ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ І ЗАКОНИ ГЕОМЕТРИЧНОЇ ОПТИКИ

1 Основні поняття і визначення

Значна частина питань прикладної оптики цілком задовільно може бути дозволена за допомогою положень геометричної оптики, хоча в деяких випадках правильне розв’язання можливе лише з позицій квантової і хвильової теорії світла.

Геометричну оптику можна розглядати як граничний випадок фізичної оптики, коли l®0. Положення геометричної оптики мають чисто геометричний характер. Під світною точкою розуміють джерело випромінювання, що не має розмірів.

Рисунок 1- Гомоцентричні пучки променів.

Світловий промінь - це лінія, уздовж якої поширюється енергія випромінювання. Світловому променю у фізичній точці відповідає нормаль до поверхні світлової хвилі.

Оптичною довжиною променя називають суму добутків відстаней, послідовно прохідних променем у різних середовищах, на показники переломлення відповідних середовищ. Якщо поверхня хвилі — сфера, то всі нормалі до неї, а отже, і всі промені сходяться в одній точці, а саме в центрі сфери.

Сукупність таких променів називається гомоцентричним пучком, тобто пучком, що має загальний центр. Пучок, промені якого розходяться з загального центру, називається розбіжним гомоцентричним пучком (рис. 1, а), якщо ж промені йдуть у напрямку до центра пучка, то пучок називається що сходитися гомоцентрично (рис. 1, б). Якщо гомоцентричний пучок поширюється від світної точки, що знаходиться в нескінченності, то він буде рівнобіжним (рис. 1, в).

Центр гомоцентричного пучка, що входе в оптичну систему, називається предметною точкою, а центр гомоцентричного пучка, що вийшов з оптичної системи, називається зображенням предметної точки. Усякий предмет і його зображення в геометричній оптиці розглядаються як сукупність предметних точок і їхніх зображень.

Тому для того, щоб знайти зображення того чи іншого предмета, потрібно знайти зображення його окремих точок.

Якщо після проходження через оптичну систему пучки променів зберігають гомоцентричність, то кожній крапці предмета відповідає тільки одна точка зображення. Дві точки, одна з

Рисунок 2- Предметна точка а та її зображення.

яких є зображенням іншої, називають сполученими (рис. 2).

У геометричній оптиці зображення точки прийнято відзначати тою ж буквою, що і предмет, але зі штрихом. Це відноситься і до інших означень. Зображення, створені перетинанням самих променів, називають дійсними,а зображення, створені перетинанням їхніх геометричних продовжень,— уявними.

Дійсне зображення може бути спроектовано на екран, наприклад на фотопластинку. Уявне зображення спроектувати на екран не можна, але воно може бути розглянуто оком так само, як і дійсне зображення. Увесь простір, в якому поширюються пучки променів, можна розділити на дві частини. Простір, у якому знаходяться точки предметів, називають простором предметів. Простір, у якому розташовані зображення точок простору предметів, називають простором зображень.

Оптичною системою в геометричній оптиці називають сукупність оптичних деталей (призм, лінз, дзеркал і т.п.), призначену для формування пучків світлових променів.

Будь-яка оптична деталь обмежується поверхнею. Поверхні можуть бути плоскими, сферичними, асферичними та ін. Оптичну систему називають центрованою, якщо центри сферичних поверхонь або осі симетрії інших поверхонь лежать на одній прямій, що називають оптичною віссю.

Будь-яка площина, що містить оптичну вісь, називається меридіональною. У геометричній оптиці для оцінки відрізків і кутів використовують правила знаків (ДСТ 7427-76). За позитивний напрямок світла приймають напрямок поширення його з ліва на право. Для кожного відрізка вказується напрямок відліку.

Для визначення знаків кутів вибирають осі, від яких відраховують кути. Відрізки уздовж оптичної осі вважаються позитивними, якщо їхній напрямок збігається з позитивним напрямком світла, а негативними — при зворотному напрямку. Відрізки, перпендикулярні до оптичної осі, вважають позитивними, якщо вони розташовані над оптичною віссю, і негативними, якщо вони розташовані під віссю.

Радіуси кривизни, відрізки, що характеризують положення предметів і зображень, відраховують від вершин відповідних поверхонь. Кут вважається позитивним, якщо для опису частини площини між його сторонами вісь, від якої ведеться відлік, потрібно обертати навколо вершини кута за годинниновою стрілкою, і негативним   у противному випадку.

2 Закони геометричної оптики

Рисунок 3- Відбиття променя від дзеркальної поверхні

Теорія геометричної оптики основана на використанні чотирьох фізичних законів.

Закон прямолінійного поширення світла. Відповідно до цього закону світло між двома точками в однорідному і ізотропному середовищі (у середовищі, оптичні властивості якої не залежать від положення точки і від напрямку променя) поширюється по прямій, що з'єднує зазначені точки. На основі закону прямолінійного поширення світла звичайно пояснюють виникнення тіней і напівтіней, явища сонячних і місячних затемнень. Усі найточніші фізичні й астрономічні виміри основані на застосуванні цього закону.

На основі закону прямолінійного поширення світла можна проілюструвати, якщо непрозорий предмет освітити джерелом, розміри якого малі в порівнянні з відстанню до предмета. У цьому випадку спостерігається подоба між контуром предмета і його тінню на екрані, що відповідає геометричному проектуванню за допомогою прямих ліній. Закон прямолінійного поширення світла не застосовується в тих випадках, коли пучок променів проходить крізь діафрагму з дуже малим отвором, край будь-якої діафрагми чи коли на шляху пучка поміщена мала непрозора перешкода. У цих випадках світло поширюється далеко за край тіні чи напівтіні внаслідок явища дифракції. Кут відхилення y, викликаний дифракцією, залежить від багатьох факторів і для круглого отвору визначається формулою sin y » l/D, де l- довжина хвилі, a D- діаметр діафрагми.

Переважна більшість оптичних систем має великі поперечні розміри в порівнянні з довжиною хвиль, тому при розробці теорії цих систем явище дифракції можна не враховувати. При l = 546 нм і D = 80 мм кут від відхилення y складає усього ~2".

Закон незалежності поширення світлових пучків. Суть закону полягає в тому, що окремі промені і пучки, зустрічаючись і перетинаючись один з одним, не роблять взаємного впливу. У геометричній оптиці вважають , якщо кілька пучків падають на ту саму площадку чи сходяться в одній крапці, то дії цих пучків складаються. Інтерференцією при цьому зневажають. Явища інтерференції і дифракції необхідно враховувати при аналізі процесу утворення зображення, тому що це дозволяє пояснити розподіл світлової енергії в кухоль розсіювання і судить про якість зображення.

Закон відображення світла. Якщо промені, розповсюджуючись в однорідному оптичному середовищі, зустрічають дзеркальні чи поліровані поверхні, то вони повністю або частково відбиваються відповідно до закону відображення, що формулюється в такий спосіб:

1. Промінь падаючий АО , нормаль до поверхні, що відбиває, у точці падіння NO і промінь відбитий ОА' лежать в одній площині (рис. 3).

2. Кут відображення e' по абсолютній величині дорівнює куту падіння e.

3. Промінь падаючий і промінь відбитий обернені. Отже, якщо падаючий промінь направити по шляху А'О, то він відіб'ється в напрямку ОА. Принцип дії дзеркал і відбитих призм, використовуваних як деталі оптичних приладів, заснувань на законі відображення світла.

Закон переломлення світла. Промені світла при переході з одного прозорого середовища в інше на межі їх розділу не тільки частково відбиваються, але і переломлюються. Установлень Снел-лиусом і Декартом закон переломлення формулюється в такий спосіб:

Промінь падаючий АО, нормаль NO до поверхні розділу в точці падіння і переломлений промінь ОА' лежать в одній площині (рис. 4).

Добуток показника переломлення середовища на синус кута, утвореного променем з нормаллю, вважається постійним при переході променя з одного середовища в інше, тобто

n sin e = n' sin e'. (1)

3. Промінь падаючий і промінь переломлений обернені. У тих випадках, коли світло поширюється з більш щільного оптичного середовища в менш щільну (n' < n) при визначених значеннях кутів падіння e_m може відбутися явище повного внутрішнього відображення, що полягає в тому, що пучок не проходить в друге середовище, а відбивається від межі їх розділу (рис. 5). Граничне значення кута падіння e_m при якому промінь починає ковзати по границі розділу, визначають за формулою:

sin e_m = n'/n. (2)

Рисунок 4, 5- Переломлення променя на межі двох середовищ

Явище повного внутрішнього відображення широко використовується при створенні різних оптичних деталей, наприклад, відбивних призм, світловодів і т.п.

Варто помітити, що закон відображення може бути представлений як окремий випадок закону переломлення за умови n' = -n, тоді sin e = -sin e' чи e = -e'.

3 Переломлення променів плоскою і сферичною поверхнями

Розглянемо переломлення променя плоскою границею розділення двох середовищ за умови, що n < n' (рис. 6). Відповідно до закону переломлення

sin e' = (n/n'} sin e. (3)

Тоді як e = s і e' = s', то sin s' - (n/n') sin s. З рис. 6 випливає, що s tg s = s' tg s', отже, s' = s tg s/tg s'. Відрізок s і кут s визначають положення предметної точки А, а відрізок s' і кут s' — відповідно положення точки А' — зображення цієї точки

При s = 0 кут s'= 0, тобто промені, перпендикулярні до плоскої поверхні, проходять крізь неї без зміни напрямку. Припустимо, що з точки А виходить гомоцентричний пучок променів.

Чи зберігається гомоцентричність цього пучка при переломленні його плоскою поверхнею? З рис. 6 випливає, що

sin s =sin e = sin sin s^¢ = sin e' = sin .

Підставляючи ці значення синусів у формулу (3), одержимо

¢. (4)

З формули (4) випливає, що гомоцентричність пучка променів не зберігається, тому що s' є нелінійною функцією висоти h. Зображення точки, утворене пучком променів, переломленим плоскою поверхнею, буде нерізким, тому що цій предметній точці відповідає безліч точок зображень.

При переломленні променів сферичною поверхнею (рис. 7), що розділяє оптичні середовища з показниками переломлення n і n', справедливі такі співвідношення:

sin e = (r - s) sin s/r;

sin e' = (r - s') sin s'/r;

n sin e = n' sin e'; (5)

s¢ = r-;

s' = s - e + e'.

З цих виражень випливає, що гомоцентричність пучка променів не порушується (s' = const), якщо виконується наступна умова синусів:

n sin s/(n' sin s') = const. (6)

При s = -¥ у формулах (5) sin e = .

4 Відображення променів плоскою і сферичною поверхнями

Нехай на дзеркало з предметної точки А падає гомоцентричний пучок променів (рис. 8). Відбившись від дзеркала, ці промені утворять знову гомоцентричний пучок променів з центром у точці А, що лежить на перпендикулярі АN, причому AN = АN'. Відбиті промені утворять розбіжний пучок, тобто зображення А' точки А уявним. Око, розміщене на шляху цих променів, побачить світну точку за дзеркалом. Кут w між напрямками падаючого і відбитого променів називають кутом відхилення. Площина дзеркала є бісектрисою цього кута. Якщо перед дзеркалом помістити предмет

Рисунок 8- Система з двох плоских дзеркал

Рисунок 9- Відбиття променя сферичним дзеркалом

(рис. 8), то для кожної точки предмета вийде своє зображення. Око, розміщене на шляху відбитих променів, побачить зображення, перевернуте в одній площині. Таке зображення називається дзеркальним. Якщо послідовно по ходу променів застосувати друге плоске дзеркало, то дзеркальне зображення знову обертається в пряме.

Плоске дзеркало дає уявне симетрично предмету розташоване дзеркальне зображення. Щоб змінити напрямок візування, у оптичних приладах часто використовують обернені дзеркала.

Кут j повороту дзеркала і кут w відхилення відбитого променя зв'язані наступною залежністю: w = 2j (рис. 9). У системі з двох плоских дзеркал, розташованих під кутом у (рис. 10), кут відхилення w не залежить від напрямку .падаючого променя і визначається залежністю:

w = 2g. (7)

При повороті системи з двох дзеркал кут w залишається незмінним. Цю властивість пари з'єднаних в одному блоці дзеркал використовують при настроюванні і регулюванні оптичних приладів. Відображення променів від сферичної поверхні можна розглядати як окремі випадки переломлення за умови, що n' = -n.

Рисунок 10- Система з двох сферичних дзеркал

Для увігнутої сферичної поверхні радіуса, що відбиває, r (рис. 11) справедливі такі співвідношення:

q = r - s; sin e = (q/r) sin s;

s' = s + 2e';

q' = r sin e'/sin s';

Г₁ = 140,0 Г₂ = -¥ Г₃= 29,4 Г₄ = -15,7 Г₅ = -40,3

d₁ = -105 d₂ = 75,3 d₃ = 45,4 d₄ = 24,6

n₁ = 1 n₂ = -1 n₃ = 1 n₄ = 1,4874 n₅= 1,8060 n₆ = 1.

Еліпсоїд обертання: а = 157,5 в = 148,5.

s' = r - q'. (7)

Відрізок s' і кут s' визначають положення зображення А' предметної точки А.

З формул (7) видно, що відрізок s' є нелінійною функцією кута s, отже, сферична поверхня, що відбиває, порушує гомоцентричність пучка променів після його відображення. Значення кута s' і відрізка s' для даної поверхні є вихідними для розрахунку ходу променів крізь наступну, що відбиває або переломлює поверхню складної системи.

Розглянемо систему, що включає дві поверхні, що відбивають, 1 і 2. У цьому випадку s₂ = s₁^¢, а s₂ = s₁ ^¢- d₁.

При розгляді декількох поверхонь, що відбивають, відстань між їхніми вершинами вважається позитивною, якщо наступна поверхня розташована праворуч від попередньої, і негативним - якщо ліворуч. Якщо предметна точка А знаходиться в нескінченності, то s₁ = -¥ і кут s₁ = 0. Тоді для визначення e₁ у формулах (7) задають висоту h₁ падіння променя, паралельного оптичній осі, на першу поверхню й обчислюють за формулою sin e₁ = -sin j₁ = -h₁/r₁.

Прийняті раніше правила знаків дають можливість представити оптичні системи, що складаються з деталей із заломлюючими і поверхнями, що відбивають, через їхні конструктивні параметри (радіуси кривизни, товщину, показники переломлення, вид асферичних поверхонь).