БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра информатики
РЕФЕРАТ
на тему:
«Построение эйлерова цикла. Алгоритм форда и Уоршелла»
МИНСК, 2008

1. Эйлеровы цепи и циклы
Рассматриваемая задача является одной из самых ста­рей­ших в теории графов. В городе Кенигсберге (ныне Калининград) имелось семь мостов, соединяющих два берега реки Преголь, и два основа на ней друг с другом (рис. 1а). Требуется, начав путешествие из одной точки города прой­ти по всем мостам по одному разу и вернуться в исходную точку.

а)                                                       б)
Рис. 1.
Если поставить в соответствие мостам ребра, а участкам суши — вершины, то получится граф (точнее псевдограф), в котором надо найти про­стой цикл, проходящий через все ребра. В общем виде эта задача была решена Эйлером в 1736 г.
Определение 1. Эйлеровой цепью в неориентированном графе G называется простая цепь, содержащая все ребра графа G. Эйлеровым циклом назы­вается замкнутая Эйлерова цепь. Аналогично, эйлеров путь в орграфе G — это простой путь, содержащий все дуги графа G. Эйлеров контур в орграфе G — это замкнутый эйлеров путь. Граф, в котором существует эйлеров цикл, называется эйлеровым.
Простой критерий существования эйлерова цикла в связном графе дается следующей теоремой.
Теорема 1. (Эйлер) Эйлеров цикл в связном неориентированном графе G(X, E) существует только тогда, когда все его вершины имеют четную степень.
Доказательство. Необходимость. Пусть m - эйлеров цикл в связном гра­фе G, x — произвольная вершина этого графа. Через вершину x эйлеров цикл проходит некоторое количество k (k³1) раз, причем каждое прохождение, очевидно, включает два ребра, и степень этой вершины равна 2k, т.е. четна, так как x выбрана произвольно, то все вершины в графе G имеют четную сте­пень.
Достаточность. Воспользуемся индукцией по числу m ребер графа. Эйле­ровы циклы для обычных (не псевдо) графов можно построить начиная с m=3.Легко проверить, что единственный граф с m=3, имеющий все вершины с четными степенями, есть граф K₃ (рис. 2). Существование эйлерова цикла в нем очевидно. Таким образом, для m=3 достаточность условий доказываемой теоремы имеет место. Пусть теперь граф G имеет m>3 ребер, и пусть утверждение справедливо для всех связных графов, имеющих меньше, чем m ребер. Зафиксируем произвольную вершину a графа G и будем искать простой цикл, идущий из a в a. Пусть m(a, x) — простая цепь, иду­щая из a в некоторую вершину x. Если x ¹ a, то цепь m можно продолжить из вершины x в некотором направлении. Через некоторое число таких про­дол­­же­ний мы придем в вершину zÎX, из которой нельзя продлить полу­чен­ную про­стую цепь. Легко видеть, что z = a так как из всех остальных вершин цепь может выйти (четные степени!); a в a она начиналась. Таким образом, нами построен цикл m, идущий из a в a. Предположим, что построенный про­стой цикл не содержит всех ребер графа G. Удалим ребра, входящие в цикл m, из графа G и рассмотрим полученный граф . В графе  все вершины имеют четные степени. Пусть  — компо­нен­ты связ­нос­ти графа , содержащие хотя бы по одному ребру. Соглас­но пред­поло­же­нию индукции все эти компоненты обладают эйлеровыми циклами m₁, m₁, …, m_k  соот­вет­ствен­но. Так как граф G связан, то цепь m встре­чает каждую из компонент . Пусть первые встречи цикла m с ком­понентами  происходят соответственно в вершинах x₁, x₂, …, x_k. Тогда про­стая цепь
      n(a, a)=m(a, x₁) U m₁(x₁, x₁) U m(x₁, x₂) U…U m_k(x_k, x_k) U m(x_k, a)
является эйлеровым циклом в графе G. Теорема доказана.
Замечание. Очевидно, что приведенное доказательство будет верно и для псевдографов, содержащих петли и кратные ребра (см. рис. 1,а).
Таким образом, задача о кенигсбергских мостах не имеет ре­ше­ния, так как соответствующий граф (см. рис. 1,б) не имеет эйлерова цикла из-за не­четности степеней все вершин.
Отметим, что из существования эйле­ро­ва цикла в неориентированном графе G не следует связность этого графа. Напри­мер, неориентированный граф G на рис. 3 обладает эйлеровым циклом и вместе с тем несвязен.
Совершенно также, как теорема 1, могут быть доказаны следующие два утверждения.
Теорема 2. Связный неориентированный граф G обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда число вершин нечетной степени в нем равно 0 или 2, причем если это число равно нулю, то эйлерова цепь будет являться и циклом.
Теорема 3. Сильно связный орграф G(X, E) обладает эйлеровым кон­ту­ром тогда и только тогда, когда для любой вершины xÎX выполняется
                                               .
Можно также обобщить задачу, которую решал Эйлер следующим обра­зом. Будем говорить что множество не пересекающихся по ребрам простых цепей  графа G покрывает его, если все ребра графа G включены в цепи m_i. Нужно найти наименьшее количество таких цепей, которыми можно покрыть заданный граф G.
Если граф G — эйлеров, то очевидно, что это число равно 1. Пусть теперь G не является эйлеровым графом. Обозначим через k число его вер­шин нечетной степени. По теореме … k четно. Очевидно, что каждая верши­на нечетной степени должна быть концом хотя бы одной из покрывающих G цепей m_i. Следовательно, таких цепей будет не менее чем k/2. С другой сто­роны, таким количеством цепей граф G покрыть можно. Чтобы убедиться в этом, расширим G до нового графа , добавив k/2 ребер , соединяющих раз­личные пары вершин нечетной степени. Тогда  оказывается эйлеровым графом и имеет эйлеров цикл . После удаления из  ребер  граф разло­жится на k/2 цепей, покрывающих G. Таким образом, доказана.
Теорема 4. Пусть G — связный граф с k>0 вершинами нечетной степени. Тогда минимальное число непересекающихся по ребрам простых цепей, покрывающих G, равно k/2.

Алгоритм построения эйлерова цикла

Для начала отметим, что теорема 1 также дает метод построения эйлерова цикла. Здесь мы рассмотрим несколько иной алгоритм.
Пусть G(X, E) — связный неорентированный граф, не имеющий вершин нечетной степени. Назовем мостом такое ребро, удаление которого из связного графа разбивает этот граф на две компоненты связности, имеющие хотя бы по одному ребру.
1°. Пусть a — произвольная вершина графа G. Возьмем любое ребро e₁=(a, x₁) , инцидентное вершине a, и положим m = {e₁}.
2°. Рассмотрим подграф G₁(X, E\m₁). Возьмем в качестве e₂ ребро, инци­дентное вершине x₁ и неинцидентное вершине a, которое также не является мостом в подграфе G₁ (если такое ребро e₂ существует!). Получим простую цепь m₂ = {e₁, e₂}.
3°. Пусть e₂ = (x₁, x₂), x ¹ a. Рассмотрим подграф G₂(X, E\m₂) и удалим из него все изо­лированные вер­шины. В полученном подграфе  выберем ребро e₃ÎE\m₂, инцидентное вершине a, которое не является мостом в под­графе  (если такое ребро e₃ суще­ству­ет!). Получим простую цепь
                                           m₃ = {e₁, e₂, e₃}.
Продолжая указанный процесс, мы через конечное число шагов получим эйлеров цикл m = {e₁, e₂, …, e_n}, где n — число ребер графа G(X, E).

Обоснование алгоритма

 

Предположим, что уже построена простая цепь m_k-1 = {e₁, e₂, …, e_k-1} для k³2 методом, указанным в алгоритме. Пусть e_k-1 = (x_k-2, x_k-1) и x_k-1 ¹ a. Рас­смо­трим подграф , который получается из подграфа G_k-1(X, E\m_k-1) удалением всех изолированных вершин. Вершина x_k-1 в этом подграфе  имеет нечет­ную степень, поэтому существует по крайней мере одно ребро e_kÎE\m_k-1, ин­ци­дентное x_k-1. Если это ребро единственное, то оно не является мостом в графе . В противном случае вершина a будет связана с некоторой вер­ши­ной  единственной цепью, содержащей ребро e_k, что противоречит суще­ствованию эйлерова цикла в графе G. Поскольку e_k - не мост, то процесс мож­но продолжать, взяв . Если ребро e_k не единственное инци­дентное вершине x_k-1, то среди этих ребер есть по крайней мере одно, не явля­ющееся мостом. В противном случае один из этих мостов  можно выбро­сить так, что вершины x_k-1 и a попадут в разные компоненты связности графа . Если x_k-1 принадлежит компоненте M, то в этой компоненте все вер­шины имеют четную степень, поэтому существует эйлеров цикл в M, про­хо­дящий через x_k-1. Этот цикл содержит все ребра, инцидентные x_k-1 и при­над­лежащие , являющиеся одновременно мостами. Получено противоречие, так как ребра из эйлерова цикла мостами быть не могут. Итак, в рассмотренном случае существует ребро e_k, инцидентное вершине x_k-1 и не являющееся мостом. Значит, и в этом случае процесс можно продолжать, взяв
                                          .
Из предыдущего следует, что процесс нельзя продолжать тогда и только тогда, когда мы попадем в вершину a, причем степень вершины a относительно непройденных ребер равна нулю. Докажем, что в этом случае построенный цикл m - простой цикл. Покажем, что m содержит все ребра графа G. Если не все ребра графа G принадлежат m, то не принадлежащие m ребра порождают компоненты связности C₁, …, C_m (m³1) в подграфе . Пусть компонента C_i, 1£i£m соединяется с циклом m в вершине y_i. Если существует ребро eÎm , такое, что e=(y_i, a), то при построении цикла m было нарушено правило выбора ребра e, что невозможно. Если часть цикла m, соединяющая y_i и a, состоит более чем из одного ребра, то первое ребро этой части  было мостом, и поэтому было нарушено правило вы­бора , что невозможно. Итак, непройденных ребер быть не может, поэ­тому m - эйлеров цикл.

2. НАХОЖДЕНИЕ КРАТЧАЙШИХ ПУТЕЙ В ГРАФЕ
Рассматрим ориентированные графы G(X, E) каждой дуге eÎE которого ставится в соответствие вещественное число l(e). Т.е. на множестве Е создана функция l:E®R. Такой граф принято называть нагруженным. Само число l называется весом дуги.
Можно увидеть аналогию между, например, картой автомобильных или железных дорог. Тогда множество вершин Х будет соответствовать городам, множество дуг – магистралям, соединяющим города, а веса – расстояниям. (На практике, при этом, фактически получится неориентированный граф).
В связи с изложенной аналогией будем называть веса дуг расстояниями.
Определение 2.1. Пусть имеется последовательность вершин x₀, x₁, …, x_n, которая определяет путь в нагруженном графе G(X, E), тогда длина этого пути определяется как .
Естественный интерес представляет нахождение кратчайшего пути между двумя заданными вершинами x и y.
Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути.
Будем предполагать, что все расстояния в графе положительны. (Если это не так, то ко всем весам можно всегда добавить такую константу, что все эти веса станут положительными).
Пусть мы ищем путь от вершины x₀ к вершине x_n. Будем каждой вершине x_i ставить в соответствие некоторое число l_i по следующим правилам.
1° Положим l₀= 0, l_i = ¥ (достаточно большое число) для "i > 0.
2° Ищем в графе дугу (x_i, x_j) удовлетворяющую следующему условию
                                           l_j - l_i > l(x_i, x_j),                                            (1)
после чего заменяем l_j на
                                         .
Пункт 2° повторяется до тех пор, пока невозможно будет найти дугу, удовлетворяющую условию (1). Обоснуем этот алгоритм и укажем как определяется кратчайший путь.
Отметим, что l_n монотонно уменьшается, то после завершения алгоритма найдется дуга , такая, что  для которой последний раз уменьшалось l_n. (Иначе вообще нет пути между x₀ и x_n или для  верно (1)).
По этой же самой причине найдется вершина , такая , что
                                     ,
этот процесс может продолжаться и дальше, так что получится строго убыва­ю­щая последовательность  . Отсюда следует, что при некото­ром k мы получим .
Покажем, что  – минимальный путь с длиной l_n, т.е. длина любого другого пути между x₀ и x_n не превышает k_n.
Возьмем произвольный путь  и рассмотрим его длину .
После завершения алгоритма имеем следующие соотношения
                                     
Сложив все эти неравенства, получим
                                ,
что и требовалось доказать.
Рассмотрим пример.
а                                                               б
Рис. 2.1
На рис. 2.1а изображен исходный помеченный граф и начальные значения l_i. На рис. 2.1б для того же графа указаны конечные значения l_i и выделен кратчайший путь. Пометка вершин графа происходила в следующем порядке (в скобках указана дуга, вдоль которой выполняется (1)):
l₁ = 6    (x₀, x₁),
l₂ = 7    (x₀, x₂),
l₃ = 6    (x₀, x₃),
l₄ = 12   (x₁, x₃),
l₄ = 11   (x₂, x₄),
l₅ = 16   (x₃, x₄),
l₅ = 15   (x₄, x₅),
l₆ = 18   (x₄, x₆),
l₆ = 17   (x₅, x₆).
Иногда возникает задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Одним из способов решения этой задачи является

Алгоритм Флойда

Обозначим l_ij длину дуги (x_i, x_j), если таковой не существует примем l_ij = ¥, кроме того, положим l_ii = 0. Обозначим  длину кратчайшего из путей из x_i в x_j с промежуточными вершинами из множества {x₁, …, x_m}. Тогда можно получить следующие уравнения
                                                ,                                                 (2)
                               .                                 (3)
Уравнение (2) очевидно. Обоснуем уравнение (3). Рассмотрим кратчай­ший путь из x_i в x_j с промежуточными вершинами из множества {x₁, …, x_m, x_m+1}. Если этот путь не содержит x_m+1, то . Если же он содержит x_m+1, то деля путь на отрезки от x_i до x_m+1 и от x_m+1 до x_j, получаем равенство .
Уравнения (2) и (3) позволяют легко вычислить матрицу расстояний [d_ij] между всеми парами вершин графа G(X, E). На первом этапе согласно (2) составляем n´n матрицу  равную матрице [l_ij] весов ребер (n – число вершин G(X, E)). n раз производим вычисление по итерационной формуле (3), после чего имеем  – матрицу расстояний.
Отметим, что алгоритм Флойда непосредственно не указывает сам кратчайший путь между вершинами, а только его длину. Алгоритм Флойда можно модифицировать таким образом, чтобы можно было находить и сами пути. Для этого получим вспомогательную матрицу [R_ij], которая будет содержать наибольший номер вершины некоторого кратчайшего пути из x_i в x_j (R_ij=0, если этот путь не содержит промежуточных вершин).
Эта матрица вычисляется параллельно с  по следующим правилам


Последнее выражение следует из обоснования (3).
Теперь кратчайший путь выписывается из следующего рекурсивного алгоритма:
Кратчайший путь из x_i в x_j:
1°. Если R_ij = 0    то выполнить 2°,
иначе выполнить 3°.
2°. Если i=j         то выписать x_i и закончить,
иначе выписать x_i и x_j закончить.
3°. Выписать кратчайший путь между x_i и .
4°. Выписать кратчайший путь между  и x_j.
Пункты 3° и 4° предполагают рекурсивное обращение к рассмотренному алгоритму.
С задачей определения кратчайших путей в графе тесно связана задача транзитивного замыкания бинарного отношения.
Напомним, что бинарным отношением на множестве Х называется произвольное подмножество E Ì X ´ X.
Транзитивным называется отношение, удовлетворяющее следующему условию: если (x, y) Î E и (y, z) Î E, то (x, z) Î E для всех  x, y, z Î X. Отметим, что бинарное отношение можно однозначно представить орграфом G(X, E). Теперь для произвольного отношения Е определим новое отношение Е* следующим образом
E* = {(x, y) | если в G(X, E) существует путь ненулевой длины из x в y}.
Легко проверить, что Е* - транзитивное отношение. Кроме того, Е* является наименьшим транзитивным отношением на Х в том смысле, что для произвольного транзитивного отношения F É E выполняется E* É F. Отно­ше­ние Е* называется транзитивным замыканием отношения Е.
Если отношение Е представить в виде графа G(X, E) в котором каждая дуга имеет вес 1, то транзитивное замыкание Е* можно вычислить с помощью алгоритма Флойда. При этом надо учесть, что
                                  (x_i, x_j) Î E* если .
Для большего удобства алгоритм Флойда в этом случае можно моди­фи­ци­ровать следующим образом.
Положим
                                    .
Вместо (3) запишем
                                 ,
где    Ú – дизъюнкция (логическое сложение),
Ù – конъюнкция (логическое умножение).
После завершения работы алгоритма будем иметь

Модифицированный таким образом алгоритм называется алгоритмом Уоршелла.

ЛИТЕРАТУРА
1.                Баканович Э.А., Волорова Н.А., Епихин А.В. Дискретная математика:. В 2-х ч..– Мн.: БГУИР, 2000.– 52 с., ил. 14 ISBN 985-444-057-5 (ч. 2).
2.                Аттетков А.В., Галкин С.В., Зарубин В.С. Методы оптимизации. М. Иза-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2003.
3.                Белоусов А.И., Ткачев С.Б. Дискретная математика: Учебник для ВУЗов / Под ред. В.С. Зарубина, А.П. Крищенко.– М.: изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.– 744 с. (Сер. Математика в техническом университете; Вып XIX).