Американский математик и физик Янош фон Нейман

Труды по функциональному анализу, квантовой механике, логике, метеорологии. Внес большой вклад в создание первых ЭВМ и разработку методов их применения. Его теория игр сыграла важную роль в экономике.

Янош фон Нейман был старшим из трех сыновей преуспевающего будапештского банкира Макса фон Неймана. Позже, в Цюрихе, Гамбурге и Берлине, Яноша называли Иоганном, а после переезда в США - Джоном (дружески - Джонни).

Фон Нейман был продуктом той интеллектуальной среды. из которой вышли такие выдающиеся физики, как Эдвард Теллер, Лео Сциллард, Денис Габор и Юджин Вигнер. Джон выделялся среди них своими феноменальными способностями. В 6 лет он перебрасывался с отцом остротами на древнегреческом, а в 8 освоил основы высшей математики.

В юные годы Янош занимался дома со специально приглашенными педагогам, а в возрасте 10 лет поступил в одно из лучших учебных заведений того времени - лютеранскую гимназию. Еще в школе фон Нейман заинтересовался математикой. Гения в фон Неймане распознал преподаватель математики Ласло Ратц. Он и помог ему развить его дарование. Ратц ввел фон Неймана в небольшой, но блестящий кружок будапештских математиков того времени, который возглавлял духовный отец венгерских математиков Липот Фейер. Помогать фон Неймону было поручено ассистенту Будапештского университета М. Фекете: а общее руководство взял на себя выдающийся педагог: профессор Йожеф Кюршак.

Атмосфера университета и беседы с математиками и внимание со стороны Фейера помогло сформироваться фон Нейману как математику, также как изучение университетских курсов.

К моменту получения аттестат зрелости Янош фон Нейман пользовался у математиков репутацией молодого дарования.

Его первая печатная работа была написана совместно с М. Фекете "О расположении нулей некоторых минимальных полиномов" (1921) вышла в свет, когда фон Нейману было 18 лет.

Вскоре фон Нейман окончил гимназию. Макс фон Нейман не считал профессию математика достаточно надежной, способной обеспечить будущее сына. Он настоял на том, чтобы Янош приобрел еще и профессию инженера-химика. Поэтому Янош поступил в Федеральную высшую техническую школу в Цюрихе, где изучал химию, и одновременно на математический факультет Будапештского университета.

Благодаря такому совмещению, у него было свободное посещение лекций, поэтому он появлялся в Будапеште только в конце семестра, для сдачи экзаменов. Потом он уезжал в Цюрих или Берлин, но не для того чтобы изучать химию, а для подготовки к печати своих работ, бесед с коллегами-математиками, посещения семинаров.

Фон Нейман считал, что о этот период он очень много узнал у двух математиков: Эрхарда Шмидта и Германа Вейля. Когда Вейлю понадобилось отлучиться во время семестра, то чтение курса за него продолжил фон Нейман.

Первая работа фон Неймана по аксиоматической теории множеств вышла в свет в 1923 году. Она называлась "К введению трансфинитных ординальных чисел". Она была опубликована в трудах Сегедского университета.

Фон Нейман разработал свою систему аксиом и изложил ее в докторской диссертации и двух статьях. Диссертация сильно заинтересовала А. Френкеля, которому поручили отрецензировать ее. Несмотря на то, что он не смог разобраться в ней полностью, он пригласил к себе фон Неймана. Он Френкель попросил его написать популярную статью, в которой излагались бы новый подход к проблеме и следствия, извлекаемые из его. Фон Нейман написал такую работу, назвав ее "К вопросу об аксиоматическом построении теории множеств". Она была опубликована в 1925 году а "Journal fuer Mathematik".

Фон Нейман построил замечательную систему аксиом теории множеств, такую же простую, как гильбертовая для евклидовой геометрии. Система аксиом фон Неймана занимает немногим более одной страницы печатного текста.

В 1925 фон Нейман получает диплом инженера-химика в Цюрихе и успешно защищает диссертацию "Аксиоматическое построение теории множеств" на звание доктора философии в Будапештском университете.

Молодой доктор отправляется совершенствовать свои знания в Геттингенский университет, где в то время читали лекции люди, чьи имена стали гордостью науки: К. Рунге, Ф. Клейн, Э. Ландау, Д. Гильберт, Э. Цермело, Г. Вейль, Г. Минковский, Ф. Франк, М. Борн и другие. Приглашенными лекторами были Г. Лоренц, Н. Бор, М. Планк, П. Эренфест, А. Пуанкаре, А. Зоммерфельд...

На фон Неймана очень большое влияние оказало общение с Давидом Гильбертом.

В Геттингене фон Нейман познакомился с идеями зарождавшейся тогда квантовой механики, ее математическое обоснование сразу захватило. Совместно с Д. Гильбертом и Л. Нордгеймом фон Нейман написал статью "Об основаниях квантовой механики". Потом выпускает серию работ "Математическое обоснование квантовой механики", "Теоретико-вероятностное построение квантовой механики" и "Термодинамика квантово-механических систем". В работах фон Неймана квантовая механика обрела свой естественный язык - язык операторов, действующих в гильбертовом пространстве состояний. В его работах была подведена прочная математическая основа под статистическую интерпретацию квантовой механики, введено новое понятие матрицы плотности, доказан квантовый аналог H-теоремы Больцмана и эргодической теоремы. На основе этих работ фон Нейман начал другой цикл - по теории операторов, благодаря которым он считается основоположником современного функционального анализа. Фон Нейман показал, что "слишком вольное" обоснование теории {Дирака} можно обосновать в терминах аксиоматической теории гильбертова пространства и спектральной теории операторов.

В 1927 году фон Нейман становится приват-доцентом Берлинского, а с 1929 года - Гамбургского университета.

В период 1927 по 1929 годы фон Нейман выполнил основополагающие работы трёх больших циклов: по теории множеств, теории игр и математическому обоснованию квантовой механики.

В 1927 фон Нейман написал статью "К гильбертовой теории доказательства". В ней он исследовал проблему непротиворечивости математики.

В 1928 фон Нейман написал работу "К теории стратегических игр", в которой доказал теорему о минимаксе, ставшей краеугольным камнем возникшей позже теории игр. В своей теореме фон Нейман рассматривает ситуацию, когда двое играют в игру, по правилам которой вигрыш одного игрока равен проигрышу другого. При этом каждый игрок может выбирать из конечного числа стратегий. При этом игрок считает, что противник действует наилучшим для себя образом. Теорема фон Неймана утверждает, что в такой ситуации существует "устойчивая" пара стратегий, для которых минимальный проигрыш одного игрока совпадает с максимальным выигрышем другого. Устойчивость стратегий означает, что каждый из игроков, отклоняясь от оптимальной стратегии лишь ухудшает свои шансы и, ему приходится вернуться к оптимальной стратегии.

Фон Нейман доказал эту теорему, обратив внимание на её связь с теорией неподвижных точек. Позже были найдены доказательства, использующие теорию выпуклых множеств.

В работе "Об определении через трансфинитную индукцию и родственных вопросах общей теории множеств" (1928), фон Нейман вновь возвращается к проблеме введения ординальных чисел, и дает строгое аксиоматическое изложение теории.

В работе "Об одной проблеме непротиворечивости аксиоматической теории множеств" фон Нейман показал, что одна из "нетрадиционных" аксиом в предложенной им системе выводима из аксиом других систем. Поскольку обратная выводимость была доказана раньше, то результат означал, что его "необычная" аксиома эквивалентна обычным в других системах.

В 1929 году фон Нейман пишет работу "Общая спектральная теория эрмитовых операторов".

В 1929 году фон Нейман получает приглашение прочитать в течении одного семестра цикл лекций в Принстонском университете. В США фон Нейман впервые оказался в 1930 году. Вскоре после приезда Иоганн фон Нейман для многих коллег становится просто Джонни.

В 1931 году фон Нейман окончательно расстается с Гамбургским университетом, чтобы принять профессуру в Принстоне.

В 1934 году выходит в свет статья "Об алгебраическом обобщении квантово-механического формализма", написанная в соавторстве с П. Иорданом и Е. Вигнером.

Незадолго до первого визита в Принстон фон Нейман женился на Мариэтте Кевуши, а в 1935 году у них родилась дочь Марина.

В 1936 фон Нейман совместно с Дж. Биркгофом пишет статью "Логика квантовой механики".

В 1937 году брак фон Неймана распался, а из очередной поездки на летние каникулы в Будапешт в 1938 фон Нейман вернулся со второй женой - Кларой Дан. Позднее, во время второй мировой войны, Клара фон Нейман стала программисткой. Ей принадлежат первые программы для электронных вычислительных машин, в разработку и создание которых её муж внёс большой вклад.

Первыми профессорами Института высших исследований в Принстоне стали Освальд Веблен (в 1932 году) и Альберт Эйнштейн (1933). В том же 1933 этой высокой чести был удостоен и Джон фон Нейман.

В 1938 вышла работа фон Неймана "О бесконечных прямых произведениях". Первая ЭВМ была построена в 1943-1946 годах в школе инженеров-электриков Мура Пенсильванского университета и получила название ЭНИАК (по первым буквам английского названия - электронный цифровой интегратор и вычислитель). Фон Нейман подсказал её разработикам, как можно модифицировать ЭНИАК, чтобы упростить его программирование.

А вот в создании следующей машины - ЭДВАК (электронный автоматический вычислитель с дискретными переменными) фон Нейман принял более активное участие. Он разработал подробную логическую схему машины, в который структурными единицами были не физические элементы цепей, а идеализированные вычислительные элементы. Использование идеализированных вычислительных элементов стало важным шагом вперед, так как позволило отделить создание принципиальной логической схемы от ее технического воплощения. Также фон Нейман предложил ряд инженерных решений.

Фон Нейман предложил использовать в качестве элементов памяти не линии задержки, а электронно-лучевой трубки (электростатическая запоминающая система), что должно было сильно повысить быстродействие. При этом можно было обрабатывать все разряды машинного слова параллельно. Эта машина была названа ДЖОНИАК - в честь фон Неймана. С помощью ДЖОНИАКА были осуществлены важные расчеты при создании водородной бомбы.

В 1944 увидела свет работа фон Неймана и О. Моргенштерна "Теория игр и экономического поведения". В конце сороковых годов, накопив практический опыт создания компьютеров, фон Нейман приступил к созданию общей математической (логической) теории автоматов. Различия между теорией автоматов фон Неймана и кибернетикой Винера несущественны и обусловлены личным вкусом их создателей, а не принципиальными соображениями. Теория фон Неймана посвящена, в основном, дискретной математике, в то время как у Винера - непрерывной.

Фон Нейман предложил систему корректировки данных, для повышения надежности систем - использование дублирующихся устройств с выбором двоичного результата по наибольшему числу.

Фон Нейман много работал над самовоспроизведением автоматов и смог доказать возможность самовоспроизведения конечного автомата, обладавшего 29 внутренними состояниями.

Во второй половине 1930-х годов совместно с Ф. Дж. Мюрреем Нейман опубликовал ряд работ по кольцам операторов, положив начало так называемой алгебре Неймана, которая впоследствии стала одним из главных инструментов для квантовых исследований.

В 1937 Нейман принял гражданство США. Во время Второй мировой войны служил консультантом в атомном центре в Лос-Аламосе, где рассчитал взрывной метод детонации ядерной бомбы и участвовал в разработке водородной бомбы. В марте 1955 стал членом американской комиссии по атомной энергии.

Из 150 трудов Неймана лишь 20 касаются проблем физики, остальные же равным образом распределены между чистой математикой и ее практическими приложениями, в том числе теорией игр и компьютерной теорией.

Нейману принадлежат новаторские работы по компьютерной теории, связанные с логической организацией компьютеров, проблемами функционирования машинной памяти, имитацией случайности, проблемами самовоспроизводящихся систем. В 1944 Нейман присоединился к группе Мокли и Эккерта, занятой созданием машины ENIAC, в качестве консультанта по математическим вопросам. Тем временем в группе началась разработка новой модели, EDVAC, которая, в отличие от предыдущей, могла бы хранить программы в своей внутренней памяти. В 1945 Нейман опубликовал "Предварительный доклад о машине EDVAC", в котором описывалась сама машина и ее логические свойства. Описанная Нейманом архитектура компьютера получила название "фон Неймановской", и таким образом ему было приписано авторство всего проекта. Это вылилось впоследствии в судебное разбирательство о праве на патент и привело к тому, что Эккерт и Мокли покинули лабораторию и основали собственную фирму. Тем не менее "архитектура фон Неймана" была положена в основу всех последующих моделей компьютеров. В 1952 Нейман разработал первый компьютер, использующий программы, записанные на гибком носителе, MANIAC I.

Секретом успеха Неймана иногда считают его "аксиоматический метод". Он рассматривал предмет, сконцентрировавшись на его основных свойствах (аксиомах), из которых вытекает все остальное.

Одной из утопических идей Неймана, для разработки которой он предлагал использовать компьютерные расчеты, было искусственное потепление климата на Земле, для чего предполагалось покрыть темной краской полярные льды чтобы уменьшить отражение ими солнечной энергии. Одно время это предложение всерьез обсуждалось во многих странах.

В 1956 Комиссия по атомной энергии наградила Неймана премией Энрико Ферми за выдающийся вклад в компьютерную теорию и практику.

Многие идеи фон Неймана ещё не получили должного развития, например, идея о взаимосвязи уровня сложности и способности системы к самовоспроизведению, о существовании критического уровня сложности, ниже которого система вырождается, а выше обретает способность к самовоспроизведению. В 1949 выходит работа "О кольцах операторов. Теория разложения".

Джон фон Нейман был удостоен высших академических почестей. Он был избран членом Академии точных наук (Лима, Перу), Академии деи Линчеи (Рим, Италия), Американской академии искусств и наук, Американского философского общества, Ломбардского института наук и литературы, Нидерландской королевской академии наук и искусств, Национальной академии США, почетным доктором многих университетов США и других стран

Вычислительная машина и мозг

При жизни фон Неймана часто сравнивали с безупречной логической машиной с тщательно подогнанными шестерёнками. Но мозг, его, подаривший миру столько блестящих идей, принадлежал человеку. И как все люди, фон Нейман был смертен. Он ушёл из жизни после тяжёлой болезни, измученный таявшими день ото дня надеждами на выздоровление, так и не примирившись с выводом, который задолго до кончины подсказал ему мозг. Человек, он до последней минуты надеялся. И до последней возможности, пока хватало сил, работал над рукописью книги "Вычислительная машина и мозг", которую ему так и не суждено было закончить. Рассказывает Клара фон Нейман:

"Выступить на Силлименовских чтениях, одних из наиболее старых и почитаемых академических чтениях в Соединённых Штатах, считается привилегией и высокой честью среди учёных всего мира ⁷. По традиции лектора приглашают прочесть в течение примерно двух недель цикл лекций, а затем представить их текст в виде рукописи для издания отдельной книгой под эгидой Йельского университета, родины и штаба по проведению Силлименовских чтений.

В начале 1955 г. моего мужа Джона Неймана пригласили выступить на Силлименовских чтениях в весенний семестр 1956 г., в конце марта или в начале апреля. Джонни был весьма польщён и обрадован приглашением, хотя ему сразу пришлось оговорить право ограничить продолжительность предполагаемого курса одной неделей. Было условлено, что в рукописи избранная им тема "Вычислительная машина и мозг", давно интересовавшая его, будет изложена более подробно. Просьба сократить продолжительность лекций была вынужденной, поскольку Джонни только что был назначен членом Комиссии по атомной энергии (КАЭ). Однако мой муж не сомневался, что найдёт время написать лекции, поскольку свои работы он всегда писал дома по вечерам или ночами. Если его что-нибудь интересовало, то работоспособность его становилась практически беспредельной, а неизученные возможности автоматов представляли для него особый интерес. Поэтому он не сомневался, что сумеет подготовить целиком всю рукопись, несмотря на то, что лекционный курс пришлось сократить. Йельский университет с готовностью и пониманием пошёл навстречу Джонни ещё тогда, как шёл и позднее, когда не осталось ничего, кроме горечи, печали и сожалений, и принял его условия.

Весной 1955 г. мы переехали из Принстона в Вашингтон, и Джонни взял отпуск без сохранения содержания в Институте высших исследований, где он состоял профессором в Математической школе с 1933 г. Через три месяца привычный ритм нашей деятельной и напряжённой жизни, в центре которой неизменно находился не знающий усталости поразительный ум моего мужа, внезапно был нарушен. У Джонни появилась сильные боли в левом плече, и после операции был поставлен диагноз: костная форма рака. В последующие месяцы надежда сменялась отчаянием, отчаяние - надеждой. Иногда нам казалось, что в плече - единственное проявление ужасной болезни, что боли больше не повторятся, но трудно локализуемые боли, от которых Джонни нестерпимо страдал время от времени, лишали нас всяких надежд на будущее. На протяжении этого периода Джонни лихорадочно работал. День заставал его в служебном кабинете или в бесчисленных разъездах, связанных с его новой работой, ночь - склонённым над рукописями научных статей, которые прежде он откладывал до окончания срока пребывания на посту члена КАЭ. Тогда же он приступил к систематической работе над рукописью для Силлименовских чтений. Значительная часть опубликованного варианта книги была написана в те дни неопределённости и ожидания. В конце ноября последовал новый удар: метастазы были обнаружены в спинном мозге, и Джонни стало трудно ходить. С тех пор его состояние начало быстро ухудшаться, хотя оставалась небольшая надежда на то, что лечение и уход позволят хотя бы на время приостановить роковую болезнь.

К январю 1956 г. Джонни оказался прикованным к инвалидному креслу, но он продолжал принимать посетителей, требовал, чтобы его ежедневно привозили в служебный кабинет, и продолжал работать над рукописью. Силы его заметно таяли день ото дня. Все поездки и выступления мало-помалу пришлось отменить, все, кроме Силлименовских лекций. Оставалась надежда, что облучение спинного мозга позволит ему хотя бы на время собраться с силами и отправиться в Нью-Хейвен, чтобы выполнить столь много значившее для него обязательство. Но даже в расчёте на самый благоприятный исход лечения Джонни пришлось обратиться к Комитету по проведению Силлименовских чтений с просьбой сократить число лекций до одной-двух, ибо напряжение недельного цикла лекций было бы опасным в его ослабленном состоянии. К марту все ложные надежды пришлось оставить. Вопрос о том, чтобы Джонни мог куда-нибудь поехать, отпал сам собой. И снова Йельский университет с неизменной готовностью и пониманием не отменил его лекций, а предложил представить рукопись, с тем чтобы кто-нибудь мог прочитать её вместо Джонни. Несмотря на все усилия, Джонни не смог завершить работу над рукописью в намеченное время. Судьба сложилась так, что он вообще не смог закончить её.

В начале апреля Джонни положили в госпиталь Уолтера Рида, из которого он так и не вышел до самой смерти, последовавшей 8 февраля 1957 г. Незаконченная рукопись отправилась вместе с ним в госпиталь, где он предпринял ещё несколько попыток поработать над ней. Но к этому времени болезнь явно взяла верх, и даже исключительный разум Джонни оказался не в силах побороть телесную слабость.

Эскизы к портрету

Каким был Джон фон Нейман в жизни? Интересовало ли его что-нибудь помимо математики? Сознавал ли он свою исключительную одарённость и проявлялось ли это каким-либо образом в его манере общения с людьми? Ответы на эти (и многие другие) вопросы мы находим в воспоминаниях тех, кто хорошо знал фон Неймана, и в первую очередь в воспоминаниях Е. Вигнера и С. Улама. Сопоставляя и сравнивая то, что запечатлела память этих двух людей, мы отчётливо выделяем непустое пересечение характерных черт и чёрточек, выражающих наиболее существенные особенности его личности и внешнего облика (симметрическая разность воспоминаний, по-видимому, выражает менее существенные черты и, быть может, отчасти связана с особенностями личного восприятия Вигнера и Улама).

"Безупречная логика была наиболее характерной чертой его мышления, - пишет Е. Вигнер. - Ещё более поразительным был свойственный ему блеск мышления... Третьей отличительной чертой его ума была замечательная память, позволявшая ему помимо научной работы иметь десятки увлечений. Он был историком-любителем, осведомлённость которого в событиях огромных периодов истории не уступала осведомлённости профессионала, свободно говорил на пяти языках и умел читать по-латыни и по-гречески. Он прочитал и помнил содержание многих книг, как художественных, так и научно-популярных по другим областям науки. Из всех тем, на которые автору этих строк доводилось когда-либо беседовать с фон Нейманом, лишь описательные естественные науки не вызывали у него интереса. Фон Нейман всегда был готов помочь любому, кто обращался к нему за советом, и искренне радовался любой трудной проблеме...

Глубокое чувство юмора и незаурядный дар рассказчика различных историй и анекдотов вызывали симпатию к фон Нейману даже у случайных знакомых. Если нужно, он мог быть резким, но никогда не был напыщенным и чванным. Фон Нейман с его безукоризненной логикой понимал и соглашался со многим из того, что большинство из нас не хотело принимать и даже понимать. Это ощущалось во многих высказываниях фон Неймана на темы морали. "Сетовать на эгоизм и вероломство людей так же глупо, как сетовать на то, что магнитное поле не может возрастать, если ротор электрического поля равен нулю: то и другое - законы природы". Лишь научная, интеллектуальная нечестность и присвоение чужих результатов вызывали его гнев и негодование независимо от того, кто был пострадавшим - он сам или кто-либо другой".

"Друзья Джонни, - читаем мы у С. Улама, - помнят его в характерных позах - стоящим у доски или обсуждающим проблемы у себя дома. Каким-то образом его жест, улыбка и выражение глаз всегда отражали характер обдумываемой идеи или суть обсуждавшейся проблемы. Он был среднего роста. Очень худой в юности, фон Нейман с годами располнел. Передвигался он мелкими шажками со случайным ускорением, но никогда не развивал большой скорости. Лицо его озарялось улыбкой, если задача обнаруживала черты логического или математического пародокса. Несмотря на любовь к абстрактным шуткам, Джонни высокого ценил и более земной тип комедии и юмора (можно сказать, жаждал его).

Разуму фон Неймана были присущи несколько особенностей, если и не исключающих друг друга, то во всяком случае имеющих между собой мало общего и требующих поэтому памяти и умения сосредоточиться, которыми редко бывает наделён один интеллект. К числу этих особенностей относятся: склонность к математическому мышлению на теоретико-множественной и формально алгебраической основе, знание и глубокое понимание существа классической математики в анализе и в геометрии и способность тонко чувствовать потенциальные возможности современных математических методов для формулировки проблем теоретической физики, которые существуют ныне и возникнут в будущем. Все эти отличительные особенности мышления фон Неймана наиболее отчётливо проявились в его блестящих и глубоко оригинальных работах, охватывающих широкий спектр современной научной мысли.

Беседы Джонни с друзьями на научные темы могли длиться часами. В выборе тем недостатка не было, даже если речь шла о вопросах, далёких от математики.

Джонни питал живой интерес к людям, сплетни необычайно забавляли его. Казалось, он накапливает в своей памяти коллекцию человеческих причуд, слабостей и т.п., как бы собирая материал для статистического исследования.

Джонни обладал исключительными способностями и ясно сознавал это. Тем не менее, он был лишён самоуверенности и восхищался математиками и физиками, обладавшими качествами, которыми, по его мнению, он сам не был наделён в должной мере. Такими качествами были интуитивное постижение новых истин и способность иррационально угадывать доказательства или формулировки новых теорем.

Друзьям Джонни нравилось присущее ему тонкое чувство юмора. В обществе учёных коллег он иногда комментировал, обычно иронически, исторические события, придавая своим замечаниям форму математических утверждений. Соль шутки, как правило, заключалась в высказывании, справедливом только для пустого множества. Его шутки иногда могли по достоинству оценить только математики.

Если не считать точных наук, Джонни больше всего привлекало изучение истории. Древнюю историю он знал до мельчайших подробностей. Например, он держал в памяти весь анекдотический материал из "Заката и падения Римской империи" Гиббона и после обеда охотно пускался в разговор на исторические темы. Однажды, когда мы направлялись на заседание Американского математического общества в университете Дьюка, нам довелось проезжать вблизи мест, где разыгрывались сражения гражданской войны, и он поразил нас знанием мельчайших подробностей минувших сражений. Энциклопедические познания в области истории питали его взгляды на развитие грядущих событий. Его предсказания как бы носили характер аналитического продолжения.

Помимо других дарований Джонни был превосходным лингвистом. Он хорошо помнил школьную латынь и греческий. Кроме английского, он бегло говорил по-немецки и по-французски. Его лекции в США славились своими высокими литературными достоинствами (Джонни допускал характерные ошибки в произношении, например, вместо "интеджерс" - целые числа - произносил "интегерс"), которые его друзья всегда ждали с радостным оживлением. Во время визитов в Лос-Аламос и Санта-Фе он обнаружил знание испанского, правда, далёкое от совершенства, а во время поездки в Мексику пытался объясняться на "неокастильском" - языке своего собственного изобретения (к английским словам присоединялась приставка "эль" и соответствующее испанское окончание)".

Если отвлечься от второстепенных деталей, то оба эскиза к портрету фон Неймана в основном совпадают. Запечатлённый в них образ живого, увлечённого человека менее всего походит на гротескную фигуру профессора из традиционных анекдотов о математиках. Оба эскиза выполнены с натуры, по личным воспоминаниям, и сходство между ними позволяет надеяться, что в них ухвачены и верно переданы наиболее существенные и характерные черты Джона фон Неймана, человека и математика.