АСТРАХАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕНННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра теоретической и прикладной механики
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА
Пособие по решению типовых задач
Часть 1. Статика
В.И. Локтев, М.А. Михайлова
Астрахань 2008

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Общие методические указания
Требования к выполнению расчетно-графических работ
Примеры типовых задач
Пример 1. Система сходящихся сил в плоскости
Пример 2. Равновесие тела в плоскости
Пример 3. Определение реакций двухопорной балки
Пример 4. Равновесие системы тел в плоскости
Пример 5. Равновесие пространственной системы сил

Введение

Пособие, по замыслу авторов, поможет студентам освоить алгоритм решения типовых задач статики в рамках расчетно-графических работ (РГР) по курсу теоретической механики. Пособие включает в себя общие методические указания, рекомендации по оформлению РГР, примеры решения задач.
Все задачи, рассмотренные в примерах, взяты из давно уже ставшего классическим «Сборника задач по теоретической механике» И.В. Мещерского, номера задач соответствуют тридцать шестому изданию 1986 года.
В настоящее время актуальным является внедрение компьютерных программ в процесс обучения. Действительно, при богатом выборе математических программ, обладающих большими возможностями, вполне логично оставить вычислительную часть задачи компьютеру. Это позволяет, во-первых, не оценивать математические способности студентов, а во-вторых, экономит время студента. Приведенные в нашем пособии задачи решены и аналитически, и с использованием программы Mathcad. Для решения полученных систем уравнений равновесия использовались матричный и итерационный методы, показана реализация этих методов в программе Mathcad. Использование математических компьютерных программ при решении задач, безусловно, поощряется, однако не является необходимым требованием.
Еще один полезный для студентов совет – не просто формально получить в задаче числовой ответ, а в ходе решения обрести уверенность, что ответ получен правильный. Для этого решение необходимо проверить, специалисты сказали бы – «провести экспертизу проекта». В пособии показано, как в задачах статики можно провести подобную экспертизу, то есть путем проверки убедиться в правильности решения.

Общие методические указания
Основная практическая задача статики - определение реакций связей, удерживающих конструкцию, тело или систему тел в равновесии. Все типовые задачи о равновесии решаются по единой методике:
1.                Выбираем объект исследования.
Объект исследования выбираем так, чтобы на расчетной схеме были искомые неизвестные и заданные нагрузки. В задачах о равновесии составной конструкции в качестве объекта исследования приходится последовательно рассматривать каждую часть конструкции.
2.                Составляем расчетную схему выбранного объекта
Выбранный объект исследования изображаем отдельно, и здесь же изображаем все силы, действующие на него:
 а) активные силы (задаваемые силы или моменты, а также силы, которые не зависят от контакта объекта с другими телами, например, силы тяжести или силы электромагнитного взаимодействия);
 б) реакции связей (для этого мысленно обводим объект исследования по контуру, и в точках контакта с отброшенными телами или опорами (связями) прикладываем силы или моменты, заменяющие их действие).
3.     Составляем уравнения равновесия, их форма и количество зависят от вида системы сил в расчетной схеме.
Здесь возможны такие случаи:
а) линейная система сил по оси x : ;
б) система сходящихся сил в плоскости xy: , ;
в) система сходящихся сил в пространстве xyz:  ,  ,  ;
г) система параллельных сил в плоскости: , ;
д) система произвольных сил в плоскости xy:  , , ;
е) система произвольных сил в пространстве xyz:  , , , , , .
4. Решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений и находим неизвестные. Следует обратить внимание на размерности исходных данных. Лучше всего сразу перевести все величины в единицы СИ (метры, ньютоны).
5. Оценим логически правдоподобность полученных результатов и выполним проверку. Любые дополнительные («новые») уравнения равновесия для тех же или других объектов исследования в рамках данной задачи должны обращаться в тождество.

Требования к оформлению расчетно-графических работ
Расчетно-графические работы (РГР) оформляются аккуратно на листах писчей бумаги формата А4 (писать с одной стороны).
На первом (титульном листе) указывается название университета, кафедры, предмета, название (тема) РГР, номер варианта и год выполнения работы. Также указывается Ф.И.О. и должность преподавателя, специальность (группа), Ф.И.О. студента.
При выполнении РГР нужно обязательно привести текст каждой задачи, выписать исходные данные своего варианта и сделать относящийся к задаче и своему варианту чертеж. Чертежи должны выполняться карандашом, с помощью чертежных инструментов, в масштабе, аккуратно и точно. На чертежах должны быть изображены оси координат и все векторы, которые встречаются в ходе решения задания (силы, скорости, ускорения).
Решение каждой задачи должно сопровождаться краткими пояснениями, то есть должно быть указано, какие теоремы, формулы или уравнения применяются при решении данной задачи.
Использование математических компьютерных программ при решении задач, безусловно, поощряется, однако не является необходимым требованием. Расчеты, выполненные в математической программе необходимо распечатать и прикрепить к записке.

Примеры типовых задач
Пример СП-1. Система сходящихся сил в плоскости (Мещерский, 2.15)
Ответ: T = 122 H, P = 137 H.

b

a

Q

P

E

D

C

B

A

 

Решение.
Со стороны связей (веревок) на точку В действуют их реакции – натяжение  вдоль веревки АВ и натяжение  части веревки ВС, причем по модулю натяжение N равно весу груза D (N = Q).

x1

b

a

x

C

B

A

y

 

Для полученной в расчетной схеме плоской системы сходящихся сил составляем два уравнения равновесия в проекциях на оси координат x и y (рис. 1):

Из уравнения (1) находим  Подставляем в уравнение (2) и находим  При заданных числовых значениях получаем T = 122 Н, Р = 136,6 Н.
Проверка.
Для проверки составим еще одно уравнение равновесия в форме проекций сил на ось x₁ (рис.1) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем

Относительная погрешность вычислений составляет не более (0,028/100)^.100% ~ 0,028%.
Ответ.
Натяжение веревки АВ равно T = 122,5 Н, вес груза Р = 136,6 Н.
Компьютерное решение.
Для решения системы линейных уравнений можно использовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1) и (2) запишем в стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:

В матричном виде эта система уравнений записывается так:

Матричное решение имеет вид:
.
В среде Mathcad можно выполнить и проверку.

Пример СП-2. Равновесие тела в плоскости  (Мещерский, 4.10)
Ответ: P = 25 H, N_A = 50 H, N_B = 43,3 H

B

A

300

P

C

 

Решение.
Со стороны связей (пола и плоскости) на стержень действуют их реакции – , (соответственно), и натяжение  части веревки ВС, причем по модулю натяжение  равно весу груза P (T = P).

b

C

D

a

x

y

B

A

 

Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем три уравнения равновесия: 2 уравнения сил в проекциях на оси координат x и y и сумму моментов сил относительно точки B (рис. 2). ( ):

Из уравнения (3) находим .
Из уравнения (1) .
Подставляем в уравнение (2)
   
и находим

При заданных числовых значениях получаем N_A = 50 Н, N_B= 43,3 Н, Р = 25 Н.
Проверка. Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки D (рис. 1) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем
 
Ответ. Давления равны N_A = 50 Н, N_B = 43.3 Н, вес груза Р = 25 Н.

Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем в стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:

Матричная запись уравнений имеет вид:
 
Решаем в среде Mathcad и выполняем проверку.



Пример СП-3. Определение реакций в двухопорной балке (Мещерский, 3.16)
Ответ: Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН
 SHAPE  \* MERGEFORMAT

a

P

a

q

P

Q

D

a

a

C

A

B

a

Решение:
Рассмотрим равновесие стержня CАВD и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис.3).
В точке А шарнирно неподвижная опора заменяется реакциями R_ay и R_ax . Аналогично в точке B шарнирно подвижная опора заменяется реакцией R_в.
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сил составляем 3 уравнения: два уравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно одной из отброшенных опор (рис.3)


Из уравнения (1) находим .
Из уравнения (3)
.
 Подставляем Rв в уравнение (2) и выражаем Rау:

Проверка. Для проверки составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно точки D (рис. 3) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем
 
Ответ. Реакции равны Ra = 1.5 кН, Rв = 2.1 кН.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать итерационные методы.
Решаем задачу в в среде Mathcad итерационным методом:
 


Пример СП-4. Равновесие системы тел в плоскости  (Мещерский, 4.43)

Подвеска состоит из двух балок АВ и СD, соединённых шарнирно в т.D и прикреплённых к потолку шарнирами А и С. Вес балки АВ равен 60 Н и приложен в т.Е. Вес балки CD равен 50 Н и приложен в т.F. В точке В балки АВ приложена вертикальная сила Р = 200 Н. Определить реакции в шарнирах А и С, если заданы следующие размеры: АВ = 1 м, СD =0.8 м, АЕ = 0.4 м, СF = 0.4 м, углы наклона балок АВ и СD к горизонту соответственно равны: α = 60 0 и β = 450 .

Ответ: -Xa = Xc = 135 Н, Ya = 150 H, Yc = 160 H.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

P

A

B

Е

D

F

α

β

С

К задаче 4.43
Решение:
Для каждой расчетной схемы (рис.5) составляем 3 уравнения равновесия: два уравнения сил в проекциях на оси координат x и y, а также сумму моментов сил относительно т. D.

 SHAPE  \* MERGEFORMAT

A

B

Е

D

F

α

β

С

P

Yc

Ya

Xc

Xa

G1

G2

В результате получим систему 6 уравнений с шестью неизвестными.

Из уравнения (2)
.
 Подставляем в уравнение (5) и выражаем:

Из уравнений (1) и (4) находим .
Из уравнения (6) выражаем Xa, из (3) – Xc, и приравниваем эти выражения:

Подставим Ya и преобразуем выражение:

выразим и найдём Yc:

Для нахождения AD воспользуемся теоремой синусов:

При подстановке числовых значений получим Yc=160 (H); Ya=150 (H); Xc=Xa=135 (H)
Проверка. Для проверки лучше всего использовать расчетную схему всего кронштейна (рис.4) - данная расчетная схема не содержит реакций в шарнире D. Составим уравнение равновесия в форме суммы моментов сил относительно любой точки (например, относительно точки D) (рис. 4) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем тождество.
Ответ: Реакции Yc=160 (H); Ya=150 (H); Xc=Xa=135 (H).
Вычисления на компьютере:

Компьютерное решение.
Решаем этуже задачу в в среде Mathcad итерационным методом:

 


Пример СП-5. Равновесие пространственной системы сил  (Мещерский, 8.24)
Однородная прямоугольная рама веса 200 Н прикреплена к стене при помощи шарового шарнира А и петли В и удерживается в горизонтальном положении веревкой СЕ, привязанной в точке С рамы и к гвоздю Е вбитому в стену на одной вертикали с А, причем . Определите натяжение верёвки и опорные реакции.

D

 

Решение.
Рассмотрим равновесие рамы АВCD и составим расчетную схему сил, действующих на нее (рис. 6).
Как активная сила, действует сила тяжести рамы АВCD , приложенная в центре плиты.
Со стороны связей на стержень действуют их реакции – , и натяжение  части веревки ЕС.
Для полученной в расчетной схеме плоской системы сходящихся сил составляем три уравнения равновесия в проекциях на оси координат x, y и z и сумму моментов сил относительно координатных осей x, y и z. ( ) (рис. 6):

Из уравнения (5) находим . Из уравнение (6) . Из уравнение (4) . Из уравнение (3) находим . Из уравнение (2) . Из уравнение (1)
При заданных числовых значениях получаем T= 200 H, X_A= 86,6 H, Y_A= 150 H, Z_A = 100 H, X_B = Z_B = 0.
Проверка. Для проверки составим еще три уравнения равновесия в форме проекций сил на оси x₁, y, z₁ (рис. 6) и убедимся, что оно обращается в тождество:

Действительно, при подстановке найденных значений получаем

Ответ. Сила натяжения равна Т = 200 Н, опорные реакции X_A = 86.6 Н, Y_A = 150 Н, Z_A = 100 Н, X_B = Y_B = 0.
Компьютерное решение. Для решения системы линейных уравнений можно использовать, например, матричный метод. Уравнения равновесия (1), (2) и (3) запишем в стандартной форме, сохраняя неизвестные в левых частях уравнений:


Матричное решение имеет вид:


В среде Mathcad можно выполнить и проверку.