Реферат на тему функция

Работа добавлена на сайт bukvasha.net: 2014-08-02

Поможем написать учебную работу

Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.

Предоплата всего

от 25%

Подписываем

договор

Имя

Выберите тип работы:

Принимаю Политику конфиденциальности

Скидка 25% при заказе до 14.1.2025

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГОХОЗЯЙСТВА РФ
ДЕПАРТАМЕНТ НАУЧНО – ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ
ПОЛИТИКИ И ОБРАЗОВАНИЯ
ФГОУ ВПО «ПРИМОРСКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ»
ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И БИЗНЕСА
Реферат
Тема: «Функция»
                              Выполнил: Ярмонтович Д.А.
                                           Проверила:
УССУРИЙСК 2006

СОДЕРЖАНИЕ
·                   1)Введние
·                   2)Линейная функция
·                   3)Квадратичная функция
·                   4)Степенная функция
·                   5)Показательная функция (экспонента)
·                   6)Логарифмическая функция
·                   7)Тригонометрическая функция
·                   -Функция синус
·

-Функция косинус
·                   -Функция тангенс
·                   -Функция котангенс
·                   8)Обратная функция
·                   -Arcsin x
·                   -Arctg x
·                   9)Список Литературы

введение

К элементарным функциям относятся рациональные, степенные, показательная и логарифмические функции, а также тригонометрические и обратные тригонометрические функции. К классу элементарных функций, кроме того, относят также сложные функции, образованные из перечисленных выше элементарных функций.

Функция- зависимость переменной у от переменной x, если каждому значению х соответствует единственное значение у.
Переменная х - независимая переменная или аргумент.
Переменная у - зависимая переменная
Значение функции - значение у, соответствующее заданному значению х.
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(x)=f(-x)
Функция является нечетной - если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x)
Возрастающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)<f(х₂)
Убывающая функция - если для любых х₁ и х₂, таких, что х₁< х₂, выполняется неравенство f(х₁)>f(х₂)

Линейная функция.
Это функция вида $f(x)=kx+b;\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ . Число

называется угловым коэффициентом, а число

- свободным членом. Графиком ${\Gamma}_f$ линейной функции служит прямая на координатной плоскости

, не параллельная оси

.
Угловой коэффициент

равен тангенсу угла ${\alpha}$ наклона графика ${\Gamma}_f$ к горизонтальному направлению - положительному направлению оси

График линейной функции - прямая
1.                Область определения – все действительные числа.
2.                Область значений – все действительные числа.
3.                Если k=0, то график будет параллелен оси абсцисс и будет проходить через точку (0; b).
4.                Линейная функция ни четная ни нечетная.
5.                Функция возрастает если k>0,
Функция убывает если k<0.
6.                Функция непрерывна.

Квадратичная функция.
Это функция вида $f(x)=ax^2+bx+c; \mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ,
Графиком ${\Gamma}_f$ квадратичной функции служит парабола с осью, параллельной оси

. При

вершина параболы оказывается в точке

Парабола

(

)
В общем случае вершина лежит в точке $M_0(x_0;y_0);x_0=-\frac{b}{2a};y_0=f(x_0)=c-\frac{b^2}{4a}$ . Если

, то "рога" параболы направлены вверх, если

, то вниз.

.Парабола с вершиной в точке

(

)
1. Область определения квадратичной функции – вся числовая прямая.
2. При b¹0 функция не является четной и не является нечетной. При b=0 квадратичная функция – четная.

f(x) = x²

f(x) = (x+1/2)²

-1/2

         Рис. 4                                                   Рис. 5
4.                Квадратичная функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения.
5.                Функция имеет единственную критическую точку
6.                x=-b/(2a). Если a>0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет минимум. При x<-b/(2a) функция монотонно убывает, при x>-b/(2a) монотонно возрастает.
a.                  Если а<0, то в точке x=-b/(2a) функция имеет максимум. При x<-b/(2a) функция монотонно возрастает, при x>-b/(2a) монотонно убывает.
b.                 Точка графика квадратичной функции с абсциссой x=-b/(2a) и ординатой y= -((b²-4ac)/4a) называется вершиной параболы.
7.                Область изменения функции: при a>0 – множество значений функции [-((b²-4ac)/4a); +¥); при a<0 – множество значений функции (-¥;-((b²-4ac)/4a)].
8.                График квадратичной функции пересекается с осью 0y в точке y=c. В случае, если b²-4ac>0, график квадратичной функции пересекает ось 0x в двух точках (различные действительные корни квадратного уравнения); если b²-4ac=0 (квадратное уравнение имеет один корень кратности 2), график квадратичной функции касается оси 0x в точке     x=-b/(2a); если b²-4ac<0, пересечения с осью 0x нет.
a.                  Из представления квадратичной функции в виде (1) также следует, что график функции симметричен относительно прямой x=-b/(2a) – образа оси ординат при параллельном переносе r=(-b/(2a); 0).
b.                 График функции
9.                f(x)=ax²+bx+c
10.           (или f(x)=a(x+b/(2a))²-(b²-4ac)/(4a)) может быть получен из графика функции f(x)=x² следующими преобразованиями:
а) параллельным переносом r=(-b/(2a); 0);
б) сжатием (или растяжением) к оси абсцисс в а раз;
в) параллельным переносом r=(0; -((b²-4ac)/(4a))).
Степенная функция.
Это функция вида $f(x)=x^{{\alpha}}$ , ${\alpha}\in\mathbb{R}$ . Рассматриваются такие случаи:
а). Если ${\alpha}\in\mathbb{N}$ , то $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ . Тогда

; если число ${\alpha}$ - чётное, то и функция

- чётная (то есть

при всех $x\in\mathcal{D}(f)$ ); если число ${\alpha}$ - нечётное, то и функция

- нечётная (то есть

при всех $x\in\mathcal{D}(f)$ ).

График степенной функции при ${\alpha}=1,2,3,4$
б) Если ${\alpha}\in\mathbb{Z}$ , ${\alpha}\leqslant 0$ , то $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}\diagdown \{0\}$ . Ситуация с чётностью и нечётностью при этом такая же, как и для ${\alpha}>0$ : если ${\alpha}$ - чётное число, то и $f(x)=\dfrac{1}{x^{-{\alpha}}}$ - чётная функция; если ${\alpha}$ - нечётное число, то и

- нечётная функция.

График степенной функции при ${\alpha}=0,-1,-2,-3$
Снова заметим, что

при всех ${\alpha}$ . Если ${\alpha}=0$ , то ${f(x)=x^0=1}$ при всех

, кроме

(выражение

не имеет смысла).
в). Если ${\alpha}$ - не целое число, то, по определению, при ${\alpha}>0$ : $\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x\geqslant 0\}$ ; тогда

График степенной функции при ${\alpha}>0$
При ${\alpha}<0$ , по определению, $\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$ ; тогда

График степенной функции при ${\alpha}<0$
1.                Область определения степенной функции – множество всех положительных чисел.
2.                Область значения степенной функции – множество всех положительных чисел.
3.                Степенная функция непериодична, не является четной и не является нечетной.
4.                Степенная функция непрерывна во всей области определения.
5.                Степенная функция дифференцируема во всей области определения, и ее производная вычисляется по формуле
(x^a)¢= a^.x^a^-1.
Степенная функция x^a монотонно возрастает во всей области определения при a<0.
6.

y = x ^5/2

y = x^1/2

0 1 x 0 1 x
7. При a<0 и a>1 график степенной функции направлен вогнутостью вверх, а при 0<a<1 – вогнутостью вниз.

Показательная функция (экспонента).
Это функция вида

(

, $a\ne1$ ). Для неё $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ,

, и при

график имеет такой вид:

.График показательной функции при

При

вид графика такой:

Рис.1.20.График показательной функции при

1. Число

называется основанием показательной функции. Область определения функции – вся числовая прямая.
2.                Область значения функции – множество всех положительных чисел.
3.                Функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная показательной функции вычисляется по формуле
(a^x)¢ =a^xlna
4.                При а>1 функция монотонно возрастает, при а<1 монотонно убывает.
5.                Показательная функция имеет обратную функцию, называемую логарифмической функцией.
6.                График любой показательной функции пересекает ось 0y   в точке y=1.
7.                График показательной функции – кривая, направленная вогнутостью вверх.
Логарифмическая функция.
Это функция вида $f(x)=\log_ax$ (

, $a\ne1$ ). Для неё $\mathcal{D}(f)=\{x\in\mathbb{R}:x>0\}$ ,

, и при

график имеет такой вид:

График логарифмической функции при

При

график получается такой:

График логарифмической функции при

1. Число

называется основанием логарифма. Обратим внимание читателя на то, что с точностью до поворотов и симметричных отражений на последних четырёх чертежах изображена одна и та же линия. Область определения логарифмической функции – промежуток (0; +¥).
2.                Область значения логарифмической функции – вся числовая прчмая.
3.                Логарифмическая функция непрерывна и дифференцируема во всей области определения. Производная логарифмической функции вычисляется по формуле
(log_a x)¢ = 1/(x ln a).
4.                Логарифмическая функция монотонно возрастает, если а>1. При 0<a<1 логарифмическая функция с основанием а монотонно убывает.
5.                При любом основании a>0, a¹1, имеют место равенства
log_a1 = 0, log_aa =1.
6.                При а>1 график логарифмической функции – кривая, направленная вогнутостью вниз; при 0<a<1 – кривая, направленная вогнутостью вверх.

тригонометрические функции
Функции sin a, cos a, tg a, ctg a называются тригонометрическими функциями угла a. Кроме основных тригонометрических функций sin a, cos a, tg a, ctg a.
Функция синус
.
$f(x)=\sin x$ . Для неё $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ; функция периодична с периодом $2\pi$ и нечётна. Её график таков:

График функции $\sin x$

Синусом числа х называется число, равное синусу угла в радианах.
1. Область определения – множество всех действительных чисел.
2. Область значения – промежуток [-1; 1].
3. Функция sin х – нечетная: sin (-х)=- sin х.
4. Функция sin х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
sin (х+2p)= sin х.
5. Нули функции: sin х=0 при x=pn, n Î Z.

6. Промежутки знакопостоянства:
    sin х>0 при x Î (2pn; p+2pn), n Î Z,
    sin х<0 при x Î (p+2pn; 2p+2pn), n Î Z.
7. Функция sin х непрерывна и имеет производную при любом значении аргумента:
(sin х)¢ =cos x.
8. Функция sin х возрастает при xÎ ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn), n Î Z,
      и убывает при xÎ ((p/2)+2pn; ((3p)/2)+ 2pn), n Î Z.
9. Функция sin х имеет минимальные значения, равные –1, при х=(-p/2)+2pn, n Î Z, и максимальные значения, равные 1, при х=(p/2)+2pn, n Î Z.

Функция косинус.
$f(x)=\cos x$ . Эта функция связана с синусом формулой приведения: $\cos x=\sin(x+\frac{\pi}{2})$ ; $\mathcal{D}(f)=\mathbb{R}$ ; период функции $\cos$ равен $2\pi$ ; функция $\cos$ чётна. Её график таков:

1.График функции $\cos x$ Область определения – множество всех действительных чисел.
2.Область значения – промежуток [-1; 1].
3.Функция cos х – четная: cos (-х)=cos х.
4.Функция cos х – периодическая. Наименьший положительный период равен 2p:
       cos (х+2p)= cos х.
5.Нули функции: cos х=0 при x=(p/2)+2pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
    cos х>0 при x Î ((-p/2)+2pn; (p/2)+2pn)), n Î Z,
    cos х<0 при x Î ((p/2)+2pn); ((3p)/2)+ 2pn)), n Î Z.
7.Функция cos х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента:
(cos х)¢ =-sin x.
8.Функция cos х возрастает при xÎ (-p+2pn; 2pn), n Î Z,
      и убывает при xÎ (2pn; p+ 2pn), n Î Z.
Функция cos х имеет минимальные значения, равные –1, при х=p+2pn, n Î Z, и максимальные
Функция тангенс.
$f(x)=\mathop{\rm tg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе обозначается также $\tan x$ ). По определению, $\mathop{\rm tg}\nolimits x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ . Функция $\mathop{\rm tg}\nolimits$ нечётна и периодична с периодом $\pi$ ;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(-\frac{\pi}{2}+k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi),$
то есть

не может принимать значений $x=\frac{\pi}{2}+k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ , при которых $\cos x$ (стоящий в знаменателе) обращается в ноль.

1.График функции $\mathop{\rm tg}\nolimits x$ Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме числа х=p/2+pn, n Î Z.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функция tg х – нечетная: tg (-х)=- tg х.
4.Функция tg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
tg (х+p)= tg х.
5.Нули функции: tg х=0 при x=pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
tg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,
tg х<0 при x Î ((-p/2)+pn; pn), n Î Z.
7.Функция tg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(tg х)¢ =1/cos²x.
8.Функция tg х возрастает в каждом из промежутков ((-p/2)+pn; (p/2)+pn), n Î Z,
Функция котангенс.
$f(x)=\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ (в англоязычной литературе также $\cot x$ ). По определению, $\mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{\cos x}{\sin x}$ . Если $x\ne\dfrac{k\pi}{2}$ ( $k\in\mathbb{Z}$ ), то $\mathop{\rm ctg}\nolimits x=\dfrac{1}{\mathop{\rm tg}\nolimits x}$ . Функция $\mathop{\rm ctg}\nolimits$ нечётна и периодична с периодом $\pi$ ;
$\displaystyle \mathcal{D}(f)=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}(k\pi;(k+1)\pi),$
то есть

не может принимать значения вида $x=k\pi$ , $k\in\mathbb{Z}$ , при которых $\sin x$ обращается в 0.

1.График функции $\mathop{\rm ctg}\nolimits x$ Область определения функции – множество всех действительных чисел, кроме чисел вида х=pn, n Î Z.
2.Область значения – множество всех действительных чисел.
3.Функция сtg х – нечетная: сtg (-х)=- сtg х.
4.Функция сtg х – периодическая. Наименьший положительный период функции равен p:
сtg (х+p)= ctg х.
5.Нули функции: ctg х=0 при x=(p/2)+pn, n Î Z.
6.Промежутки знакопостоянства:
    ctg х>0 при x Î (pn; (p/2)+pn), n Î Z,
    ctg х<0 при x Î ((p/2)+pn; p(n+1)), n Î Z.
7.Функция ctg х непрерывна и дифференцируема при любом значении аргумента из области определения:
(ctg х)¢ =-(1/sin²x).
8.Функция ctg х убывает в каждом из промежутков   (pn; p(n+1)), n Î Z.
Обратные тригонометрические функции.
Это функции арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Они определяются как функции, обратные к главным ветвям синуса, косинуса, тангенса и котангенса соответственно.
Arcsin x :
1.            Область определения – [-1; 1].
2.            Область значений – [-П\2; п\2].
3.            Монотонно возрастающая функция. (рис. 12)

Графики главной ветви $\sin$ и $\arcsin$
Arctg x :
1.                     Область определений – R.
2.                     Область значений - интервал (-П\2; П\2).
3.                     Монотонно возрастающая функция.
4.                     прямые у=-П\2 и у=П\2 – горизонтальные асимптоты.(рис. 13)

Графики главной ветви $\mathop{\rm tg}\nolimits$ и $\mathop{\rm arctg}\nolimits$

Список использованной литературы
1. Ш. А. Алимов «Алгебра», М., 1981 г.
2. А. Н. Колмогоров «Алгебра и начала анализа», М., 1991 г.

Bukvasha