.
3.3. Контрольные задачи
Задача № 3.1
Динамика кредитных ресурсов коммерческого банка характеризуется следующими данными (на начало месяца, млн. у.е.), представленными в таблице:
Определить средний объем кредитных ресурсов за 1 квартал, 2 квартал и первое полугодие.
Задача № 3.2
Стоимость основных производственных фондов предприятия выросла за период с 2003 по 2007 г. с 5,7 млн. у.е. до 8,6 млн. у.е. Численность работников увеличилась за это же время на 10%. Определить среднегодовые темпы прироста стоимости основных фондов и численности персонала.
Задача № 3.3
Представлены данные коммерческого: