Антон Никифоров
Напомню для начала некоторые факты из теории универсальности Митчелла Фейгенбаума. Будем называть непрерывное отображение отрезка в себя унимодальным, если внутри отрезка имеется точка экстремума и по обе стороны от неё отображение является строго монотонным (с одной из сторон возрастающим, с другой убывающим). Условимся далее рассматривать только унимодальные отображения вида
Если последовательность {} при данном r состоит из n точек, такую последовательность будем называть n-циклом, что =f( ), =f( ), …, =f( ) или 
. Заметим, что производная порядка n функции (n раз вычисленной функции f(x)) в точке x по правилу дифференцирования сложной функции равна .
Точки цикла, удовлетворяющие соотношению
называются неподвижными.
Величина (так называемый мультипликатор) определяет устойчивость n-цикла и её принято называть устойчивостью (stability, [2], p.121). n-цикл называется устойчивым, если TD width=10% style='width:10.0%' P style='margin-top:6.0pt'FONT style='font-size:14.0PT'FONT style='font-size:12.0pt'(3) /FONT/FONT/P /TD /TR /TABLE P style='margin-top:6.0pt'Данное соотношение встречается также и в следующей записи: /P TABLE border=0 style='width:100.0%' TR TD width=90% style='width:90.0%' P style='margin-top:6.0pt'FONT style='font-size:14.0PT'FONT style='font-size:12.0pt'IMG width=145 height=25 src="http://images.km.ru/education/referats/img/43636~016.gif",n>>1 ([1], стр. 49),
(3.1) |
| Рис.1 | Или в таком виде: Расстояния от точки , где - точка экстремума рассматриваемого отображения (на рис 1. x=1/2), до ближайшей к ней точки на - цикле подчиняются следующему соотношению: Константы Фейгенбаума имеют значения ,  и являются ни много ни мало мировыми транцедентными числами, такими как или e. |
Сказку о том, как Фейгенбаум сидел в тени деревьев и вычислял их на своём калькуляторе HP-65 с золотистыми кнопочками вы, наверное, слышали. Это был первый программируемый калькулятор и стоил ни много ни мало аж 400 (четыреста!) долларов. Наивно полагать, что своё удивительное открытие Фейгенбаум сделал, пользуясь исключительно калькулятором: все-таки в то время он работал в Лос-Аламосе, а у военных всегда были и будут самые мощные компьютеры в мире, однако открытие действительно было чудесным - какие бы унимодальные отображения мы не рассматривали, скейлинг для них (т.е. "волшебные" числа и ) будет тем же самым.
Алгоритм
Интересно, что точки также можно использовать для расчета , этим факт мы и будем использовать в дальнейшем. Обратим внимание, что в точках мультипликатор всегда равен нулю, что автоматически означает устойчивость этих циклов:
| (a) | Например, для цикла периода два: | |
| | , где  | |
| | , таким образом | |
| | | (5.1) |
| (б) | Цикл периода четыре: | |
| | , где  | |
| | , таким образом | |
| | | (5.2) |
Для произвольных же -циклов справедливо выражение:
Уравнение (5.3) легко решается относительно параметра , например, с помощью метода последовательных итераций Ньютона:
Здесь i - номер итерации. Таким образом, весь процесс вычисления, скажем, константы сводится к нахождению таких значений параметра R, при которых бифуркационная диаграмма пересекает линию . Для этого необходимо решить уравнение (6), проитерировав его раз.
НА ВХОД ПОДАЕМ:
Начинаем итерировать функцию f cо следующего значения:
Итерируем производную функции начиная с
Начальные приближения двух значений параметра R: , 
Разумное начальное приближение для постоянной :
НА ВЫХОДЕ ПОЛУЧАЕМ:
А весь процесс может быть описан следующими выражениями:
, n=2,3,4,…
, i=0,1,2,…
Рассмотрим на примерах как выглядят непосредственные вычислительные формулы.
ПРИМЕР 1:
При данном значении функция f будет зависеть только от константы r, обозначим эту функцию как . Тогда предыдущее уравнение можно будет переписать:
ПРИМЕР 2:
ПРИМЕР 3:
Программу расчета константы вы можете найти здесь. Её легко модицифировать для расчета постоянной , что предоставляется проделать читателю. Результат расчета в зависимости от шага i приводится ниже.
| i | |
| 1 | 6.9032539091... |
| 2 | 4.7443094689... |
| 3 | 4.6744478277... |
| 4 | 4.6707911502... |
| 5 | 4.6694616483... |
| 6 | 4.6692658098... |
| ... | ... |
| 11 | 4.66920173800930... |
Список литературы
[1] Г.Шустер, "Детерминированный хаос. Введение", М:Мир, 1988
[2] K.Briggs "Feigenbaum Scaling in Discrete Dynamical Systems", PhD thesis, 1997
[3] Е.Б.Вул, Я.Г.Синай, К.М.Ханин, "Универсальность Фейгенбаума и термодинамический формализм", УМН, т.39, вып.3(237), 1984
[4] М.Фейгенбаум, "Универсальность в поведении нелинейных систем", УФН, т.141, вып.2, октябрь 1983
[5] Н.Н.Калиткин, "Численные методы", М:Наука, 1978
[6] Метод Ньютона
