БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра радиотехнических систем
РЕФЕРАТ
На тему:
«Параметры кодов. Контроль, обнаружение и исправление ошибок»
МИНСК, 2008

1.     Параметры кодов
Определение 1. Код – это множество дискретных сигналов, выбранное для передачи сообщений. Коды характеризуются следующими параметрами:
1 Основание кода  – число элементов множества , выбранное для построения кода. Например, если:
а)    , то  для троичного кода;
б)       для двоичного кода.
Практически .
Замечание – Эффективность каналов передачи (хранения) информации возрастает с переходом на недвоичные коды.
2 Длина кода  (значность) – число символов кодового слова.
Определение 2. Последовательности элементов (символов) длиной  называются кодовыми словами или кодовыми векторами. Говорят, что слово
  имеет длину ;  ,
Параметр  определяет следующие особенности класса кодов. Коды бывают:
а) равномерные (блоковые), ;
б) неравномерные, ;
в) бесконечные, . К бесконечным относят коды:
1)    свёрточные;
2)    цепные;
3)    непрерывные.
У равномерных (блоковых) кодов поток данных разделяется  на блоки по  информационных символов, и далее они кодируются  –  символьными кодовыми словами.
Для непрерывного кода поток данных разбивается на блоки длины , которые называются кадрами информационных символов. Эти кадры кодируются  символами кодового слова (кадрами кодового слова). При этом кодирование каждого кадра информационных символов в отдельные кадры кодового слова производится с учетом предыдущих  кадров информационных символов.

На рисунке 1.1 показаны структуры кодирования блоковыми и непрерывными кодами.

k-битовый                    n-битовый                 n-битовый                 k-битовый                       

Кодер

Канал

Декодер

          блок                               блок                           блок                           блок

Блоковый код

k₀ битов/кадр             n₀ битов/кадр             n₀ битов/кадр             k₀ битов/кадр

Кодер

Канал

Декодер

 

Непрерывный код
Рисунок 1.1
3 Размерность кода   – число информационных позиций кодового слова.
4 Мощность кода  – число различных кодовых последовательностей (комбинаций), используемых для кодирования.
– максимальное число кодовых комбинаций при заданных  и . Например, ; ; .
Определение 3. Код, у которого используются все комбинации, называется полным (безизбыточным).
Определение 4. Если число кодовых слов кода , то код называется  избыточным.
Пример – Пусть , , . 
Код    – избыточный;  .
5 Число проверочных (избыточных) позиций кодового слова  .
Пусть , , . Тогда на длине слова из семи символов – три избыточных.
6 Скорость передачи кода . Для приведенного примера  .
7 Кратность ошибки . Параметр указывает, что все конфигурации из
или менее ошибок в любом кодовом слове могут быть исправлены.
8 Расстояние Хэмминга между двумя векторами (степень удаленности любых кодовых последовательностей друг от друга) .
Определение 5. Если  и   кодовые векторы, то расстояние Хэмминга равно числу позиций, в которых они различаются. Может обозначаться и как – . Например, ; .
Замечание – С позиции теории кодирования  показывает, сколько символов в слове надо исказить, чтобы перевести одно кодовое слово в другое.
9 Кодовое расстояние (минимальное расстояние кода) .
Определение 6. Наименьшее значение расстояния Хэмминга для всех пар кодовых последовательностей кода называют кодовым расстоянием. ,  где ; ; .
Определение 7.         Код значности , размерности  и расстояния  называется - кодом.
Пример – Можно построить следующий код:
   ; ; ; .
Данный код можно использовать для кодирования 2–битовых двоичных чисел,
используя следующее (произвольное) соответствие:

Найдем кодовое расстояние этого кода:
;
;
;
;
;
.
Следовательно, для этого кода .
Замечание –  характеризует корректирующую способность кода .
10 Вес Хэмминга вектора равен числу ненулевых позиций , обозначается . Например, .
Используя определение веса Хэмминга, получим очевидное выражение                                                 (1.1)
Пример – ;

3

 .
Из выражения (1.1) следует, что минимальное расстояние Хэмминга равно         , где ; ; .

Замечание – Для нахождения минимального расстояния линейного кода не обязательно сравнивать все возможные пары кодовых слов. Если  и  принадлежат линейному коду , то – также является кодовым словом кода . Такой код является аддитивной группой (определена операция сложения) и, следовательно,   , где  и , т.е. справедлива теорема.

Теорема 1. Минимальное расстояние линейного кода равно минимальному весу ненулевых  кодовых слов.
Т.к. , то возникает вопрос о величине , такой, чтобы код обеспечивал контроль ошибок, т.е. обнаружение и исправление ошибок.
2 Контроль ошибок
Кодовое слово можно представить в виде вектора с координатами в  – мерном векторном  пространстве. Например, для вектор   находится в трёхмерном евклидовом пространстве, рисунок 1.2. Разрешенными для передачи выбраны вектора и .
                                    X₀
                         
                       1 0 0                                 1 1 0
                                                
              1 0 1                                    1 1 1  
                                    0 0 0                     0 1 0       X₁
          
                        0 0 1                       0 1 1        
           X₂

Рисунок 1.2

Рисунок дает наглядную алгебраическую интерпретацию понятия “мощность кода”:
а) кодовые слова полного кода определяют  – мерное пространство, состоящее из  последовательностей ( – трехмерное пространство, состоящее при из 8  последовательностей полного кода);
б) кодовые слова избыточного кода определяют подпространство (подмножество)  – мерного пространства, состоящее из  последовательностей.
Под воздействием помех происходит искажение отдельных разрядов слова. В результате разрешённые для передачи кодовые векторы переходят в другие векторы (с иными координатами) – запрещённые. Факт перехода разрешённого слова в запрещённое для передачи слово можно использовать для контроля за ошибками.
Возможна ситуация, когда разрешённый вектор переходит в другой разрешённый кодовый вектор: . В этом случае ошибки не обнаруживаются, и контроль становится неэффективным.
Из рассмотренной модели можно сделать следующий важный вывод:  для
того чтобы передаваемые векторы можно было бы отличать друг от друга при наличии помех, необходимо располагать эти векторы в  –  мерном пространстве
как можно дальше друг от друга. Из этой же – мерной модели следует геометрическая интерпретация расстояния Хэмминга:  – это число рёбер, которые  нужно пройти, чтобы перевести один вектор в другой, т.е. попасть из вершины одного вектора в вершину другого.
2.1 Обнаружение и исправление ошибок
Стратегия обнаружения заключается в следующем. Декодер обнаруживает ошибку при априорном условии, что переданным словом было ближайшее по расстоянию к принятому слову. Покажем применение этого утверждения.
Пример 1. Пусть ; . Разрешенным для передачи является множество кодовых слов:
.
Очевидно, что код  имеет . Любая одиночная ошибка трансформирует данное кодовое слово в другое разрешенное слово. Это случай безизбыточного кода, не обладающего корректирующей возможностью.
Пример 2. Пусть теперь подмножество  разрешённых кодовых слов предоставлено в виде двоичных комбинаций с чётным числом единиц.
.
Заданный код  имеет . Запрещенные кодовые слова представлены в виде подмножества :
.
Если , то ни одно из разрешенных кодовых слов (т.е. кода ) при одиночной ошибке не переходит в другое разрешённое слово этого же кода. Таким образом, код  обнаруживает:
– одиночные ошибки;
– ошибки нечетной кратности (для - тройные).
Например, тройная ошибка кодового слова ; , переводит его в запрещенный вектор .
Вывод – В общем случае, при необходимости обнаруживать ошибки кратности  кодовое расстояние кода должно быть 
.
Пример 3.        Пусть ; ; код  задан векторами  и .
При возникновении одиночных ошибок или множества векторов

кодовому слову соответствует следующее запрещенное подмножество

mod 2

.

mod 2

Кодовому слову  соответствует запрещенное подмножество
= =
Таким образом, коду – разрешенному для передачи подмножеств векторов соответствует два запрещенных  подмножества векторов и :
                               =
=                                 .  
                               =
Стратегия исправления ошибок заключается в следующем:
–     каждая из одиночных ошибок приводит к запрещенному кодовому слову того или иного запрещенного подмножества (  и );
–     структура кодового запрещенного подмножества, относящаяся к соответствующему исходному разрешенному подмножеству, позволяет определить местоположение ошибки, т.е. исправить ошибку.
Для исправления ошибок кратности  кодовое расстояние должно  удовлетворять соотношению  .                                       (1.2)
Используя эту формулу, можно записать
,
где   обозначает целую часть числа .
Замечание – Существуют модели каналов (например, канал с дефектами), в которых величина  может быть больше, чем в выражении (1.2).

ЛИТЕРАТУРА
·        Митюхин А.И., Игнатович В.Г. Линейные групповые коды: Учеб. пособие. – Мн. :БГУИР, 2002.
·        Митюхин А.И. Элементы абстрактной алгебры: Учеб.пособие. – Мн.: БГУИР, 2000.
·        Лосев В.В. Помехоустойчивое кодирование в радиотехнических системах передачи информации: Метод. Пособие Ч.1. Линейные коды. – Мн.: ВШ, 2004.