Глава 1. Уравнения. Системы уравнений
1. Линейные уравнения
1.                Уравнение первой степени вида , называется линейным уравнением. Где - переменные, числа  и  стоящие перед переменными называются коэффициентами, а и  - свободные члены. Запишем линейное уравнение
                 (1)
Для решения уравнения (1) перенесем переменные содержащие коэффициенты, в левую часть уравнения с положительным знаком, а свободные члены в правую часть уравнения с отрицательным знаком, получим уравнение вида
                    (2)
Пусть , а , тогда уравнение (2) будет иметь вид
                  (3)
Примеры.
1) Решить уравнение
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть уравнения, а свободные члены в правую часть, получим:
Используя уравнение (3) получим:

Ответ:
2) Решить уравнение
Видно, что в этом уравнении есть один отрицательный свободный член – 4. Но, перенося его в правую часть уравнения еще с одним отрицательным знаком, получим , тогда

Отсюда:

Ответ:
3) Решить уравнение
В этом уравнении один коэффициент отрицательный, перенося его и еще с положительным знаком в левую часть нет смысла, т.к. , тогда:

Отсюда:

Ответ:
4)
Используя объяснения к уравнению 2), получим

Отсюда:

Ответ:
5)
Используя объяснения, приведенные к уравнениям 1), 2), 3), 4), получим

Отсюда:

Ответ:
2.                Пусть дано линейное уравнение вида
             (4)
В отличие от уравнения (1) переменные, содержащие коэффициенты, переносятся в левую часть с отрицательным знаком, в правую часть свободные члены переносятся тоже со знаком отрицательным. Но свободный член  в уравнении (4) и так стоит в правой части, поэтому он не будет менять знак, поменяет знак только член . И так, решим уравнение (4).
Перенесем переменные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член  в правую часть тоже с отрицательным знаком, получим
            (5)
Отсюда:

Если , то
Решение уравнения (4) можно записать в виде системы:
       (6)
Пример. Решить уравнение
Перенесем неизвестные с коэффициентами в левую часть с отрицательным знаком, а член  в правую часть со знаком «минус», тогда

Отсюда:

Ответ:
3.                Линейное уравнение с двумя переменными имеет вид:
               (7)
Для решения уравнения (7) выразим переменную  через переменную , т.е. получим уравнение вида
                      (8)
Для нахождения решения уравнения (7) в уравнении (8) выбирается произвольное (любое) значение . Таким образом, уравнение (7) обладает множеством решений.
Пример. Решить уравнение
Воспользуемся формулой (8), тогда

Теперь выберем абсолютно любое значение икса, например, при  , получим:

Ответ:
2. Квадратные уравнения
Уравнение второй степени вида  называется квадратным. Для решения такого уравнения воспользуемся следующими формулами:
 и       (9)
Где  и  - корни квадратного уравнения
Пусть , тогда если , то можно записать:
                           (10)
Если , то уравнение не имеет решений.
Пример. Решить уравнение
Пользуясь формулами (9) получим:

Ответ:  и

3. Уравнение третей степени
Уравнение третей степени вида  называется кубичным уравнением. Для решения такого уравнения заменим  неизвестное -  на коэффициент  и вводя подстановку .
Получим более упрощенное уравнение третей степени:
        (11)
Поскольку уравнение в третей степени, то соответственно решениями этого уравнения будут три корня, которые сейчас определим из следующей системы
         (12)
Корни - есть решения уравнения, где  - комплексное число.
4. Уравнения высших степеней сводящиеся к квадратным
1.Рассмотрим уравнение, у которого одна переменная находится в четвертой степени, т.е. дано уравнение вида:
             (13)
Для решения такого уравнения, выразим через , получим,
                (14)
Решая это уравнение по следующим формулам, имеем:
 и                   (15)
Пример. Решить уравнение.
Выразим через , получим , решая это уравнение по формулам (19) получим


Отсюда получаем множество корней (решений)
Ответ: .
2. Рассмотрим уравнение, у которого одна степень находится в пятой степени, т.е. имеется уравнение вида
               (16)
Для решения такого уравнения выберем переменную, у которой степень самая меньшая, по сравнению с другими степенями, это будет переменная , вынося ее за скобку получим:
             (17)
Отсюда , т.е. мы получили некоторое множество нулей. Уравнение , решается через дискриминант.
Пример. Решить уравнение
Вынесем  за скобку, получим , отсюда , который имеет множество корней (0; 0; 0). Далее, решая уравнение,  получим  и . Таким образом, получили множество решений (0; 0; 0; -2; ).
5. Системы уравнений
Пусть дана система уравнений
                   (18)
где  - коэффициенты при неизвестных  и ,  и  - свободные члены.
Система (18) решается тремя способами 1) Графический способ; 2) Способ подстановки; 3) Способ сложения. Первый способ рассматривать не будем. Остальные способы рассмотрим при решении следующих систем уравнений.
1)                Способ подстановки.

Возьмем первое уравнение системы  и из этого уравнения выразим через , получим:

Подставив это выражение во второе уравнение системы, получим

Отсюда,

Запишем последнее уравнение и решим его:

Подставив теперь найденное значение  в выражение, стоящее выше, получим:

Ответ:  и
2)                Способ сложения.

Умножим первое и второе уравнения система на 2, получим:

Затем, сложив почленно уравнения системы, получим . Найдем значения игрека, для этого найденное значение икса подставим в любое уравнение исходной (первоначальной) системы, получим:

3)                Способ сложения.
Запишем систему

Умножим первое уравнение на 2, а второе на 2, получим:

Сложим 6x и 8x, получим 14x и 12+6=18, отсюда . Подставив теперь значение x в любое уравнение системы, получим:

Ответ:
7. Система трех уравнений с тремя переменными
                           (19)
где - коэффициенты при неизвестных ,  - свободные члены.
Для решения системы (19) составим определитель
                        (20)
Первое число у индекса указывает число (номер) строки, второе число – номер столбца. Сам определитель обозначается буквой d.
Для вычисления определителя пользуются правилом Крамера, т.е.:
d= =
Корни системы (24) находятся по формулам:

Где  - числа, которые следует определить по следующему правилу:

Таким же методом определяются остальные определители


ГЛАВА 2. ГРАФИК ФУНКЦИИ
1. График функции
Функция  называется линейной функцией. Для нахождения точек пересечения графика функции нужно решить два уравнения:

Пример. Функция задана уравнением , найти точки пересечения с осями координат.
Решим два уравнения
Ответ: точки x =-2 и y = 4 являются точками пересечения с осями координат.
2. Квадратичная функция
Функция вида называется квадратичной. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат, нужно решить квадратное уравнение .