Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования
«Белорусский государственный университет
информатики и радиоэлектроники»
кафедра ЭТТ
РЕФЕРАТ
На тему:
«Функционально полные системы логических функций. Алгебраический подход»
МИНСК, 2008

Из множества функционально полных наборов рассмотрим только те, которые имеют наибольшее практическое значение.
1. Основная функционально полная система логических функций. Наибольшее распространение получил набор, в состав которого входят три логические функции:
·                   f₁₀ –  инверсия (логическая связь НЕ, логическое отрицание);
·                   f₁ – конъюнкция (логическая связь И, логическое умножение),
·                   f₇ –  дизъюнкция (логическая связь ИЛИ, логическое сложение).
Этот набор получил название функционально полной системы логических функций (ОФПС). Из теоремы о функциональной полноте следует, что основная функционально полная система логических функций является избыточной, так как условиям теоремы отвечают наборы функций f₁₀ и f₁ или f₁₀ и f₇.  Свойства этих функций были рассмотрены ранее.
Из определения представления переключательной функции в виде дизъюнктивной или конъюнктивной нормальной формы следует, что эти представления реализуются в основной функционально полной системе логических функций.
2. Законы алгебры логики в ОФПС и их следствия. В алгебре логики имеются четыре основных за­кона, регламентирующих порядок производства операций НЕ, И, ИЛИ в любом логическом выражении:
·                   переместительный (коммутативный);
·                   сочетательный (ассоциативный);
·                   распределительный (дистрибутивный);
·                   инверсии (правило Де Моргана).
Переместительный закон. Этот закон справедлив как для дизъюнкции, так и для конъюнкции:
x₁ Úx₂ = x₂ Úx₁;               x₁ Ùx₂ = x₂ Ù x₁.                                        (1)
Справедливость выражения (5.1) нетрудно доказать простой подста­новкой в него различных значений x₁ и x₂. Поскольку любую переста­новку большего количества слагаемых можно свести к последователь­ности перестановок слагаемых в отдельных парах, то переместитель­ный закон будет справедлив при любом числе слагаемых.
Сочетательный закон. Этот закон, так же как и переместительный, является симметричным, т. е. справедливым и для дизъюнкции, и для конъюнкции:
x₁ Úx₂ Úx₃ = x₁Ú(x₂ Úx₃) = (x₁ Úx₂)Úx₃= x₂Ú( x₁ Úx₃);        (2)
x₁ Ùx₂ Ùx₃ = x₁Ùx₂ Ùx₃) = (x₁ Ùx₂)Ùx₃= x₂Ù( x₁ Ùx₃).
Доказательство этого закона также не представляет никаких труд­ностей и может быть выполнено простой подстановкой.
Распределительный закон. В отличие от обычной алгебры алгебра логики симметрична. В ней справедливы два распределительных закона:
для логического умножения относительно логического сложения (рас­пределительный закон 1-го рода) и для логического сложения относи­тельно логического умножения (распределительный закон 2-го рода).
1. Распределительный закон 1-го рода записывается следующим образом:
(x₁Úx₂)Ùx₃=(x₁Ùx₃)Ú ( x₂ Ùx₃) .                                        (3)
Справедливость формулы (5.3), а также и ее более общего случая, когда в скобках заключена сумма любого количества слагаемых, можно доказать путем установления идентичности условий обращения в 0 или 1 ее левой и правой частей. Условием обращения в нуль левой части выражения (5.3) состоит в том, чтобы нулю равнялся либо один аргумент х₃, либо одновременно аргументы x₁ и x₂. Условия обращения в нуль правой части выражения (5.1)  такие же. Следовательно, распределительный закон 1-го рода справедлив для алгебры логики.
2. Распределительный закон 2-го рода имеет вид
 (x₁Ùx₂)Úx₃=(x₁Úx₃)Ù ( x₂Úx₃).                                      (4)
Cправедливость формулы (4) (при любом количестве аргументов) нетрудно доказать посредством установления идентичности условий обращения обеих ее частей в единицу.
Закон инверсии (правило Де Моргана). Этот закон, так же как и все предыдущие, симметричен относительно логических сложения и умножения.
1. Отрицание логической суммы нескольких аргументов равно ло­гическому произведению отрицаний этих же аргументов:
                             (5)
Доказательство закона не представляет трудностей, поскольку условие обращения в нуль как левой, так и правой частей выражения (5) состоит в том, чтобы был истинным хотя бы один аргумент.
2. Отрицание логического произведения нескольких аргументов равно логической сумме отрицаний этих же аргументов:
                             (6)
Справедливость этого закона следует из того, что условие обращения в единицу обеих частей формулы (6) заключается в том, чтобы был ложным хотя бы один аргумент.
Следствия из законов алгебры логики. Из доказанных выше за­конов можно вывести ряд следствий, которые сформулируем в виде правил.
Правило выполнения совместных логических действий (правило старшинства логических функций). При решении логических задач приходится встречаться с выражениями, содержащими действия отри­цания, конъюнкции и дизъюнкции в любом сочетании. По аналогии с арифметическими действиями будем считать отрицание логическим действием первой ступени (старшей логической опера­цией), конъюнкцию — действием второй ступени, а дизъюнкцию — действием третьей ступени (младшей логической операцией).
Старшинство операции инверсии вытекает из закона инверсии, в соот­ветствии с которым логическая сумма отрицаний некоторых аргументов не равна отрицанию их суммы (это справедливо и для логического произведения). Это значит, что ни операцию дизъюнкции, ни операцию конъюнкции нельзя проводить, игнорируя знак отрицания над каким-либо из логических аргументов, т. е. операцию отрицания надо про­водить в первую очередь.
Относительно операций логического сложения и умножения на основании симметричности законов алгебры логики можно сказать, что они «равноправны». Из этого следует, что можно условиться считать более старшей операцией любую из них, но, приняв какое-либо усло­вие, надо придерживаться его все время. На практике оказалось удоб­нее считать более старшей операцию логического умножения, так как это соответствует правилам обычной алгебры и для нас более привычно.
На основе изложенного можно сформулировать следующее пра­вило выполнения совместных логических действий: если в логическом выражении встречаются только действия одной и той же ступени, то их принято выполнять в том порядке, в котором они написаны; если в логическом выражении встречаются действия различных ступеней, то сначала принято выполнять действия первой ступени, затем — второй, и только после этого — третьей. Всякое отклонение от этого порядка должно быть обозначено скобками.
Правило склеивания. Прежде чем сформулировать само правило, введем некоторые новые понятия. Если имеется некоторый конечный набор логических аргументов x₁, x₂, … x_n, то логическое произведение любого их числа называется элементарным в том случае, когда сомножите­лями в нем являются либо одиночные аргументы, либо отрицания одиночных аргументов. Так, например, f₁(х₁, х₂, x₃, х₄)= х₁× х₂× x₃×х₄ —  элементарное произведение (элементарная конъюнкция); —не является элементарным про­изведением.
Cимвол любого аргумента в элементарной конъюнк­ции может встречаться только один раз, поскольку произведение аргу­мента самого на себя равно этому же аргументу, а произведение аргу­мента на свое отрицание равно нулю. Количество сомножителей в элементарной конъюнкции называется ее рангом.
Два элементарных произведения одинакового ранга r называются соседними, если они являются функциями одних и тех же аргументов и отличаются только знаком отрицания (инверсии) одного из сомножи­телей. Например, элементарные конъюнкции
f₁(х₁, х₂, x₃, х₄)= х₁× х₂× x₃×х₄ и f₃(х₁, х₂, x₃, х₄)=
являются соседними, так как отличаются только одной инверсией в переменной x₂, а элементарные конъюнкции
f₃(х₁, х₂, x₃, х₄)=  и f₄(х₁, х₂, x₃, х₄)=
соседними не являются.
Правило склеивания для элементар­ных конъюнкций может быть сформулировано следующим образом: логическую сумму двух соседних произведений неко­торого ранга r можно заменить одним элементарным произведением ранга r-1, являющимся общей частью исходных слагаемых.
Это правило является следствием распределительного закона 1-го рода и доказывается путем вынесения за скобку общей части сла­гаемых, являющихся соседними конъюнкциями. Тогда в скобках ос­тается логическая сумма некоторого аргумента и его инверсии, равная единице, что и доказывает справедливость правила.
Например,
.
Поскольку алгебра логики является симметричной, то все опреде­ления, данные для конъюнкции, будут справедливы и для дизъюнкции.
Если имеется некоторый конечный набор логических аргументов, то логическая сумма (дизъюнкция), зависящая от любого их числа, называется элементарной в том случае, когда слагаемыми в ней явля­ются либо одиночные аргументы, либо отрицания одиночных аргу­ментов.
Количество слагаемых в элементарной дизъюнкции называется ее рангом. Две элементарные суммы одинакового ранга называются соседними, если они являются функциями одних и тех же аргументов и отлича­ются только знаком отрицания (инверсии) одного из слагаемых.
Правило склеивания двух элементарных дизъюнкций формули­руется так: логическое произведение двух соседних сумм некоторого ранга r можно заменить одной элементарной суммой ранга r-1, являющейся общей частью исходных сомножителей.
Это правило является следствием распределительного закона 2-го рода и применяется для упрощения логических выражений.
Например:

Правило поглощения. Так же как и склеивание, поглощение может быть двух видов. Правило поглощения для двух элементарных конъюнкций форму­лируется так: логическую сумму двух элементарных произведений раз­ных рангов, из которых одно является собственной частью другого, можно заменить слагаемым, имеющим меньший ранг.
Это правило является следствием распределительного закона 1-го рода. Доказывается оно посредством вынесения за скобку общей части слагаемых. В скобках останется логическая сумма некоторого выражения и единицы, равная в свою очередь также единице, что и до­казывает справедливость правила. Например,

Правило поглощения для двух элементарных дизъюнкций: логи­ческое произведение двух элементарных сумм разных рангов, из которых одна является общей частью другой, можно заменить сомножителем, имеющим меньший ранг.
Это правило является следствием распределительного закона 2-го рода и также находит широкое применение для упрощения логи­ческих функций.
Правило развертывания. Это правило регламентирует действие, обратное склеиванию. Иногда требуется представить некоторое логическое выражение в виде совокупности конституент единицы или конституент нуля. Если членами преобразуемого выражения являются элементарные конъюнкции, то переход от них к конституентам единицы производится в три этапа по следующему правилу:
·                   в развертываемую элементарную конъюнкцию ранга r в качестве дополнительных сомножителей вводится п-r единиц, где п — ранг конституенты;
·                   каждая единица представляется в виде логической суммы некото­рой, не имеющейся в исходной конъюнкции переменной и ее отрицания: ;
·                    производится раскрытие всех скобок на основе распределитель­ного закона первого рода, что приводит к развертыванию исходной элементарной конъюнкции ранга r в логическую сумму кон-ституент единицы.
Пример  Развернуть элементарную конъюнкцию f(x₁,x₂,x₃,x₄) = =x₁×x₃  в логичес­кую сумму конституент единицы.
Решение. Ранг конституенты единицы для данной функции равен 4. Произ­водим развертывание исходной конъюнкции поэтапно в соответствии с правилом развертывания:
1-й этап— f(x₁,x₂,x₃,x₄) = x₁×1×x₃×1.
2-й этап — f(x₁,x₂,x₃,x₄) =
3-й этап — f(x₁,x₂,x₃,x₄)=
=  что и тре­бовалось получить.
Если членами преобразуемого выражения являются элементарные дизъюнкции, то переход от них к конституентам нуля производится также в три этапа по следующему правилу:
·                   в развертываемую элементарную дизъюнкцию ранга r в качестве дополнительных слагаемых вводится п-r нулей;
·                   каждый нуль представляется в виде логического произведения некоторой, не имеющейся в исходной дизъюнкции переменной, и ее отри­цания:
·                   получившееся выражение преобразуется на основе распределитель­ного закона второго рода таким образом, чтобы произвести раз­вертывание исходной элементарной дизъюнкции ранга r в логическое произведение конституент нуля.
Пример.  Развернуть элементарную дизъюнкцию f(x₁,x₂,x₃,x₄)= =x₃Úx₄  в логическое произведение конституент нуля.
Решение. Ранг конституенты нуля п = 4. Далее производим развертывание исходной дизъюнкции поэтапно в соответствии с правилом развер­тывания:
1-й этап — f(x₁,x₂,x₃,x₄) =0Ú0Úx₃Úx₄;
2-й этап — f(x₁,x₂,x₃,x₄) =
3-йэтап—f(x₁,x₂,x₃,x₄)=

что и требовалось получить.
Проверить правильность проведенных преобразований можно при помощи пра­вила склеивания.
3. Функционально полные системы логических функций. Анализ принадлежности переключательных функций замкнутым классам показывает, что существуют две переключательные функции f₈ и f₁₄, не принадлежащие ни одному классу. Согласно теореме о функциональной полноте, каждая из этих функций образует функционально полную систему логических связей и используя только одну из них можно представить любую, сколь угодно сложную переключательную функцию.
Операция Пирса (стрелка Пирса) реализует функцию, которая принимает значение, равное единице только в том случае, когда все ее аргументы равны 0 (ИЛИ-НЕ), что может быть записано в ОФПС для функции двух переменных следующим образом:
         (7)
Используя операции суперпозиции и подстановки можно показать, что операция Пирса может быть реализована для  n аргументов:
        (8)
Для представления переключательной функции в базисе Пирса необходимо выполнить следующие действия:
·                    представить переключательную функцию f в конъюнктивной нормальной форме;
·                    полученное выражение представить в виде (поставить два знака отрицания);
·                    применить правило Де Моргана.
Например, для того чтобы представить функцию

в базисе Пирса, необходимо выполнить следующие преобразования:

Для представления полученного выражения в базисе Пирса воспользуемся соотношением (7):
.
Операция Шеффера (штрих Шеффера) реализует функцию, которая принимает значение, равное нулю, только в том случае,   когда все ее аргументы равны 1 (И-НЕ), что может быть записано в ОФПС для функции двух переменных следующим образом:
                       (9)
Используя операции суперпозиции и подстановки, можно показать, что операция Пирса может быть реализована для  n аргументов:
f(x₁,x₂,…,x_n)= x₁½x₂½…½x_n =           (10)
Для представления переключательной функции в базисе Шеффера необходимо выполнить следующие действия:
·                    представить переключательную функцию f в дизъюнктивной нормальной форме;
·                    полученное выражение представить в виде (поставить два знака отрицания);
·                    применить правило Де Моргана.
Например, для того чтобы представить функцию

в базисе Шеффера, необходимо выполнить следующие преобразования:

Для представления полученного выражения в базисе Шеффера воспользуемся соотношением (5.9):
f(x₁,x₂,x₃,x₄)=(x₄½x₂)½(x₃½x₁).

ЛИТЕРАТУРА
1.                Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).
2.                Горбатов В.А. Фундаментальные основы дискретной математики. Информационная математика.– М.: Наука, Физматлит, 2000.– 544 с.– ISBN 5-02-015238-2.
3.                Петрова В.Т. Лекции по алгебре и геометрии. Учебник для ВУЗов: в 2 ч.– М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС.– ч. 1 – 312 с., ч. 2 – 344 с. ISBN 5-691-00077-2. ISBN 5-691-00238-4 (I), ISBN 5-691-00239-2 (II).
4.                Зарубин В.С. Математическое моделирование в технике: Учеб. для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 496 с. (Сер. Математика в техническом университете; вып. XXI, заключительный).