Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
«Гомельский государственный университет
им. Ф. Скорины»
Математический факультет
Кафедра МПМ
РЕФЕРАТ
Начала систематического курса стереометрии в средней школе
Исполнитель:
Студентка группы М-32 ____________ Кольцевая А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент ____________ Лебедева М.Т.
Гомель 2007

Содержание

Введение

1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)

1.1 Методика изучения аксиом стереометрии

1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей

2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости

Заключение

Литература

Введение
При изучении аксиом важно, чтобы учащиеся поняли абстрактный характер геометрических понятий, увидели процесс абстрагирования в действия и научились замечать его в окружающей действительности.
Изучая геометрические понятия “линия”, “точка”, “прямая”, “плоскость” и др., учитель акцентирует внимание учащихся на том, что каждое из них – результат абстрагирования (отвлечения) от реальных объектов.
Например, линия границы на карте – полоса определённой ширины (существенное свойство границы) для пограничников.
Как видно, в зависимости от цели рассмотрения в одном случае существенными свойствами границы являются одни свойства, а в другом – другие. В качестве примеров, позволяющих представить себе плоскость, выбираем ровную поверхность стола, гладкую поверхность озера, участок поля, простирающийся до горизонта.
В данном случае, как и для прямой, плоскость представления неограниченно продолженной во все стороны, т.е. абстрагируемся от свойства ограниченности каждого из перечисленных объектов.

1. Методика изучения параллельности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения теорем и их доказательства (на примере признака параллельности прямой и плоскости)
1.1 Методика изучения аксиом стереометрии
Построение системы аксиом стереометрии происходит по двум направлениям: 1) переформулирование аксиом планиметрии для пространства; 2) добавление новых “специфических” аксиом стереометрии.
Первое из них осуществляется через принятие аксиомы: “В каждой плоскости пространства справедливы (выполнимы) все аксиомы планиметрии”. Второе состоит в формулировании нескольких аксиом принадлежности для пространства. В учебнике Погорелова использовано второе направление. Т.к. вводится новый геометрический образ – плоскость, то её основные свойства в пространстве выражают аксиомы:
С₁. Какова бы не была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей.
С₂. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
С₃. Если две различные прямые имеют общую точку. То через них можно провести плоскость, и притом только одну.
Таким образом, система аксиом стереометрии состоит из аксиом планиметрии и группы аксиом С.
Методическая схема изучения аксиом стереометрии
1.  Разъяснить абстрактный характер геометрических понятий.
2.  Разъяснить сущность аксиом и их роль в построении геометрии, сформулировать аксиомы.
3.  Проиллюстрировать аксиомы на моделях.
4.  Закрепить аксиомы путём логического анализа их формулировок.
5.  Закрепить аксиомы в процессе их применения к выводу первых следствий геометрии принадлежности в пространстве, к решению задач.
Проиллюстрируем схему на аксиомах группы С.
1.  Понятие плоскость, точка, прямая – абстрактны, т.к. в каждом из случаев отвлекались от свойств ограниченности, линейных размеров, возможной ширины, которыми обладали эти предметы в окружающей действительности.
2.  Перечисленные свойства позволяют строить сечение многогранников, доказывать следствия, вытекающие из аксиом.
3.  В качестве иллюстрации аксиом на модели воспользуемся рисунком куба, по которому учащиеся могут ответить на следующие вопросы: перечислить точки, принадлежащие плоскостям: (ABC),(AA₁B₁),(D₁C₁C),(A₁B₁C₁); назвать плоскости, которым принадлежат точки D₁,C,B₁,A,M,N; назвать линии пересечения плоскостей (AA₁D₁) и (ABC), (DD₁C₁) и (BB₁C₁); имеют ли они общие точки; можно ли провести плоскость через следующие пары прямых: AB и AD, A₁B₁ и BB₁, A₁D₁ и C₁C, BC и AA₁.

4. Аксиома С₁: “Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежащие ей”. Её анализ можно направить вопросами: О каких геометрических фигурах говорится в этой аксиоме? - О плоскости и точках. Что именно говорится о плоскости и точках? - На каждой плоскости имеются точки, принадлежащие ей; для каждой плоскости можно указать точки, которые ей не принадлежат. Сколько утверждений сформулировано в аксиоме С₁? Сформулируйте их по отдельности. - Сформулированы два утверждения: 1) какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие ей; 2) какова бы ни была плоскость, существуют точки, не принадлежащие ей. Какими другими словами можно заменить слова “какова бы ни была плоскость”?
5. На рисунке изображены две различные плоскости a и b, имеющие общую точку A. Сколько общих точек имеют плоскости a и b?

Т.к. плоскости – неограниченны и используя аксиому С₂, получаем ответ: бесконечно много точек, расположенных на прямой, являющейся их линией пересечения.
Задача: Можно ли через точку пересечения двух данных прямых провести третью прямую, не лежащую с ними в одной плоскости? Объясните ответ.
По аксиоме С₃ пересекающиеся данные прямые задают положение одной из плоскостей в пространстве. В пространстве найдётся прямая, не принадлежащая данной плоскости (применяем аксиому С₁, по которой выбрав любую точку, не принадлежащую построенной плоскости, и точку пересечения данных прямых, строим искомую прямую). Такую прямую можно построить.
Роль аксиом в построении геометрии хорошо видна при доказательстве первых следствий, которые в действующем учебнике представлены в виде теорем.
Т.15.1. Через прямую и не лежащую на ней точку можно построить плоскость, и притом только одну.
Для лучшего выделения всех предложений, используемых при доказательстве следствия, целесообразно доказательство оформить в виде таблицы с двумя колонками “утверждения” и “на основании”.

Теорема доказана.
Т.15.2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежит этой плоскости.
Т.15.3. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.
Следствие из Т.15.2. Плоскость и не лежащая на ней прямая либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Выяснить, следствиями из каких аксиом являются сформулированные теоремы? (аксиома 1, аксиома С₃).
Учащимся необходимо объяснить, что доказательство приводится не только с целью убеждения в истинности какого-либо предположения, но и для того, чтобы свести данное предположение к ранее известным, показать, каким образом из аксиом, определений и уже доказанных теорем следует данное предположение.
1.2 Методика изучения параллельности прямых и плоскостей
Содержание: определения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве, теорема о существовании и единственности прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой, транзитивность параллельности прямых, параллельность прямой и плоскости (определение и признак), параллельность плоскостей (определение и признак), изображение пространственных фигур на плоскости.
Наряду с обычными целями обучения геометрии здесь большую роль играет цель формирования у учащихся пространственного представления и воображения.
Методика изучения определения параллельных и скрещивающихся прямых построена с помощью логической операции отрицания: “Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются”. “Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися”. Точный смысл понятий: “прямые не пересекаются”, “прямые не лежат в одной плоскости” может быть получен с помощью операции отрицания понятий “прямые пересекаются”, “прямые лежат в одной плоскости”.
Методическая схема изучения параллельных и скрещивающихся прямых в пространстве
1.  Сообщить определения;
2.  проиллюстрировать эти понятия на модели куба, классной комнате, рисунке;
3.  провести логический анализ формулировки определения;
4.  выполнить задания на нахождение параллельных и скрещивающихся прямых на модели (рисунке) куба;
5.  сопроводить показ параллельных и скрещивающихся прямых соответствующими обоснованиями.
Для облегчения логического анализа определений и построения отрицания полезно на доске выполнить следующие записи:
1.  прямые a и b пересекаются: имеют общую точку, и притом только одну;
2.  прямые a и b не пересекаются: не имеют общих точек или общих точек более одной.
Понятие параллельного проектирования вводится с помощью генетического определения. В соответствии с общей особенностью генетических определений используется методическая схема изучения параллельного проектирования:
·         одновременно проговорить определения и произвести построения (выполняется учителем);
·         одновременно проговорить определения и показать соответствующие построения на готовом рисунке (выполняется учеником); стереть имеющийся на доске рисунок;
·         одновременно проговорить определение и выполнить новый рисунок (выполняется учеником).
Методику изучения теорем и их доказательств рассмотрим на примере признака параллельности прямой и плоскости: “Если прямая, не принадлежащая плоскости, параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости”.
Методическая схема:
1)  подвести учащихся к теореме, сформулировать ее;
2)  выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3)  сообщать общую идею теоремы;
4)  привести план доказательства;
5)  предоставить учащимся возможность самостоятельно осуществить док-во;
6)  осуществить доказательство (ученик);
7)  закрепить доказательство путем его воспроизведения;
8)  применить теорему к решению задач.
Подведение учащихся к теореме: на стол положим спицу а₁, вторую спицу положим так, чтобы она была параллельна спице а₁.
Вопрос: что можно сказать о взаимном расположении спицы а и поверхности стола?
После опыта задается вопрос: Какую теорему можно сформулировать?
Идея доказательства: (после выполнения рисунка и краткой записи теоремы).
Выполним доп. построение: через параллельные прямые а и а₁ проведем плоскость a₁.
Док-во от противного:

Учтем, что все общие точки плоскостей a и a₁ должны принадлежать прямой а₁.
План доказательства:
1)  проводим плоскость a₁;
2)  делаем допущение, что а не параллельна a;
3)  рассмотрим точку А, точку пересечения прямой а и плоскости a;
4)  приходим к выводу, что прямые а и а₁ пересекаются;
5)  противоречие;
6)  а//a.
После проведения доказательства решим следующую задачу:

Пусть SABC тетраэдр. MKP- середины ребер SA, SB, SC
Как располагаются прямые MK, KP, MP относительно ABC?
MK -средняя линия DASB => MK //AB => MK//ABC. Аналогично для др. прямых.

2. Методика изучения перпендикулярности прямых и плоскостей. Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
Содержание: определения: перпендикулярных прямых, перпендикулярных прямой и плоскости, перпендикуляра к плоскости, расстояние от точки до плоскости, наклонной, прямоугольной проекции наклонной, перпендикулярных плоскостей, теоремы о перпендикулярных прямых, признак перпендикулярности прямой и плоскости, теорем о связи между параллельностью и перпендикулярностью прямых и плоскостей в пространстве, теорема о трех перпендикулярах, теорема о перпендикулярных плоскостях.
Т.к. в учебнике Погорелова не вводится понятие о перпендикулярных скрещивающихся прямых то: пряма а, пересекающая плоскость a, называется перпендикулярной к плоскости a, если она перпендикулярна к любой прямой в плоскости a, проходящей через точку пересечения прямой а с плоскостью a.
Определения, приведенные в этой теме, относятся к генетическим (конструктивным), поэтому при их изучении используют методическую схему, определенную в “2” для параллельного проектирования. Согласно определения к плоскости проводим прямую, кот. пересекает ее в некоторой точке А. В этой плоскости найдется прямая, проходящая через точку пересечения.
Если эта прямая перпендикулярна к данной прямой, то ее называют перпендикулярной к плоскости. По рисунку куба попросить учащихся обозначить ребра куба, перпендикулярные к плоскостям AA₁BB₁, ABCD, D₁C₁CD, и назвать плоскости, которым перпендикулярны ребра C₁D₁, A₁D₁, BC.


Признак перпендикулярности:
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна к двум прямым в этой плоскости, то она перпендикулярна к плоскости.
Сформулировать эту теорему учащиеся смогут сами, используя приведенную выше задачу (например, ребро А₁D₁ перпендикулярно к плоскости DD₁C₁ => А₁D₁^DD₁ и А₁D₁^D₁С₁ т.е. двум прямым лежащим в этой плоскости).
Методическая схема изучения признака перпендикулярности прямой и плоскости
1)  подвести учащихся к признаку, сформулировать его;
2)  выполнить рисунок, краткую запись теоремы;
3)  сообщать общую идею доказательства теоремы;
4)  выполнить доп. построения;
5)  сообщать идею доказательства теоремы в более конкретной форме ;
6)  привести план доказательства;
7)  изложить доказательство ;
8)  закрепить доказательство по частям;
9)  воспроизведения доказательства полностью;
Для того чтобы подвести учащихся к теореме можно воспользоваться и др. моделью, состоящей из листа картона и нескольких спиц. С ее помощью показать, что если прямая перпендикулярна только к одной прямой, расположенной в плоскости a, то этого не достаточно, чтобы прямая а была перпендикулярна к плоскости a.
В учебнике дано слово “пересекающиеся” прямые. Здесь приведено традиционное доказательство, основанное на применении признаков равенства треугольников. Одно из первых доп. построений- проведение через точку А произвольной прямой Х, что необходимо для того чтобы доказать справедливость определения прямой, пересекающей плоскость, этой плоскости. Вторая часть доп. построений: AА₁=AА₂, произвольная прямая СВ, пересекающая прямые b, х, с. А₁С, А₁Х, А₁В, А₂С, А₂Х, А₂В - для образования треугольников, равенство которых будет доказано.

План доказательства:
При наличии подробного плана доказательства краткую запись делать не целесообразно. Оставшаяся часть проводится устно.
Пункт 1 плана можно осуществить, направляя учащихся вопросами типа: Какую фигуру надо рассмотреть? Какое ее свойство нужно установить?
После того как доказано, что для DА₁СA₂ выполняется равенство А₁С=A₂С?, Почему А₁С=А₂С? Почему А₁В=А₂В? Почему DА₂ВС=DА₂ВС? и т. п.

Заключение
При изучении аксиом целесообразно показать, что многие из них появились в результате наблюдения и абстрагирования различных видов практической деятельности.
Например, при ознакомлении учащихся с аксиомой прямой линии: “Через две различные точки пространства проходит, и притом только одна, прямая” можно рассказать о способе распиловки бревна на доски вручную.
Эффективными для развития пространственного воображения является использование шарнирных моделей, умение учащихся моделировать условия задач с помощью подручных средств. При изучении многогранников полезны каркасные модели тел, изготовленные учащимися.

Литература

1. К.О. Ананченко «Общая методика преподавания математики в школе», Мн., «Унiверсiтэцкае»,1997г.
2. Н.М.Рогановский «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
3. Г.Фройденталь «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
4. Н.Н. «Математическая лаборатория», М., «Просвещение», 1997г.
5. Ю.М.Колягин «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. А.А.Столяр «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.