Министерство общего и профессионального образования Российской Федерации
Саратовский государственный технический университет

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Методические указания
к самостоятельной работе по курсу «Высшая математика»
для студентов всех специальностей
под контролем преподавателя
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2008

Введение
Данная работа ориентирована на изучение некоторых численных методов приближенного решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений, составление на базе этих методов вычислительных схем алгоритмов и программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV.
Методические указания могут быть использованы как в процессе выполнения курсовой работы, так и для решения практических задач.
Задача настоящих указаний состоит в том, чтобы научить студентов решать системы нелинейных уравнений с помощью ЭВМ и затем полученные навыки использовать в курсовом и дипломном проектировании.
Предполагается, что студенты прослушали лекционный курс по основам алгоритмического языка ФОРТРАН – IV.
В качестве справочного пособия по языкам программирования может быть использована литература. [5]

Численные методы для решения нелинейных уравнений
Цель работы: изучение численных методов приближенного решения нелинейных систем уравнений, составление на базе вычислительных схем алгоритмов; программ на алгоритмическом языке ФОРТРАН – IV, приобретение практических навыков отладки и решения задач с помощью ЭВМ.
1. Определения и условные обозначения
 – конечномерное линейное пространство, элементами (точками, векторами) являются группы из  упорядоченных действительных чисел, например:

где  – действительные числа, .
В  введена операция сложения элементов, т. е.  определено отображение ,
где
Оно обладает следующими свойствами:
1.                ,
2.                ,
3.                 , что  (элемент  называется нулевым),
4.                , что  (элемент  называется противоположным элементу ).
В  введена операция умножения элементов на действительные числа, т.е.  определено отображение ,
где
Оно обладает следующими свойствами:
1.                ,
2.               
Операции сложения элементов и умножения их на числа удовлетворяют законам дистрибутивности:
1.                ,
2.                .
Каждой паре элементов  поставлено в соответствие действительное число, обозначаемое символом  и называемое скалярным произведением, где

и выполнены следующие условия:
1.                ,
2.                ,
3.                ,
4.                , причем  – нулевой элемент.
Матрица  вида
 ,            (1)
 
где – действительные числа ( , ) определяет линейный оператор, отображающий линейное пространство  в себя, а именно, для
,
где .
Над линейными операторами, действующими в линейном пространстве , вводятся следующие операции:
1.                сложение операторов , при этом, если , то ,
2.                умножение операторов на числа:  при этом, если , то ,
3.                умножение операторов: , при этом, если , то .
Обратным к оператору  называется оператор  такой, что , где  – единичный оператор, реализующий тождественное отображение, а именно,
.
Пусть число  и элемент , таковы, что .
Тогда число  называется собственным числом линейного оператора , а элемент  – собственным вектором этого оператора, соответствующим собственному числу .
Линейный оператор  называется сопряженным к оператору , если для любых элементов  выполняется равенство .
Для всякого оператора  сопряженный оператор  существует, единствен; если , то .
Справедливы равенства:
1.                ,
2.                ,
3.                ,
4.                , если  существует.
Каждому элементу  ставится в соответствие действительное положительное число, обозначаемое символом  и называемое нормой элемента .
Введем в рассмотрение три нормы для :
,
,
.
При этом выполняются следующие неравенства:
.
Норма элемента удовлетворяет следующим условиям (аксиомам нормы):
1.                , причем , лишь если ,
2.                ,
3.                .
Говорят, что последовательность элементов  сходится к элементу ,
а именно,            ,
или                      ,
если                     .
Определенная таким образом сходимость в конечномерном линейном пространстве  называется сходимостью по норме.
Множество элементов , удовлетворяющих неравенству  называется замкнутым (открытым) шаром в пространстве с центром в точке  и обозначается .
Каждому линейному оператору, определяемому квадратной матрицей (1), ставится в соответствие действительное неотрицательное число, обозначаемое символом  и называемое нормой линейного оператора .
Норма линейного оператора удовлетворяет следующим условиям аксиомам норм:
4.4           , причем , лишь если  – нулевая матрица,
4.4           ,
4.4           .
Введем в рассмотрение три нормы для А отображающего  в :
,
,
,
где  i-ое собственное значение матрицы .
Эти нормы линейного оператора А согласованы с соответствующими нормами элемента (вектора)  в смысле условия .

2. Основные сведения о системах нелинейных уравнений в
Общая форма систем нелинейных уравнений в  имеет вид:
         (2)
или F(x) = 0,
где  – заданные функции n переменных,  – неизвестные.
Функция  при действительных значениях аргументов принимают действительные значения, т.е. являются действительнозначными. Вычислять будем только действительные решения.
Решением системы нелинейных уравнений (2) называется совокупность (группа) чисел , которые, будучи подставлены на место неизвестных , обращают каждое уравнение системы в тождество.
Частным случаем системы (2) является система линейных уравнений:

или ,
где А – матрица вида (1), порождающая линейный оператор, отображающий  в


Система линейных уравнений (2) поставим в соответствие линеаризованное уравнение (первые два члена из разложения в ряд Тейлора (2)) в точке  вида
   (2 )
или ,
где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций, а именно , вычисленных точке .
Для дальнейшего нам потребуется еще одна форма записи системы нелинейных уравнений в , а именно:
        (3)
или ,
где .
Операции, с помощью которых осуществляется преобразование системы (2) к системе (3), могут быть любыми, необходимо только, чтобы искомое решение системы (3) удовлетворяло системе (2).
Функции  удовлетворяют тем же условиям, что и функции .

3. Отделение решений
Задача отделения решений систем нелинейных уравнений состоит в определении достаточно малой окрестности (шара малого радиуса, центром которого является решение) около какого-нибудь одного решения и в выборе в этой окрестности начального приближения к решению. Начальное приближение должно попасть при этом в область сходимости метода.
Задача отделения решений не имеет достаточно эффективных методов общего характера. При решении уравнения предполагается знание начальных приближений к изолированному решению из постановки конкретной задачи. Если же таких данных нет, то можно дать лишь некоторые рекомендации для конкретных видов уравнений.
Так, если дано скалярное уравнение , то его решение с геометрической точки зрения можно рассматривать как абсциссы точек пересечения графика функции с осью абсцисс. Построив график функции y=f (x), приближенно определяем окрестности изолированных точек пересечения графика с горизонтальной осью. Сами точки пересечения берем за начальные приближения к точным решениям.
Безусловно, графические построения имеют большие погрешности, и выбранные начальные приближения могут не попасть в область сходимости применяемого метода.
Тогда нужно провести пробные решения на ЭВМ выбранным методом с исследованием сходимости.
Если приближения сходятся, то начальные приближения выбраны в области сходимости метода и можно получить приближенное решение с заданной точностью.
Если приближения расходятся, следует провести более точные графические построения и выбрать начальное приближение в области сходимости.
Аналогично отделяются решения для системы двух нелинейных уравнений
   , .
В этом случае на плоскости x,y строятся линии уровня функции двух переменных  и . Координаты точек пересечения графиков этих функций дают начальные приближения изолированных решений.

4. Методы решения нелинейных уравнений
4.1 Метод простой итерации
Метод простой итерации (см. [1]) применяется для решения систем нелинейных уравнений с любым числом уравнений. Его можно применять как для уточнения найденного решения, так и для первоначального нахождения решения. В последнем случае, однако, метод может не дать результата.
Для применения метода простой итерации система уравнений (2) приводится к виду (3).
Затем, взяв начальное приближение , которое предполагается либо известным, либо произвольным, строим последовательность
     (4)
по следующим формулам
  (5)
Замечание. Для приведения системы уравнений (2) к виду (3) можно использовать прием:

где  – релаксационный параметр, определяется методом Зейделя.
4.2 Метод Зейделя
Метод Зейделя отличается от метода простой итерации тем, что вычисления ведутся по формулам:
        (6)
Иными словами, при вычислении  используются не , как в методе простой итерации, а .
4.3 Метод Ньютона
Этот метод (см.[1], [4]) предложен И.Ньютоном в 1669 году, однако наиболее полное обоснование было сделано советским математиком Л.В.Канторовичем в 1949 году (см.[4]), поэтому в литературе этот метод часто называют методом Ньютона-Канторовича.
Метод Ньютона является одним из итерационных методов, получаемых линеаризацией линейного оператора
,
где  из уравнения (2).
Так, для к-го приближения  к точному решению  уравнения (2) ставится в соответствие линеаризованное уравнение вида (2 ), а именно:

или ,
где  – квадратная матрица Якоби, составленная из частных производных первого порядка функций,  т.е. , вычисленных в точке .
Таким образом, последовательность (4) строится по следующим правилам:
  (),
где  – обратный оператор к линейному оператору , определяемому квадратной матрицей


Трудности построения алгоритма метода Ньютона, связанные с обращением производной  (построение ), обычно преодолеваются тем, что вместо методов обращения матрицы решают алгебраическую систему уравнений (7) относительно неизвестных . Алгоритмы решения системы линейных алгебраических уравнений хорошо отработаны, для них имеются стандартные программы для ЭВМ и, кроме того, в результате решения системы одновременно с обращением матрицы получается умножение обратной матрицы на вектор .
Итерационная формула метода Ньютона при таком подходе будет иметь вид:
       (7)
 .          (8)
4.4 Модифицированный метод Ньютона
Эта разновидность метода Ньютона строится путем определения производной только в одной точке приближенного решения, т. е. Последовательные приближения (4) строятся по формулам:
,         (9)
где  – начальное приближение к точному решению .

4.5 Метод Зейделя на основе линеаризованного уравнения
Итерационная формула для построения приближенного решения нелинейного уравнения (2) на основе линеаризованного уравнения (7) имеет вид:

4.6 Метод наискорейшего спуска
Методы спуска (см. [2]) сводят решение системы (2) к задаче нахождения минимума специально построенного функционала (функционал – отображение  в R), а именно:
,
где .
Функционал в конечном пространстве Rⁿ можно рассматривать как функцию многих переменных .
Для нахождения точки , в которой функционал f принимает минимальное нулевое значение, выбирают точку , находят  и строят итерационную формулу:  с начальным приближением .
В итерационной формуле параметр h_k пока не определен, выберем его таким образом, чтобы выполнилось условие: , начиная с x⁰, в предположении, что f – монотонный функционал.
Для выбора h_k построим функционал, зависящий от параметра, который изменяется непрерывно: .
При h=0 имеем, что f (0) – линия уровня функционала, проходящая через точку x^k . Для нахождения следующей линии уровня, более близкой к минимуму, будем выбирать h таким образом, чтобы для данного x^k

Это условие минимума по h будем рассматривать как уравнение для получения h_k.
Решим его приближенно, т.к. ошибка в несколько процентов обычно не влияет на скорость сходимости. Отметим кстати, что число h_k всегда должно быть положительным. Для этого разложим функцию  в ряд Тейлора по h в точке h=0 и возьмем только линейную часть этого разложения
.
Подстановка линейной части в условие , дает уравнение для приближенного определения
.
Решая построенное уравнение относительно h, получим:
 или .

Таким образом, итерационная формула метода наискорейшего спуска имеет вид:
 или , где производные  вычислены в точке .
Метод наискорейшего спуска требует большего количества вычислений, чем другие методы первого порядка. Однако он обладает по сравнению с другими методами важным преимуществом, заключающемся в неизбежной сходимости процесса. При этом нужно помнить, что метод наискорейшего спуска может привести не к решению системы уравнений (2), а к значениям аргумента, дающим относительный экстремум функции
, т.е. .

5. Сходимость методов решения нелинейных уравнений
Если метод сходится, то есть , где
 – точное решение
 – k-тое приближение к точному решению, то итерационный процесс следовало бы закончить по достижению заданной погрешности , где e – заданная точность (погрешность).
Однако практически это условие выполнить нельзя, так как  неизвестно, тогда для окончания итерационного процесса можно воспользоваться неравенствами , или , где  и  – заданные величины.
При таком окончании итераций погрешность может возрасти по сравнению с  и, поэтому, чтобы не увеличивалась, величины  и соответственно уменьшают или увеличивают число итераций.
Методы простой итерации, Зейделя, модифицированный метод Ньютона, метод наискорейшего спуска (см. [1], [2], [3], [4]) являются методами первого порядка – это значит, что имеет место неравенство , k=1, 2, . . . , где  – константа, своя у каждого метода, зависящая от выбора начального приближения , функции f_i , i = 1, 2, . . . , n, и их частных производных первого и второго порядков – точнее их оценок в некоторой окрестности искомого решения, которой принадлежит начальное приближение.
Метод Ньютона является методом второго порядка, то есть для него имеет место неравенство , k=1, 2, . . . , где  – константа, зависящая от тех же величин, что и константа .
А теперь рассмотрим достаточные условия сходимости метода простой итерации и метода Ньютона.
Сходимость процесса простой итерации зависит от двух условий. Первое условие состоит в том, что какая-нибудь точка  должна оказаться близкой к исходному решению . Степень необходимой близости зависит от функций j_1, j₂, . . . , j_n . Это требование не относится к системам линейных уравнений, для которых сходимость процесса простой итерации зависит только от второго условия.
Второе условие связано с матрицей, составленной из частных производных первого порядка функций j_1, j₂, . . . , j_n – матрицей Якоби
 ,
вычисленных в точке .
В случае, когда рассматривается система линейных алгебраических уравнений, матрица M состоит из постоянных чисел – коэффициентов, стоящих при неизвестных в правой части уравнения (3). В случае нелинейных уравнений элементы  матрицы M зависят, вообще говоря, от . Для сходимости процесса простой итерации достаточно, чтобы выполнялось неравенство:  для  из некоторой окрестности точного решения , которой должно принадлежать начальное приближение .
Приведем также достаточные условия сходимости метода Ньютона для системы уравнений вида (2) по норме .
Предположим, что имеется начальное приближение к искомому решению системы (2) , функции  непрерывны и имеют непрерывные частные производные до второго порядка в шаре , тогда, если выполнены условия:
1)                Матрица Якоби  системы (2) на начальном приближении имеет обратную  и известна оценка нормы обратной матрицы ,
2)                Для всех точек шара  выполнено неравенство
 при i, j = 1, 2, . . . , n ,
3)                Выполнено неравенство
,
где L – постоянная 0 £ L £ 1,
4)                Числа b, N, r подчинены условию a = nbNr < 0,4, тогда система уравнений (2) в шаре  имеет единственное решение, к которому сходятся последовательные приближения (8) или (7’), (9’).
Для других методов условия сходимости имеют сложный вид, и мы отсылаем читателя к специальной литературе [1], [2], [3], [4].

6. Примерный перечень возможных исследований
1)                Сравнение различных методов на экономичность при решении конкретной задачи:
·                   по числу операций на одной итерации;
·                   по числу итераций, необходимых для достижения заданной точности;
2)                Зависимость числа итераций для достижения заданной точности:
·                   от выбора вида нормы;
·                   от выбора критерия окончания итерационного процесса по  или по невязке  ;
·                   от выбора начального приближения;
·                   от погрешности задания коэффициентов в уравнении.

7. Контрольные вопросы
1)                Понятие о нелинейных системах уравнений в Rⁿ.
2)                Понятие приближенного и точного решения нелинейной системы уравнений.
3)                Сущность графического метода отделения решения для системы двух нелинейных уравнений, каковы его преимущества и недостатки?
4)                Сущность метода простой итерации и метода Зейделя. Каковы условия применимости метода простой итерации?
5)                Сущность метода Ньютона и его модификации. Какова скорость сходимости метода Ньютона?
6)                Сущность метода наискорейшего спуска. Как выбирается параметр спуска?

8. Порядок выполнения курсовой работы
1)                Получить вариант задания, индивидуальный для каждого студента, у преподавателя, а именно:
Найти решение системы нелинейных уравнений в первой координатной четверти с номером – N₁ (см. варианты заданий п.10), применив для первого этапа уточнения метод с номером – N₂, а для второго этапа уточнения метод с номером – N₃ , точность вычислений на первом этапе – EPS1Î[0.1 – 0.01], на втором этапе – EPS2 Î [0.1 - 0.0001], N₄ – номер нормы, I – номер параметра a, J – номер параметра b, начальное приближение выбрать произвольно или графически, aÎ(0,1).
2)                Разработать обязательные для выполнения задания разделы данных методических указаний.