БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ
Кафедра систем телекоммуникаций
РЕФЕРАТ
На тему:
«Нелинейные и линейные модели биполярного транзистора»
МИНСК, 2008

В зависимости от сочетания напряжений на p-n-переходах биполярный транзистор (БПТ) может работать в нормальном (активном), инверсном режимах, режимах насыщения и запирания (отсечки). Различают три схемы его включения: с общим эмиттером (ОЭ); общей базой (ОБ); общим коллектором (ОК).
Наиболее распространенной нелинейной моделью БПТ является модель Эберса – Молла в схеме ОБ , приведенная на рис. 1, а для Т типа p-n-p. Она отличается сравнительной простотой и не учитывает эффект Эрли, пробой переходов, зависимость коэффициента a передачи от тока, объемные сопротивления слоев эмиттера, коллектора, базы и ряд других факторов. В модели переходы представлены диодами, их взаимодействие – генераторами токов I₁ и I₂, где I₁ (I₂ ) – ток эмиттерного (коллекторного) Д,  ( ) – интегральный коэффициент передачи эмиттерного (коллекторного) тока. В общем случае (независимо от режима) ток I_Э (I_К ) эмиттера (коллектора) состоит из двух компонент: инжектируемого I₁ (I₂ ) и собираемого I₂ ( I₁). Поэтому
,                        ,                                        (1)
где по аналогии с (1.1)
,           ; (2)
 ( ) – тепловой ток эмиттерного (коллекторного) Д при напряжении
U_К = 0 (U_Э = 0).
Последующей подстановкой (2) в (1) получаем известные формулы Эберса – Молла:
,
,                              (3)
.
Описываемые (3) зависимости I_Э = f₁ (U_Э , U_К ) и I_К = f₂ (U_Э , U_К ) представляют собой статические ВАХ БПТ. Они, несмотря на идеализацию, хорошо отражают особенности прибора при любых сочетаниях напряжений на переходах. В случае кремниевых Т расчеты дают бόльшую погрешность, так как у них, по сравнению с германиевыми, обратный ток существенно отличается от теплового.
Известно, что тепловой ток коллектора I_К0 (эмиттера I_Э0) соответствует режиму обрыва цепи эмиттера (коллектора) и большого запирающего напряжения |U_К | >> mj_T (|U_Э | >> mj_T ) на коллекторе (эмиттере). Полагая с учетом этого в (1) и (2) I_Э = 0, I_К =I_К0 , I₂ = – (I_К = 0, I_Э =I_Э0 , I₁ = – ), устанавливаем необходимую связь между тепловыми токами:
                                           (4)
В БПТ выполняется условие . Используя его, из выражений (3) можно получить
 ,
.                                             (5)
Семейства (5) коллекторных характеристик I_К = φ₁(U_К ) с параметром I_Э и эмиттерных характеристик U_Э = φ₂ (I_Э ) с параметром U_К более удобны для практики, поскольку проще задать ток I_Э , а не напряжение U_Э . В активном режиме U_К < 0 и |U_К | >> mj_T , поэтому зависимости (1.13) переходят в следующие:
,                                                                                  (6)
.                                                                           (7)
Реальные коллекторные характеристики БПТ, в отличие от (7), неэквидистантны: расстояние между кривыми уменьшается при больших токах I_Э вследствие уменьшения коэффициента  (далее просто  ). Они имеют конечный, хотя и очень небольшой, наклон, который существенно увеличивается в области, близкой к пробою. Наклон кривых обусловлен неучтенным сопротивлением коллекторного перехода (вследствие модуляции толщины базы – эффекта Эрли). При нагреве Т характеристики смещаются в область бόльших токов I_К из-за роста тока I_К0 . Реальные эмиттерные характеристики с повышением температуры смещаются влево в область меньших напряжений U_Э . При высоких уровнях инжекции они деформируются: возникает омический участок ВАХ.
Усредняя нелинейное сопротивление r_К коллекторного перехода и добавляя слагаемое в (7), приходим к выражению, описывающему семейство реальных коллекторных характеристик БПТ в схеме с ОБ:
                                                                            (8)
Этому уравнению соответствует нелинейная модель на рис. 2, б, в которую введено объемное сопротивление r_Б базы. Модель удобна для расчета усилительных каскадов в режиме большого сигнала. При необходимости в нее дополнительно вводят сопротивления слоев r_ЭЭ (эмиттера) и r_КК (коллектора). Последние, однако, в большинстве случаев несущественны.
Коллекторные характеристики I_К = y₁ (U_К ) БПТ в схеме с ОЭ имеют следующие отличия от аналогичных в схеме с ОБ: полностью расположены в первом квадранте, поскольку |U_КЭ | = |U_КБ | + U_Э ; менее регулярны, имеют значительно больший и неодинаковый наклон, заметно сгущаются при значительных токах; ток I_К при обрыве базы (I_Б = 0) намного больше тока I_К = I_К0 при обрыве эмиттера (I_Э = 0); входной ток I_Б может иметь не только положительную, но и небольшую отрицательную величину; имеют меньшее напряжение U_b пробоя. Входные характеристики I_Б = y₂ (U_Б ), по сравнению с аналогичными в схеме с ОБ, имеют другой масштаб токов; сдвинуты вниз на величину тока I_К0 , который протекает в базе при I_Э = 0; несколько более линейны; с увеличением напряжения |U_КЭ | сдвигаются вправо, в сторону бόльших напряжений U_Б .
Подстановкой I_Э = I_К + I_Б из выражения (8) вытекает аналитическая зависимость для семейства коллекторных характеристик I_К =y₁(U_К) БПТ в активном режиме в схеме с ОЭ:
,                                                                     (9)
где  – интегральный коэффициент передачи тока I_Б базы;
;
.
Минимальное значение I_К = I_К0 соответствует I_Б = -I_К0 . Поэтому в диапазоне I_Б = 0…-I_К0 БПТ в схеме с ОЭ управляется отрицательным входным током.
Уравнению (9) отвечает нелинейная модель БПТ в схеме с ОЭ (рис. 2). Она, как и предыдущая модель, не отражает сдвига входных характеристик вследствие эффекта Эрли, что несущественно в режиме большого сигнала.
Малосигнальная Т-образная модель БПТ в схеме с ОБ (рис.3, а) вытекает из нелинейной модели (см. рис.1, б). В ней исключен генератор постоянного тока I_К0 ; введено дифференциальное сопротивление r_К коллекторного пере-
хода; эмиттерный Д заменен дифференциальным сопротивлением r_Э; обратная связь по напряжению отражена генератором m_ЭКU_К ; коэффициент  является комплексной величиной; введены емкости С_Э и С_К переходов.
В общем случае дифференциальный коэффициент  передачи эмиттерного тока отличается от интегрального  и с учетом (4) имеет вид
.                                   (10)
Но эти отличия в большинстве случаев невелики, и на практике часто полагают .
Дифференциальное сопротивление эмиттерного перехода в активном режиме описывается выражением
 ,                                          (11)
из которого следует: при U_Э = 0 (I_Э = 0)            ( ).
Дифференциальное сопротивление

(А – постоянный коэффициент, зависящий от свойств Т) обусловлено эффектом модуляции толщины базы, который тем сильнее, чем меньше |U_К | и больше удельное сопротивление базы. В случае маломощных БПТ значения r_К лежат в пределах от сотен до тысяч килоом.
Коэффициент внутренней обратной связи по напряжению

(B > 0 – постоянный коэффициент, зависящий от свойств Т) характеризует влияние напряжения U_К на напряжение U_Э из-за модуляции толщины базы и имеет отрицательный знак, так как увеличение |U_К | уменьшает эмиттерное напряжение. Обычно параметр |m_ЭК| имеет малые значения порядка 10^–6…10^–4, что означает слабое смещение входныххарактеристик при изменении коллекторного напряжения. Иногда отрицательную обратную связь в БПТ отражают в модели не генератором m_ЭКU_К, а диффузионным сопротивлением r_Бд базы, включенным последовательно с ее объемным сопротивлением r_Б . При этом
.
В общем случае каждая из емкостей С_К , С_Э переходов состоит из диффузионной (С_Кд , С_Эд) и барьерной (С_Кб , С_Эб) составляющих. Учитывая, что в активном режиме эмиттерный переход смещен в прямом направлении, а коллекторный – в обратном, с допустимой погрешностью можно положить: С_Э = С_Эд ; С_К = С_Кб . Емкости С_Эд и С_Кб определяются так же, как в Д. Коллекторная емкость С_К , шунтируя большое сопротивление r_К , существенно влияет на работу Т, начиная с десятков килогерц. Наоборот, емкость С_Э обычно учитывают на частотах, превышающих десятки мегагерц.
Частотно-временные характеристики коэффициента a передачи, в основном определяемые динамическими свойствами коэффициента c переноса, задают комплексным коэффициентом  передачи тока в схеме с ОБ:
,                                                                                    (12)
где  – граничная частота коэффициента передачи тока в схеме с ОБ;
t_D – среднее время пролета носителей (см. подраз. 1.2).
Малосигнальная Т-образная модель БПТ в схеме с ОЭ (рис.3, б) вытекает         из соответствующей нелинейной модели (см. рис.2). В нее, в отличие от схемы с ОБ, входит дифференциальный коэффициент
передачи базового тока, который с учетом (11) равен
             .(1.21)
Его динамические характеристики задают присутствующим в модели комплексным коэффициентом , вытекающим из соотношений:
,                                                                                    (13)
где  – граничная частота коэффициента передачи тока в схеме с ОЭ.
В области высоких частот ( ) , где  – предельная частота коэффициента усиления тока, соответствующая значению . При этом в справочниках чаще приводят значения параметра , а не , что связано с бόльшим удобством измерения. Иногда дают значения параметра – максимальной частоты генерации (наибольшая частота, на которой способен работать Т в схеме автогенератора при оптимальной обратной связи). Приближенно , где  – постоянная цепи обратной связи, характеризующая частотные и усилительные свойства Т, его устойчивость к самовозбуждению. Параметры ( ) и  в формуле выражены соответственно в мегагерцах и пикосекундах.
В схеме с ОБ при заданном токе I_Э приращение выходного напряжения падает полностью на коллекторном переходе (сопротивлением r_Б пренебрегаем). В схеме с ОЭ при заданном токе I_Б приращение напряжения U_К распределяется между обоими переходами. В результате изменение тока I_К сопровождается равным изменением тока I_Э (рис.3, а, б). Учитывая это и полагая дополнительно С_К = 0, с помощью (12) приходим к операторному уравнению для приращений, откуда при  имеем
,                                       (14)
что на низких частотах соответствует . Аналогично определим коллекторную емкость в схеме с ОЭ. Для этого с целью упрощения положим r_К = ¥. Теперь для переходных процессов роль сопротивления r_К играет емкостное сопротивление  (в операторной форме). Составляя далее уравнение для приращений, находим
,                                                     (15)
что на низких частотах соответствует .
Таким образом, входящие в модель БПТ в схеме с ОЭ параметры  и  являются комплексными (операторными), что необходимо учитывать при анализе быстрых процессов. При этом, как следует из (14) и (15), в схемах с ОЭ и ОБ постоянная времени коллекторного перехода имеет одинаковое значение .
Исключительное значение для стабильности схем на БПТ имеет температурная зависимость I_К0 (T ), приводящая к смещению выходных и входных характеристик Т. Поведение функции I_К0 (T ) применительно к Д: она имеет экспоненциальный характер; температура удвоения составляет примерно 8 (5) ^оС для Ge (Si); у кремниевых транзисторов до температуры порядка 100 ^оС основную роль играет не тепловой ток, а ток термогенерации, который достаточно мал, что позволяет во многих случаях с ним не считаться. Аналогична Д и температурная зависимость U_Э (T) напряжения на эмит-терном переходе. При этом для кремниевых и германиевых Т значение температурного коэффициента e составляет примерно минус 2 мВ/град.
Помимо Т-образных на практике широко используются малосигнальные П-образные модели БПТ в схеме с ОЭ: основная и гибридная (схема Джиаколетто) (рис.4, а, б). В обеих моделях используются проводимости (комплексные  или активные g), а усилительным параметром является комплексная крутизна . Наиболее распространена и специфична для БПТ гибридная П-образная схема (см. рис. 4, б), в которой выделено сопротивление r_Б базы. Установим связь ее параметров с параметрами малосигнальной Т-образной модели (см. рис. 3, б).
Для выражения одних параметров через другие исключим сопротивление r_Б, одинаковое в обеих схемах, и составим 4 уравнения: приравняем друг к другу входные (базовые) и выходные (коллекторные) токи обеих схем при заданном входном напряжении и коротком замыкании на выходе, а затем базовые напряжения и коллекторные токи при заданном выходном напряжении и холостом ходе на входе (аналогично системе h-параметров). Тогда при дополнительном условии  и  получим:
,            ,
,
,                                                              (16)
где смысл параметров a, b, r_Э , r_К , , w_a , w_b , t_D и t_К пояснен выше.
Из полученных выражений вытекает: структура проводимости  соответствует параллельному соединению сопротивления 2r_К и емкости , поэтому  и ; структура проводимости  отвечает параллельному соединению сопротивления  и емкости , равной диффузионной емкости эмиттерного перехода. Кроме того, в гибридной П-образной модели, в отличие от Т-образной, частотная зависимость “сосредоточена” во входной цепи ( ), а крутизна зависит от частоты сравнительно слабо ( ).
Параметры основной П-образной модели нетрудно получить, учитывая сопротивление r_Б на входе. Но параметры этой модели зависят от частоты, что неудобно. Поэтому основная П-образная схема применяется редко: при анализе цепей с практически постоянной рабочей частотой.
В Т- и П-образных малосигнальных моделях внутренняя базовая точка Б^’ недоступна для подключения измерительных приборов. Поэтому в справочной литературе часто приводят параметры Т, измеренные со стороны внешних разъемов. При этом Т рассматривается в виде четырехполюсника с произвольной структурой, который в общем случае можно описать любой из шести систем уравнений, связывающих входные и выходные токи и напряжения. На практике больше применяются системы Z-, Y- и h-параметров (рис.5):
,   ,               ,
,  ,              .         (17)
Системы параметров равносильны, но в транзисторной технике по ряду причин используется смешанная h-система, где h₁₁ (h₂₁) – входное сопротивление (коэффициент прямой передачи тока) при коротком замыкании на выходе, а h₁₂ (h₂₂) – коэффициент обратной передачи напряжения (выходная проводимость) при холостом ходе на входе.
Задавая в Т-образной модели БПТ в схеме с ОБ ток I_Э и полагая напряжение U_К = 0, затем задавая напряжение U_К и принимая ток I_Э = 0, устанавливаем взаимосвязь ее параметров на низких частотах с системой h-параметров:
,                  ,
,                   ,
,                                  ,
,                              ,
.                                                             (18)
Аналогично устанавливается связь h-параметров с параметрами Т-образной модели БПТ в схеме с ОЭ:
,                  ,
,                       .(1.28)
Малосигнальная модель БПТ в системе h-параметров во многом подобна Т-образной и совпадает с ней для идеального одномерного Т (при r_Б = 0).

ЛИТЕРАТУРА
1.                Бытовая радиоэлектронная техника: Энциклопедический справочник/ Под ред. А.П. Ткаченко. – Мн.: Бел. Энциклопедия, 2005. – 832 с.
2.                Хохлов Б. Н. Декодирующие устройства цветных телевизоров. – 3-е изд., перераб и доп. – М.: Радио и связь, 2008. – 512 с.
3.                Ткаченко А.П., Хоминич А.Л. Повышение качества изображения и звукового сопровождения. Ч. 1: Тракты промежуточной частоты изображения и звукового сопровождения телевизионных приемников: Учебное пособие для студентов специальностей “Телекоммуникационные системы” “Радиотехника” и “Радиотехнические системы”: В 2-х ч.– Мн.: БГУИР, 2001.– 55 с.