БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДРАСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Кафедра ЭТТ

РЕФЕРАТ

На тему:

«Фильтровой обнаружитель одиночных сигналов»

МИНСК, 2008

Импульсная характеристика оптимального фильтра

Отклик любого фильтра на входное воздействие f(t) описывается интегралом свертки или интегралом Дюамеля

где V(t) - импульсная характеристика фильтра, представлявшая со бой его отклик на дельта-функцию

Для определения импульсной характеристики оптимального V₀(t) приравняем с точностью до сомножителя К его отклик на сиг нал в момент t = t_r + t₀ (t₀ - постоянная задержка в фильтре) значению корреляционного интеграла идя ожидаемого сигнала с запаздыванием t₀ и доплеровским сдвигом Ω_дс:

откуда

или, заменяя t_r + t₀ – τ = t, получим

Таким образом, импульсная характеристика оптимального фильтра с точностью до сомножителя К, есть зеркальное отображение сигнала относительно момента времени t = t₀/2 с учетом доплеровского смещения частоты принятого сигнала:

Импульсная характеристика оптимального фильтра для ЛЧМ сигнала по казана на рис. 1.

Минимально возможное значение задержки в фильтре t₀ следует из условия физической реализуемости фильтра, согласно которому импульсная характеристика фильтра при отрицательных значениях аргумента равна нулю:

V(t) =0 , t < 0

Поэтому, как видно из рис. 1, минимально возможное значение задержки в фильтре определяется длительностью сигнала

t_0min = T_0.

Рис. 1. Импульсная характеристика оптимального фильтра для ЛЧМ сигнала.

Рис. 2. Отклик оптимального фильтра на принятый ЛЧМ сигнал.

Отклик оптимального фильтра на принятый сигнал. Сжатие сигнала во времени.

В ответ на принятый сигнал

на выходе фильтра формируется отклик, который аналитически представляется следующим образом:

Таким образом, на выходе оптимального фильтра формируется, радиоимпульс (рис. 2.6.2), форма которого определяется корреляционной функцией сигнала С₀(τ), а его положение во времени относительно принятого сигнала характеризуется задержкой в фильтре t₀ минимальное значение которой равно длительности T₀. Действительно, после поступления сигнала на вход максимум отклика может быть достигнут за счет энергии всего сигнала только в конце его длительности. Сигнал на выходе оптимального фильтра оказывается сжатым во времени. Его длительность обратно пропорциональна ширине спектра сигнала ∆τ = 1/∆f₀, а коэффициент временного сжатия определяется базой сигнала:

Таким образом, эффект временного сжатия сигнала на выходе оп тимального фильтра относится ять к сложным сигналам (Т₀∆f₀ >> 1). Простые сигналы эффекту сжатия не подвержены.

Заметим, что фильтр обладает свойством инвариантности ко времени запаздывания: на любой принятый сигнал на выходе фильтра формируется отклик, положение которого определяется временем запаздывания принятого сигнала t_r относительно излученного (зондирующего). Свойство инвариантности фильтра ко времени запаздывания эквивалентно многоканальности устройства обработки по дальности. Для сравнения напомним, что просмотр элементов разрешения по дальности при корреляционной обработке предполагает наличие многоканального обнаружителя (параллельный или одновременный просмотр) или перестройку опорного сигнала по времени запаздывания (последовательный просмотр).

Длительность отклика оптимального фильтра на принятый сигнал ∆τ определяет разрешающую способность РТС по времени запаздывания (∆t_r = ∆τ = 1/∆f₀).

Частотная характеристика оптимального фильтра

Частотная характеристика оптимального фильтра может быть найдена как прямое преобразование Фурье импульсной характеристики:

Таким образом, частотная характеристика оптимального фильтра с точностью до множителя К описывается сопряженным спектром принятого сигнала и множителем запаздывания exp(-iωt₀).

Поскольку спектр сигнала может быть выражен через его модуль и аргумент

частотная характеристика оптимального фильтра может быть представ лена в виде

откуда следуют амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики оптимального фильтра

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) оптимального фильтра оказывается согласованной с амплитудно-частотным спектром (АЧС) принятого сигнала (рис. 3). Оптимальный фильтр наилучшим образом пропускает те спектральные составляющие, которые наиболее сильно выражены в спектре. Слабые спектральные составляющее подавляются, в противном случав наряду с ними пройдут интенсивные составлявшие помехи в широком диапазоне частот. Форма амплитудно-частотного спектра сигнала на выходе фильтра искажается, что является одной из причин искажения формы сигнала. Однако задачей оптимальной фильтрации является не точное воспроизведение формы сигнала, а наилучшее выделение его на фоне помехи, т.е. обеспечение наилуч ших характеристик обнаружения.

Фазочастотная характеристика (ФЧХ) оптимального фильтра складывается из фазочастотного спектра (ФЧС) принятого сигнала, взято го с обратным знаком, и аргумента задержки (-ωt₀) (рис. 4). Чтобы убедиться в целесообразности такого выбора фазочастотной характеристики, найдем сигнальную составляющая напряжения на выходе фильтра, зная спектр сигнала на входе

и определяя спектр сигнала на выходе фильтра:

Рис. 3. Амплитудно-частотная характеристика оптимального фильтра.

Рис. 4. Фазочастотная характеристика оптимального фильтра.

Сигнал на выходе фильтра определяется обратным преобразованием Фурье от спектра:

Как видим, напряжение на выходе оптимального фильтра, являясь наложением гармонических составляющих разных частот, определяется только амплитудно-частотным спектром сигнала. Оно не зависит от фазочастотного спектра, так как последний компенсируется фазочастотной характеристикой фильтра. Поэтому все гармонические составляющие одновременно достигают амплитудных значений в момент t = t_r + t₀ и эти значения налагаются друг на друга (рис. 5). В этот момент имеет место максимум выходного сигнала

причем, чем шире спектр сигнала, т.е. чем больше спектральных составлявших налагается друг на друга, тем меньше длительность выходного сигнала:

B заключение уместно сделать замечание по используемой терминологии. Рассмотренный фильтр, реализующий основную операцию оптимальной обработки - вычисление корреляционного интеграла, называют оптимальным. Учитывая согласованность АЧХ и ФЧХ фильтра с АЧС и ФЧС принятого сигнала, его часто называют согласованный фильтром. Применительно к рассмотренному случаю помехи в виде белого гаус сова шума термины "оптимальный" и "согласованный" фильтр являются синонимами.

Рис. 5. Наложение гармонических составляющих сигнала на выходе оптимального фильтра.

Критичность расстройки фильтра по частоте

До сих пор предполагалось, что настройка фильтра строго соответствует доплеровскому сдвигу частоты отраженного сигнала

Однако на самом деле возможна расстройка фильтра по частоте Ω_к ≠ Ω. При этом отклик такого расстроенного фильтра на сигнал

определяется выражением

где

откуда квадрат огибающей напряжения на выходе оптимального фильтра

Учитывая, что максимум сигнальной составлявшей напряжения на выходе фильтра постигается при отсутствии расстройки фильтра по частоте (F_к – F_дс = 0) в момент времени t = t_r + t₀:

нормированный квадрат огибавшей сигнала на выходе расстроенного фильтра, повторяет сечение поверхности неопределенности плоскостью F = F_k - F_дс (рис. 6.6):

Поэтому критичность расстройки фильтра по частоте определяется шириной сечения поверхности неопределенности плоскостью τ = 0, которое представляет собой нормированный энергетический спектр квадрата огибавшей сигнала. Эффективная ширина этого сечения обратно пропорциональна длительности сигнала:

Следовательно, по аналогии с корреляционным обнаружителем, значение расстройки фильтра, по частоте должно удовлетворять условию:

В случае короткого сигнала (V_rц T₀ = λ/4) коррекцией настройки фильтра с учетом доплеровского сдвига частоты принятого сигнала можно пренебречь.

Эквивалентность характеристик обнаружения при корреляционной и фильтровой обработке

Поскольку на выходе оптимального фильтра в момент времени t = t_r + t₀ формируется корреляционный интеграл, отношения сигнал/шум по мощности или по напряжению q при фильтровой и корреляционной обработке эквивалентны, определяются исключитель но отношением энергии сигнала Эс к спектральной плотности шума N₀ и не зависят от формы сигнала:

Рис. 6. Связь огибающей сигнала на выходе фильтра и сечения поверхности неопределённости плоскостью F=const.

Рис. 7. Схема фильтрового обнаружителя, эквивалентного корреляционному обнаружителю.

На первый взгляд кажется, что можно по аналогии зафиксировать эквивалентность характеристик обнаружения при фильтровой и корреляционной обработке. Однако, эта эквивалентность обеспечивается только при определенном условии. Дело в том, что фильтр, обладая свойством инвариантности по времени запаздывания, "обслуживает" все элементы разрешения по дальности (времени запаздывания). Это означает, что на выходе порогового решающего устройства будут приниматься решения по всем элементам разрешения я вероятность ложного решения о наличия сигнала F_m будет возрастать по сравнению с вероятностью ложной тревоги F, отнесенной к одному элементу разрешения, пропорционально числу элементов разрешения

В то же время при корреляционной обработке на выходе порогового решавшего устройства будет приниматься решение только по одному моменту разрешения, соответствующему временя задержки опорного сигнала.

Поэтому условием эквивалентности характеристик обнаружения при корреляционной и фильтровой обработке является стробирование выхода фильтровой обработки в момент времени t = t_r + t₀ коротким δ - образным импульсом (рис. 7).

ЛИТЕРАТУРА

1. Охрименко А.Е. Основы извлечения, обработки и передачи информации. (В 6 частях). Минск, МРТИ, 2004.

2. Медицинская техника, М., Медицина 1996-2000 г.

3. Сиверс А.П. Проектирование радиоприемных устройств, М., Радио и связь, 2006.

4. Чердынцев В.В. Радиотехнические системы. – Мн.: Высшая школа, 2005.

5. Радиотехника и электроника. Межведоств. темат. научн. сборник. Вып. 22, Минск, БГУИР, 2004.