Теория теней Беруни
(гномоника)

Предисловие
Выдающийся деятель Средневековья, универсальный ученый-энциклопедист Абу Райхан Мухаммад ибн Ахмад аль - Беруни, родился 3 -зулхижжи*⁾ 362 хиджры (973 мелодий, 4 сентября) в древнем центре Южного Хорезма в городе Кят (ныне город Беруни).
Из источников известно, что Беруни с детства отличался любознательностью и жаждой знаний. Он обучался у знаменитого ученого-энциклопедиста Абу Насра Мансура ибн Ирака, прозванного в то время Птоломеем. Ярким свидетельством признания учителем таланта и способностей своего ученика служит то, что Абу Наср ибн Ирак посвятил своему любимому ученику Беруни 12 научных трудов по астрономии, геометрии и математике.    
В 995 году эмир Гурганжа Маъмун I ибн Мухаммад Сиявуш захватил последний оплот династии Афригидов - крепость Кят и объявил себя шахом объединенного Хорезма. Беспорядки, царившие после этого исторического события  в Хорезме, вынуждают Беруни в возрасте двадцати двух лет покинуть Родину. В этот период он проживает в городах Ирана Гургане, Рае и здесь же знакомится с выдающимся ученым Абу Махмудом Хужанди, ведет переписку и научные дискуссии с Ибн - Сино  (Авиценной).
После смерти Маъмуна I в 998 году и воцарения на престоле Али ибн Маъмуна политическая ситуация в Хорезме несколько стабилизировалась. Али ибн Маъмун был правителем, жаждущим знаний, покровительствовал науке и культуре. Он поручил наставнику Беруни Абу Насру ибн Ираку собрать ученых во дворце и создать научную атмосферу. По приглашению Ибн Ирака, приблизительно в конце 1003 - в начале 1004 года, Беруни возвращается в Гурганж, и с этого момента для него начинается период процветания в науке: он руководит Академией Маъмуна, готовит учеников, ведет научные исследования в различных областях науки.
Научная деятельность Беруни, основное место в которой отводилось математике, физике, минералогии, этнографии и истории, была многогранной и плодотворной.  Его научные труды,  состоящие  из 11 книг: «Каноны Маъсуди», «Геодезия», «Минералогия» и труды по этнографии «Памятники минувших поколений», «Индия», в течение многих веков служили для ученых руководством в качестве основного пособия и не потеряли своей актуальности и в наши дни. В целом, Абу Райхан Беруни оставил 152 научных исследования. Из этого громадного наследия до нас дошло всего лишь 30.  
Основой создания настоящего трактата послужило научное наследие Беруни. Отметим, что оно имеет отношение к одному из разделов математики, называемому геометрией, в нем приводятся отдельные математические исследования, суждения и дискуссии Беруни. Текст сопровождается толкованиями и комментариями.
Известно, что Беруни было свойственно сильно развитое логическое мышление, умение верно осветить суть вопроса, доказать и довести все это до читателя в доступной форме. Эти качества Беруни наглядно проиллюстрированы  в его трактовке вопросов размера Земли и  расстояния от Земли до Луны и Солнца, в  дискуссиях о результатах предшественников в этой области, а также в трактовке недочетов по данной проблеме. Все это свидетельствует о том, что Беруни обладал яркими способностями в области естественных наук. 
Время, в котором жил Беруни, было очень сложным в социально-политическом отношении: захват Кята, где родился и вырос Беруни, перенесение центра в Ургенч, бродяжничество, самоуправство, зазнайство и корыстолюбие, которые господствовали  в обществе того времени, не могли не вызвать в душе мыслителя чувства протеста. И, действительно, они нашли свое отражение в следующих «крылатых» строках Беруни:
 «Хотя этот человек недалек в знаниях, но держит себя высокомерно всезнающим и даже допускает оскорбление других. Нас разделяют лишь богатство и роскошь, превращающие гордость в вину бедности.
 Богатство уйдет, знания останутся.
 Аллах наказывает того, кто обижает безобидного ученого человека и радуется содеянному.
 Несомненно, алчность и невежество ведут к произрастанию ростков зла» (аль – Беруни. Осор аль - боšия).             
Наш великий предок Беруни скончался в 440 году хиджры, то есть 13 декабря 1048 года мелодий в возрасте 75 лет в городе Газна. В книге «Номойи донишворон» («Письма учёных»), опубликованной в Тегеране (1878), о последних мгновеньях жизни учёного рассказывается: «Беруни был тяжело болен, он доживал свои последние дни. Как-то, когда он на какой–то миг пришёл в себя, его взгляд упал на друга, учёного Абулхасана Валвалижи, тогда Беруни попросил друга растолковать ему новые положения о наследстве. Абулхасан ответил, что для этого сейчас ещё не время. Посмотрев на друга, Беруни сказал: «О, мой великий друг, каждый, кто приходит в этот мир, непременно когда–нибудь умрёт, но разум диктует мне, что сейчас самое время осознать суть того, о чём ты когда-то мне и упоминал. Поэтому лучше мне умереть, зная об этом, чем умереть в незнании». Затем Абулхасан начал разъяснять то, о чём просил Беруни. Спустя несколько минут, Беруни уснул вечным сном. Это была последняя беседа учёного о науке».
Какой счастливый конец!  Это был конец  жизни ученого, который ушёл из жизни с чувством полного удовлетворения своей деятельностью...

Введение
С давних пор внимание многих ученых привлекали вопросы измерения небесных тел (Земли, Луны, Солнца) и расстояния до них от той точки, где мы находимся. В частности, ученые Хорезмской Академии Маъмуна и, в первую очередь, её  руководитель, великий ученый Абу Райхан Беруни, оставил значительный  след в этой области.
С целью измерения Земли, Луны и Солнца и определения расстояния от Земли до Солнца и Луны, Беруни создал совершенную с математической точки зрения теорию теней. Суть теории состоит в том, что, если мы от точки, где  стоим, на некотором расстоянии  направим на Солнце круг радиусом , то на Землю ляжет полная тень  (т.е. в этой точке круг закрывает солнце полностью) или частичная тень (в этих точках солнце закрывается частично). На основании измерений размеров этих теней Беруни разработал способ вычисления расстояния от Земли до Солнца, а также способ вычисления диаметра Солнца
           
1 – чертеж
Здесь  - диаметр Солнца, а  - диаметр круга, преграды (гномона),  - площадь полной тени, падающей от гномона,  и - площадь частичной тени .
В трактате показана возможность успешного использования на практике и включения в современные учебные пособия по математике,  созданного Беруни способа измерения радиуса Земли, расстояния от точки, на которой мы стоим, до какого-либо тела, находящегося на расстоянии от нас. Наряду с этим, в трактате даны фрагменты  из его книг,  высказывания, которые помогут читателю  оценить величие нашего соотечественника Беруни - математика даже с современной точки зрения.
Измерение расстояния на Земле и высоты  гор
 Если у нас возникнет  необходимость измерить высоту вертикально расположенного тела (например, минарета) , мы, отойдя к точке , (2-чертеж), расположенной на некотором расстоянии от этого тела, при помощи алидоды (нивелира) измерим угол  и из уравнения , или  легко сможем вычислить отрезок .

2 – чертеж
Задача более усложнится, если невозможно достичь основания вертикально расположенного тела, т.е. точки  (к примеру, если необходимо определить высоту тела на противоположном берегу реки или высоту пологого склона).
Аль - Беруни в своем труде «Гномоника» подробно останавливается на подобных задачах и, в частности, приводит способы их решения из книги «Брахмассиддхата»  индийского математика и астронома Брахмагупты.
По его мнению, чтобы измерить высоту тела, которое не достигает своего основания, нужно выбрать ровное место на некотором расстоянии от него (3 - чертеж).

3 -  чертеж
Выбрав точку  на ровном месте, вертикально к ней устанавливаем преграду (гномон)  и находим его полную тень . О том, как найти точку , помогающую определить полную тень гномона , Беруни предлагает следующее:
«… нужно идти в обратном направлении от точки  до того места, откуда  и  должны быть видны через диоптр алидоды на одном ориентире. Так как точка  расположена на Земле, то для определения её  нужно  лечь на землю или спуститься в яму, высотой в рост человека». (аль – Беруни. Математические и астрономические трактаты, «Фан», 1987, стр. 244). После  того, как  найдена точка , поднимаем второй гномон , равный гномону  и, как прежде, определяем его  тень . Из подобий ,  вытекают равенства:

 и с их помощью несложно определить:    

В своей книге «Геодезия» (ал – Беруний. Геодезия, «Фан», 1982, с.167) ученый создал простые доступные  методы  измерения расстояний на поверхности Земли.
Для этого он берёт квадрат  с равными сторонами, вбивает тонкий гвоздь в точки  и  и устанавливает длинную диоптрическую алидоду в точке  (4 - чертеж).

4 – чертеж
Устанавливаем квадрат в точке  таким образом, чтобы  точки  оказались расположенными на одной прямой линии. Затем из точки , бросив камень (по словам Беруни), проводим перпендикуляр .
Из:
,  
получаем равенства  
,                                           (1)
Размер Земли
Первые  попытки измерить диаметр Земли связаны с именем Эратосфена (276-196 годы до н.э). Он определил параметры Земного шара по состоянию Солнца над Асваном   и Александрией.
Когда в Асвоне Солнце находится в Зените, в Александрии оно имеет наклонение  по отношению к Зениту и отсюда уточнив, что на Земном шаре дуга, соединяющая Асван и Александрию, равна , т.е. она соответствует 1/50 части большой окружности Земли.
Отсюда вычислялась  протяженность  большой окружности Земли путём увеличения расстояния между Египтом и Александрией в 50 раз. Таким же способом Птолемей (II в. до н. э.) пытался вычислить размер Земли, и своё мнение по данной проблеме изложил в книге «География».  Ученые античного века в качестве единиц измерения использовали стадий, с  течением времени, в частности, начиная с эпохи Академии «Байтул - хикма» (IX в.), в стадийном методе измерения Земли и в других единицах измерения были обнаружены ошибки и противоречия. Поэтому халиф Аль - Маъмун ибн ар-Рашид поручил ученым «Байтул-хикма»  (Дома мудрецов) осуществить реальное (точное) измерение земного шара. Измерительные  работы, в которых приняли участие среднеазиатские ученые, проводились вблизи Масула в Синжарской степи.
В частности, под руководством нашего земляка аль - Хорезми ученые «Байтул – хикма»  успешно справились с заданием, уточнили радиус Земли, добились того, что он равен 3247 мил = 129865996 газ или  6406 км[*]⁾.
На самом деле радиус экватора Земли  км, а радиус полюса  равен 6357 км.
Абу Райхан Беруни (973 - 1048) в своих трудах «Геодезия», «Каноны Маъсуди» попытался обстоятельно описать измерение размеров земного шара и остановился ещё на одном новом усовершенствованном методе: «что касается размеров Земли, - пишет Беруни, - до нас, [т.е. до эпохи «Байтул - хикма» - А.С], дошли лишь описания римских и индийских ученых. У римлян и индийцев единицы измерения были разными в количественном соотношении. Индийцы измеряли окружность Земли милями, включавшими в себя от одного до 8 наших милей, и в различных измерениях их мнения менялись; в каждой из  пяти «Сиддихонта» окружность Земли описана с расхождениями. Римляне же измеряли её одной мерой и называли её «стадия». По мнению Галена, Эратосфен осуществил измерительные работы между городами Асван и Александрией, находящимися на одном меридиане.
Если основываться на мнение Галена в «Книге  доказательств»,   мнение Птолемея во «Введении в искусство сфериков»  и «Географии», то между мерами наблюдается разница. Подобные противоречия пробудили желание Маъмуна вновь уделить внимание данному вопросу и решить его с помощью ученых, проделать измерения на землях Масула в Синжарских степях.
Если человек движется по прямой линии на Земле, то, на самом деле,  он движется вокруг Земли по окружности. Но провести прямую линию на большое расстояние - дело очень сложное. Поэтому ученые Маъмуна в качестве ориентира определили полюс вселенной (здесь, возможно, имеется ввиду полярная звезда). Для измерения окружности они вычислили 1/360 части окружности Земли, равной  мили.
У меня появилось огромное желание самому вычислить размер Земли, и я выбрал большое ровное место в Журжане. Но из-за трудных условий пустыни, отсутствия надежных помощников, я нашел в Индии высокую гору с ровной поверхностью и использовал другой способ измерения. С вершины  горы  я обнаружил угол наклона соединения Неба и Земли (5-чертеж) и вычислил его как 0⁰34, измерил в двух местах вершину горы и вычислил её как 652 газ плюс половину  одной десятой части от него.  

5 – чертеж
Высота  горы,  перпендикулярная  сфере  Земли  -  это  линия    
(6 - чертеж). Пусть  - центр Земли, а  - касательная к Земле с вершины горы.

6 – чертеж
Соединив линию  с линией горизонта,  получим  треугольник .  Здесь все его углы известны, поскольку угол  - прямой, а угол  дополняет угол наклона горизонта, т.е. » (ал – Беруний. Šонуни - Маъсудий, 1973, V китоб, «Фан», 1973, с.386-387). Таким образом, по определению синусов, вычисляется радиус Земли . Из    , отсюда
 или                          (2)
Зная высоту горы  и , Беруни находит   км.
В своей книге «Геодезия» Беруни, описывая поход на Рим халифа ал-Маъмуна (830 - 832), отмечает, что с ним вместе  был и ученый-математик Абу Тайиб Санад ибн Али, пригласив которого, он поручил ему взобраться на гору, возвыщающуюся над морем с восточной стороны, измерить   угол наклона (для точности во время захода Солнца), что он, Санад ибн Али,  выполнил эту задачу, то есть он, использовав угол наклона и несколько вспомогательных треугольников, вычислил измерение радиуса Земли (ал – Беруний. Геодезия, «Фан», 1982, с.166).
Расстояние между небесными телами
Беруни пишет: «Диаметр солнца обозначен . Поверхность  Земли - ,  - гномон  тело,  дающее  тень  на  Землю,  - тень  этого  тела  (его  диаметр),  - центр  тени  (7 - чертеж, здесь  - полная тень,  - часть тени). Если нам известны , ,  и   , то мы определим расстояние от Солнца до Земли и диаметр Солнца*⁾.

7 – чертеж
 
Действительно, если провести  , то   и  известно. Его отношение к , такое же, как  к . Значит, известны  и треугольник .  Отношение  и  такое же, как    к . Итак,  , а значит    известна» (аль – Беруни. Математические и астрономические трактаты, «Фан», 1987, стр.210).
По утверждению Беруни, ~ , отсюда вытекают равенства
или
  или
Из  получаются равенства
  или  
                           или     
С помощью этих уравнений мы легко можем определить расстояние от Солнца до Земли , радиус Солнца .
 ,   ,               (3)
где
       
Если мы острые углы при  и  обозначим через  и , применив к  теорему синусов,  можно переписать формулы (3) в следующем виде:   
.                  (4)
И, наконец, продолжив прямые линии  или , определим точку , проведем прямую . Проведя перпендикуляр ^ , и пользуясь определением , получим формулы
                                 (5)
где
Формулы (3), (4), (5) - это формулы измерения расстояния между Землей и небесными светилами Луной и Солнцем, и  размеров Луны и Солнца. 
К сожалению, на практике из-за дальности расстояния до Луны и Солнца, а также ввиду использования простых приборов, величины  и  или углы    и  в формулах почти равны друг другу, а значит  знаменатели дробей почти равны 0. Поэтому в эпоху Беруни не было возможности для применения этих формул  в работах по измерению небесных тел. Хотя в указанной книге Беруни обстоятельно изложил попытки предшественников по измерению небесных тел, недостатки в их способах, и предложил   удобные и простые в теоретическом плане формулы, он не приводит конкретных цифр измерений Луны и Солнца.
Тем не менее, предложенными формулами можно пользоваться для измерения тел, до которых невозможно добраться и для вычисления расстояния до них. В этой связи было бы целесообразно называть эти формулы  в науке  формулами Беруни и на основе этого теорию теней (гномонику) связать с именем Беруни.

---