МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОСCИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
ЮЖНОГО ФЕДЕРАЛЬНОГО УНИВЕРСИТЕТА В Г. ТАГАНРОГЕ
Факультет автоматики и вычислительной техники Кафедра систем автоматического управления
ИНДИВИДУАЛЬНОЕ ЗАДАНИЕ № 1
Дисциплина "Методы оптимизации"
Тема: Определение оптимального по квадратичному критерию качества программного управляющего воздействия.
Выполнил:
Ст-т гр. А-14425.10.07 г
Безродный С.В.
Проверила:
Преподаватель каф. САУ25.10.07 г
Тесленко О.А.
Таганрог 2007 г.

Вариант №5

Дано:
Структурная схема объекта управления (ОУ).

2. Граничные условия.
,  (1)
3. Критерий качества вида:
 (2)
4. Вид возмущающего воздействия:
 (3)
Требуется определить:
Аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия u^* (t), переводящее ОУ из начального состояния в конечное, за конечный интервал времени t Є [0, t_k] по оптимальной траектории
x^* (t) = [x₁^* (t) x₂^* (t)] ^Т_.
Примечание: f (t) = 0.
Построить временные диаграммы: u^* (t), x₁^* (t), x₂^* (t) и фазовую траекторию.
Ввести возмущающее воздействие f (t) и произвести моделирование оптимальной СУ. Построить временные диаграммы u^* (t), x₁^* (t), x₂^* (t) и фазовую траекторию.
Примечание: амплитуду a выбрать произвольно в разумных пределах, а частоту ω₀ выбрать из интервала [ (5ч10) · ].
Моделирование СУ производить с помощью пакета MATLAB, программу моделирования представить в отчете.
Сделать выводы.
Выполнение работы:
1) Математическая модель ОУ имеет вид:

Составим выражение расширенного функционала:

Определяем все частные производные  по всем координатам и получаем систему уравнений Эйлера-Лагранжа в виде:

Перепишем систему в форме Коши:

Составляем матрицу коэффициентов этой системы:

Определяем корни характеристического полинома:



Общий вид уравнений искомых экстремалей определяется однозначно, как:

Из граничных условий (1) определяем значения постоянных интегрирования:




Уравнение оптимального программного управления  определяем в силу исходного ОУ с учетом выражений оптимальных программных траекторий в виде:

2) Моделирование оптимальной системы программного управления без учета возмущающего воздействия:


Рис.1. Листинг программы моделирования системы без учета возмущающего воздействия.

Рис.2. Оптимальное программное воздействие u (t).

Рис.3. Переходная характеристика х₁ (t).

Рис.4. Переходная характеристика х₂ (t).

Рис.5. Фазовая траектория.
3) Моделирование оптимальной системы программного управления с учетом возмущающего воздействия:


Рис.6. Листинг программы моделирования системы с учетом возмущающего воздействия.

Рис.7. Оптимальное программное воздействие u (t).


Рис.8. Переходная характеристика х₁ (t).

Рис.9. Отклонение истинной переходной характеристики от программной е (t).

Рис.10. Переходная характеристика х₂ (t).


Рис.11. Фазовая траектория.

Выводы по работе

В данной работе определялось аналитическое выражение оптимального программного управляющего воздействия по квадратичному критерию качества. Из графиков рис.3. - рис.5. видно, что характер процесса - апериодический, установившаяся ошибка равна нулю, процесс перевода ОУ из начального состояния х₁ (0) = х₂ (0) = 0 в конечное х₁ (0,9) = 0,3, х₂ (0,9) = 0 происходит по оптимальной траектории, доставляя экстремум функционалу в заданный промежуток времени t = 0,9 c.
При действии на систему возмущения (3) наблюдали на рис.8. - рис.11. отклонения истинных переходных характеристик от программных, причем на рис.9. представлен график .