Криптосистеми

1. ОБЧИСЛЮВАЛЬНО СТІЙКІ ТА ЙМОВІРНО СТІЙКІ КРИПТОСИСТЕМИ

Криптоаналітик знає криптиосистему, може мати апаратуру, може перехоплювати криптограми. При цьому, криптоаналітик може визначити:

- М_і → С_j – ? ;

- K_ij → М_і → С_j – ?

Атака при відомих парах повідомлень та криптограм

М_і → С_j; K_ij – ?

Атака з вибором повідомлення

Криптоаналітик знає М_і та алгоритм зашифровування

Мі →

Kij

→ Сj

(М_і , С_j) → K_ij – ?

Атака з вибором криптограм

Сj →

Kij

→ Мі

(С_j , М_і) → K_ij

Адаптивна атака

Така атака, при якій може здійснюватись зашифровування та розшифровування

Визначення обчислювально стійкої криптосистеми та умови реалізації

Обчислювально стійка криптосистема визначається як така, у якої

.

Така система може будуватись як і безумовно стійка криптосистема. У обчислювально стійких криптосистемах замість ключової послідовності К_i використовують Г_i.

Процес – процес гамаутворення (шифроутворення).

Розшифровування здійснюється аналогічно з безумовно стійкою криптосистемою:

Ключ повинен породжуватись рівно ймовірно, випадково та незалежно. Як правило, більшість пристроїв працюють з бітами.

,

.

Функція Ψ, для забезпечення необхідного рівня стійкості, повинна задовольняти ряду складних умов:

1. Період повторення повинен бути не менше допустимої величини:

2. Закон формування гами повинен забезпечувати „секретність” гами. Тобто, Г_і повинна протистояти криптоаналітику

В якості показника оцінки складності гами використовується структурна скритність:

,

,

де – повний період;

– кількість бітів, які криптоаналітик повинен одержати, щоб зробити обернення функції Ψ, тобто знайти ключ.

3. Відновлюваність гами в просторі та часі.

4. Відсутність колізії, тобто, співпадання відрізків гами.

Розглянута система відноситься до класу симетричних.

В якості оцінки стійкості використовується така множина параметрів

.

1. =128, 192, 256, 512

.

2. біт.

3. Безпечний час для атаки типу „груба сила”:

.

4. Відстань єдності шифру . Можна показати, що для обчислювально стійкої криптосистеми справедливо співвідношення:

,

де – умовна апостеріорна ентропія криптоаналітика;

– ентропія джерела ключів;

l – довжина зашифрованого тексту або гами;

d – збитковість мови (під надмірністю d розуміється ступінь корельованості (залежності) символів у мові і не порівняно ймовірностні їхньої появи в повідомленні);

m – розмірність алфавіту.

Криптоаналіз вважається успішним, якщо =0.

Фізичний зміст l₀ – мінімальна кількість гами шифрування, яку необхідно достовірно перехопити, щоби мати можливість розв’язати задачу визначення ключа, або обернення функції Ψ. Якщо n < l₀ , то однозначно повідомлення.

Імовірно стійка криптосистема відноситься до класу асиметричної:

При відомому одного з цих ключів складність повинна бути не нижче ніж субекспоненціальна

.

В залежності від виду двохключових перетворень криптоперетворення можна розділити на:

1) криптоперетворення в кільцях. Задача факторизації модуля на два простих числа:

2) криптоперетворення в полях Галуа GF(p). Задача розв’язання обернення функції:

,

де – відкритий ключ;

– первісний елемент;

– особистий ключ;

Р – просте число.

3) криптоперетворення в групах точок еліптичних кривих E(GF(q)). Задача розв’язання дискретного логарифму:

,

де d – особистий ключ;

Q – відкритий ключ;

G – базова точка;

q – поле.

2. МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕНЬ

Криптоперетворення розподіляються на:

- симетричні, якщо виконується умова:

,

або ключ обчислюється не нижче ніж з поліноміальною складністю;

-асиметричні, якщо виконується умова:

,

або ключ може бути обчислений при знанні іншого не нижче ніж з субекспоненційною складністю.

Поліноміальною складністю називається така складність, при якій n входить в основу:

Субекспоненційною складністю називається така складність, при якій n входить в показник:

.

Основною ознакою для таких криптоперетворень являється ключ (або ключі). Кожне криптоперетворення задається прямим і зворотнім перетворенням:

Основні асиметричні криптоперетворення по математичному базису:

1. перетворення в полях GF(p);

2. перетворення в кільцях N_Z;

3. перетворення на еліптичних кривих EC.

Основні симетричні криптоперетворення по математичному базису:

1) афінні:

,

де А – деяка матриця;

2) нелінійні: не можна представити у вигляді лінійної функції.

В залежності від виду симетричні криптоперетворення діляться на:

- підстановка;

- гамування;

- управляємий зсув бітів;

- перестановка і інші елементарні перетворення.

Сутність асиметричних криптоперетворень в кільці

Нехай М_і – блок інформації, який треба захистити. Представимо цей блок у вигляді числа l_M. Використовується ключова пара (Е_к, D_к), що породжується випадково.

Пряме перетворення:

,

де - функція Ейлера.

.

Зворотне перетворення:

,

т.ч. перетворення зворотне і однозначне.

Стійкість проти атак в кільці визначається складністю факторизації числа N на прості числа P та Q.

Сутність асиметричних криптоперетворень в полі

Нехай є просте поле Галуа GF(p). Для кожного p існує множина первісних елементів:

.

Кожний первісний елемент породжує поле:

.

Криптоперетворення пов’язані з побудуванням пари ключів. Нехай є два користувачі А та В.

А	В
ХА	ХВ

де Х_А, Х_В – випадкові ключі довжиною l_k;

Y_А, Y_В – відкриті ключі.

При побудуванні використовуються властивості поля.

,

де r – сеансовий ключ.

Користувач А передає користувачу В пару . Потім користувач В обчислює:

.

Таким чином, перетворення в полі є зворотнім та однозначним.

Модель криптоаналітика заключається в тому, що необхідно знайти Х_В. Реалізуючи рівняння відносно Х_В одержимо секретний ключ. Стійкість проти атак в полі визначається складністю розв’язання рівняння .

Сутність асиметричних криптоперетворень в групі точок еліптичних кривих

За 20 років розроблено нові математичні апарати, які дозволяють ефективно розв’язувати рівняння, що реалізовані в полях та кільцях. В 90-х роках було запропоновано використовувати криптоперетворення, що базуються на перетвореннях в групі точок еліптичних кривих над полями GF(p), GF(2^m), GF(p^m).

Для випадку простого поля:

елементом перетворення є точка на еліптичній кривій, тобто ,що обчислюється за модулем р. Формується ключова пара:

, де .

,

де G – базова точка на еліптичній кривій порядку

Q_A – відкритий ключ, точка на еліптичній кривій з координатами (х_а, у_а).

Задача криптоаналітика знайти таємний ключ d_A. Складність розв’язку цього рівняння набагато вище, ніж в полі. В полі – субекспоненційна складність, а в групі точок еліптичних кривих – експоненційна складність.

3. СИМЕТРИЧНІ КРИПТОПЕРЕТВОРЕННЯ

Застосовувані на практиці криптоперетворення розділяють на 2 класи по стійкості:

1. обчислювально стійкі.

2. ймовірно стійкі (доказово стійкі).

Основним показником, по якому оцінюються такого роду системи є безпечний час:

Nвар – кількість команд, операцій для рішення задачі криптоаналізу.

g - продуктивність криптосистеми, вар/сек.

k – коефіцієнт кількості сек/рік

Рр – імовірність рішення задачі.

ВР і ДС повинні задовольняти. До доказово стійких перетворень відносять перетворення з відкритими ключами, з відкритим поширенням ключів і т.д. У цих системах задача криптоаналізу полягає в рішенні якоїсь іншої математичної задачі. Обчислювально стійкі системи реалізуються за рахунок застосування симетричних криптоперетворень.

У симетричних криптосистемах ключ зашифрування або збігається з ключем розшифрування, або обчислюється один з іншого з поліноміальною складністю.

Поліноміальна складність

Нехай n – розмірність вхідних даних, що підлягають криптоперетворенню і нехай t(n) є складність перетворення цих даних у сек. тактах, командах. Складність називають поліноміальної, якщо вона представлена:

- набір констант.

- експонентна складність

В даний час як функцію f реалізуючої криптоперетворення використовуються афінні шифри.

Афінне перетворення – перетворення, яке можна одержати комбінуючи рухи, дзеркальні відображення і гомотепію в напрямку координатних осей.

Гомотепія – перетворення простору чи площини щодо точки по направляючим осях з коефіцієнтами.

До афінних шифрів відносяться шифри зрушення, лінійні афінні шифри.

У потокових криптоперетвореннях об'єктами взаємодії є символи повідомлення Мi і символи ключа Kj, причому з використанням символів ключа формується Гi.

Мi , Kj ,

Рис 1

Розшифрування:

При обчисленні необхідно строго синхронізувати по i, тобто: Гi при розшифруванні і зашифруванні та сама.

М – ічне шифрування (по mod).

Приклад:

Двійкове гамування

Гi повинна породжуватися псевдовипадковим чи випадковим процесом. Реалізація процесу повинна залежати від вихідного ключа.

Правильне розшифрування виконується за умови, що відправник і одержувач використовують той самий ключ, вони можуть сформувати однакові гами. Необхідно забезпечити синхронізацію по i.

Симетричні криптоперетворення, якщо або:

,

або можуть бути обчислені один при знанні іншого не нижче ніж з поліноміальною складністю.

Симетричні шифри діляться на блокові та потокові шифри.

Блокові симетричні шифри використовуються в чотирьох режимах роботи:

1. блокового шифрування;

2. потокового шифрування;

3. потокового шифрування зі зворотнім зв’язком по криптограмі;

4. вироблення імітоприкладки;

5. вироблення псевдопослідовностей (ключів).

Побудування таких шифрів здійснюється на використані декількох елементарних табличних або криптографічних перетворень. До них відносяться:

• афінні перетворення;

• перетворення типу підстановка (перестановка) символів;

• гамування (складання з ключем);

• аналітичної підстановки (заміни).

Основні криптоперетворення симетричного типу

Афінний шифр

Твердження 1

Нехай є мова за алфавітом і алфавіт мови співпадає з алфавітом криптограми. Кожному символу поставлене число. Тоді існує афінний шифр з ключем , елементами якого є:

,

якщо найменший спільний дільник .

В афінному шифрі зашифровування здійснюється таким чином:

,

а розшифровування:

,

де

,

.

Цей шифр є однозначно зворотнім.

Лінійний шифр

Твердження 2

Якщо в афінному шифрі , то існує лінійний взаємозворотній шифр, у якому зашифровування здійснюється як:

,

а розшифровування:

.

Твердження 3

Якщо в афінному шифрі , то існує адитивний однозначно зворотній шифр правилом шифрування:

,

.

доведення здійснюється з урахуванням афінного шифру

.

У вказаних шифрах вимога не виконується. Симетрія шифру заключається в тому, що ключі поліноміально легко зв’язані і один може бути легко визначени при знанні іншого.

Шифр „Підстановка в полі”

Розв’язок можна звести до розв’язку діафантового рівняння:

.

Таким чином:

.

.

Нехай , таким чином поліном :

.

Як правило, таке перетворення використовується як табличне. Воно здійснюється без ключа, ключем може бути тільки примітивний поліном.