Московский государственный технический

Университет им. Н.Э. Баумана
Калужский филиал

РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Равновесное состояние упругой системы называется устойчивым, если оно мало изменяется при малых возмущениях. Если остановится на случае прямолинейных, достаточно гибких и центрально загруженных стержней, то явление потери устойчивости состоит в следующем. При силах, не превышающих некоторой величины, называемой  критической силой, прямолинейное равновесное состояние является единственным и устойчивым. Однако, если сила больше критической, то прямолинейное равновесное становится неустойчивым и стержень переходит в криволинейное равновесное состояние – изгибается. Происходит бифуркация (раздвоение) равновесных форм. Величина критической силы для стержня, теряющего устойчивость в упругой стадии, определяется по формуле Эйлера:       
                                         p²EI_x
                           F_cr =  ¾¾¾¾   ,                                                               (1)
                                          (ml)²
где:
Е – модуль упругости;
I_x – минимальный момент инерции поперечного сечения стержня;
m - коэффициент приведения длины, зависящий от закрепления стержня;
l – длина стержня.
Формула Эйлера может использоваться в том случае, если потеря устойчивости происходит в упругой стадии, т.е. если критическое напряжение не превосходит предела пропорциональности:
                          s _cr= F_cr /A = p²E / l²  £ s_pr  ,                                               (2)
                                                                       ____
где: l = ml / i_x – гибкость стержня;  i_x = Ö I_x / A  - радиус инерции поперечного сечения; А – площадь поперечного сечения.
В 1899 г. русским инженером Ф.С.Ясинским был предложен способ расчёта сжатых стержней на устойчивость, состоящий в том, что расчёт на устойчивость заменяется расчётом на обыкновенное сжатие, но допускаемые напряжения при этом полагаются переменными, зависящими от гибкости:
                                  s^cr_adm = js_adm ;  j = s_cr / s_yc  ,                                      (3)
здесь  j  = j (l) - коэффициент снижения допускаемого напряжения; s_adm – допускаемое напряжение на сжатие.
За пределами применимости формулы Эйлера, т.е. для малых значений гибкости, величины коэффициента рассчитываются с учётом возникновения упруго- пластических деформаций. Разумеется, что  j  зависит не только от гибкости, но и от свойств материала. Для наиболее употребительных материалов составлены таблицы. Приведём такую таблицу для Ст.3, материала наиболее часто используемого для сжатых элементов конструкций.

Табл. 1

                          l                    j                      l                         j                                               
                                                  
                          0                  1.00                   110                    0.52
                        10                  0.99                   120                    0.45
                        20                  0.96                   130                    0.40
                        30                  0.94                   140                    0.36
                        40                  0.92                   150                    0.32
                        50                  0.89                   160                    0.29
                        60                  0.86                   170                    0.26
                        70                  0.81                   180                    0.23
                        80                  0.75                   190                    0.21
                        90                  0.69                   200                    0.19
                      100                  0.60                    ---                      ---
Для промежуточных значений  l  соответствующие им значения  m  определяются путём линейной интерполяции.
Для стержней, имеющих гибкость больше 200 (редко встречающийся в практике случай), коэффициент снижения допускаемых напряжений может быть определён по формуле (3) с учётом (2).
                   Возможны два типа задач.
1)Задано поперечное сечение сжатого стержня -  требуется найти усилие, которое может быть допущено, исходя из условия устойчивости:    N_adm=   = js_admA.

 

Пример 1. Определить нагрузку, которую можно допустить на ферму, исходя из устойчивости поясов АВ и СD (Рис.1). Поперечное сечение поясов выполнено из двух уголков 63´5; материал Ст.3, s_adm= 160 МПа.

                            F                                                                  10                         
                      B      
                                                                                                              x  
                                                                        1м
А            a=p¤6          С           a        D
Рис.1
Площадь поперечного сечения  А = 2×6,13 = 12,26см² ( ГОСТ 8509-72). Осью, относительно которой момент инерции минимален, является ось x. Очевидно, что радиус инерции сечения относительно оси x , будет равняться радиусу инерции одного уголка  i_x = 1,94см  (по сортаменту). Т.к. узлы фермы считаются шарнирными, то коэффициент приведения длины m = 1.Приведенная длина  ml = 1× 2м = 200см. Гибкость  l = 200 / 1,94 » 103,1.
По таблице 1 имеем:  j = 0.60 – ( 0, 08/10)×3,1 = 0,575.
Нормальная сила, которую можно допустить на стержень АВ равняется:
         N_adm= js_admA = 0,575×16кН/см²×12,26см² = 112,8 кН.
Свяжем между собой силу F и усилие N. 
                                     
        y                          åF_y = 0 Þ F/2 - N×Sin(p/6) = 0;  F = N;
                      N                      F_adm = N_adm = 112,8kH.
           a                   S
                                                 x 
            F/2         Рис.2 

2) Второй тип задач:  задана сила F – требуется подобрать размеры поперечного сечения. Можно записать:  A = F /(js_adm ), но  j  зависит от гибкости, следовательно, от радиуса инерции, т.е. опять от размеров поперечного сечения. Таким образом, круг замкнулся. Задача  может быть решена методом попыток и сводится, по сути, к последовательности  задач первого типа.

Пример 2. Подобрать размеры квадратного поперечного сечения для сжатой стойки (Рис.3). Сила F = 80кН.  Материал Ст.3 с s_adm= 160 МПа.
                                                            Разберёмся с геометрическими харак-
                                                                      теристиками  сечения: А = а²,  I_x = a⁴/12;           
                                                                                  ______                  ___
                                   F                          i_x =Ö I_x/A   = (1/ Ö12 )×a » 0,289a.   
                                                                 
                                                                                   Зададимся  некоторым  средним  значени-
            a                      l=0,5м           ем  коэффициента  снижения   допускаемого 
                                                          напряжения  j₁ = 0,5. Тогда:
                                                           по табл.1   l = 110 + 10×(0,02/0,07) = 112,9.    
                                                            Коэффициент  m  для данного случая зак-

                              Рис.3                     репления равняется 2.

Радиус инерции сечения  i_x = ml / l = 2×50/112,9 = 0,8857 см; сторона квадрата а = i_x/0,289 = 0,8857/0,289 = 3,06см;  площадь сечения  А = а² =  3,06² =  = 9,36 см².  На данное сечение можно допустиь усилие:
j₁s_adm A = 0,5×16кН/см²×9,36см² = 74,9 кН < 80кН = F, т.е.  сечение мало.
 Пусть  j₂ = 0.52;  l = 110;  i_x = 100/110 = 0,909см;  а = 0,909/0,289 =
= 3,15см;  А = 3,15² = 9,92 см²;  сечение воспринимает:
j₂s_admA = 0,52×16×9,92 = 82,5кН, что отличается лишь на 3%.
Обычно считается, что результат достигнут, если сила, которую воспринимает сечение, отличается от силы, действующей на стержень, не более чем на 5% в ту или другую сторону:
                              0,95F <  js_admA <  1,05F.
Округляя до более технологичного размера, примем а = 32мм. В последнем примере данных методических указаний мы покажем другой подход к организации попыток подбора, при котором  образуется  некоторый  сходящийся итерационный процесс.
Энергетический способ определения критических сил. Изложенные выше подходы, применимы тогда, когда условия закрепления стержня и способы приложения нагрузки простейшие [1]. В более сложных случаях интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси стержня достаточно громоздко и целесообразно воспользоваться приближённым энергетическим способом. Рассмотрим стержень центрально сжатый силой F (Рис.4). Стержень на рисунке условно показан шарнирно опёртым, но вопрос о граничных условиях оставим пока открытым.
                        y
                                            q                       D                            
                         v
       F                                                                              F             x 
 

                          z      dz              F_п     
                                             l
                                   
                                          Рис.4
Пусть сила F меньше эйлеровой критической силы. Если приложить к стержню некоторую малую поперечную силу F_п , то стержень изогнётся, но будет находится в устойчивом равновесном состоянии. Сжимающая сила F совершит при этом работу на перемещении D, которое можно найти следующим образом. Укорочение малого элемента длиной dz будет равно:
         dD = dz - dzCosq = dz(1 - Cosq) = 2dzSin²(q/2) » ½dzq² .
Учтём, что угол поворота равен первой производной от прогиба: q = v¢ , тогда перемещение точки приложения силы D найдётся:
                                          _l
                               D = ½ ò(v¢)²dz .
                                                                ⁰

Потенциальная  энергия изогнутого  стержня выразится

             _l    M²dz               _l
               U =   ò ¾¾¾¾   = ½ ò EI_x(v¢¢)²dz , здесь учтено, что M = EI_xv¢¢   
            ⁰      2EI _x                        ⁰ 
Изменение полной энергии стержня при малом изгибе будет складываться из потенциальной энергии деформации и изменения потенциала внешних сил на перемещении D.
                                        Э = U - F×D
Если  Э > 0, то состояние стержня устойчиво. Если же  Э < 0, т.е.  F×D > U, то сила производит работу большую, чем может накопиться в стержне в виде энергии упругой деформации. Избыточная работа идёт на сообщение кинетической  энергии, стержень приходит в движение и прогибается дальше, т.е. состояние его неустойчиво. Очевидно, что критическому состоянию соответствует случай 
                                       F_cr ×D = U , или
                          _{l                              l}
                F_cr×½ ò(v¢)²dz = ½×ò EI_x(v¢¢)²dz , откуда получим:
                         ^{0                             0}
                                         _l                     
                                         ò EI_x(v¢¢)²dz
                                         ⁰
                            F_cr =  ¾¾¾¾¾¾¾                                                      (4)
                                            _l
                                           ò (v¢)²dz
                                           ⁰                                                 
 
Для получения величины критической силы необходимо задаться формой изогнутой оси v = v(z), удовлетворяющей граничным условиям задачи. С математической точки зрения (4) является функционалом, т.е.отображением из множества функций определённого класса (дважды дифференцируемых и удовлетворяющих граничным условиям) в множество действительных чисел.
Пример 3. Найдём критическую силу для стержня, шарнирно опёртого    
                                     по обоим  концам  (Рис.5).  Точное решение в этом               
        F                           случае   известно:   F_cr  =  p²EI_x / l²  »  9,8696EI_x / l².
                                     Если  задаться   функцией   v  =  C×Sin(pz/l),   то
                                      получим  точное  решение.  Допустим,  что  мы
                               l      этого не знаемем и  попробуем  аппроксимировать
                  z                   изогнутую  ось полимиальной функцией. Возьмём
                                       для начала полином второй степени:
                    Рис.5
                                                            v = Az² + Bz + C                               (5)
Запишем граничные условия: 1) при  z = 0: v = 0;  2) при  z = l: v = 0.       Подставляя в (5), получим:
                                С = 0;   Al² + Bl = 0 Þ B = - Al.  
Дифференцируя (5) и учитывая полученные выражения для коэффициентов, имеем:
                             v¢ = A(2z – l);   v¢¢ = 2A.
Подставив в (4), имеем:
                                            _l
                                    4A² ò dz
                                           ⁰
                      F_cr  =   ¾¾¾¾¾¾ = 12EI_x / l².
                                       _l
                                 A² ò (2z – l )²dz
                                      ⁰                                                                 
Мы видим, что полученное значение критической силы отличается от точного решения, более чем  на 20%.
Известно, что чем выше степень аппроксимирующего полинома, тем выше точность решения. Аппроксимируем иэогнутую ось стержня полиномом четвёртой степени:
                     v = Az⁴ + Bz³ + Cz² + Dz  + E                                                   (6)
1)         при  z = 0:  v = 0;
2)         при  z = 0:  M = EI_xv¢¢ = 0 Þ  v¢¢ = 0;
3)         при  z = l :  v = 0;
4)         при  z = l :  M = 0 Þ v¢¢ = 0.
Возьмём производные от (6):
                                   v¢ = 4Az³ + 3Bz² + 2Cz + D; 
                                   v¢¢ = 12Az² + 6Bz + 2C.
Реализуем граничные условия, получив при этом систему из четырёх алгебраических уравнений.
1)                Þ Е = 0;  2) Þ  С = 0;  3) Þ Al⁴ + Bl³ + Dl = 0;  4) Þ 12Al² + 6Bz =0 Þ B = - 2Al , подставляя это в предыдущее уравнение, имеем: D = Al³.
Подставляя это в выражения для производных, получим:
                               v¢ = A(4z³ - 6lz² + l³);   v¢¢ = 12A(z² – lz).  
 
Подставив в (4),будем иметь:
                                       _l
                      144A²EI_x ò (z² – lz)²dz
                                                  ⁰
      F_cr =    ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾  = 168EI_x / (17×l²) »  9,8824EI_x / l² .
                             _l
                       A² ò (4z³ – 6lz² + l³)²dz
                            ⁰

Как видим, полученное решение практически совпадает с точным. Обратим внимание на тот факт, что приближённые решения всегда дают завышенные значения критических сил. Это происходит по той причине, что в приближённом решении стержень - система с бесконечным числом степеней свободы, заменяется более жёсткой системой с конечным числом степеней свободы.
Пример 4.  Найти критическую нагрузку для стержня,  показанного  на
                                             Рис.6. В этом случае значение  коэффициента
                                             приведения длины  неизвестно и нет возмож-
      F                                     ности непосредственно использовать для  вы-
                                             числения критической силы формулу (1). При-
                                             меним  энергетический способ.  Для  аппрок-
                           l                симации изогнутой оси стержня используем
                                              выражение  (6).   Граничные  условия   будут
                                              выглядеть:
1)                                                                                                                     при  z = 0:  v = 0;
2)                                                                                                                     при  z = 0:   v¢ = 0 (в заделке угол поворота
                    z              2l                          равен нулю);
                                                           3) при  z = l:    v = 0;
                                                           4) при  z = 3l:   M = 0 Þ v¢¢ = 0  ( на  верхнем
                                                               конце  стержня  изгибающий момент равен
            Рис.6                              нулю);
Выражения для производных см. стр.8. Воспользуемся граничными условиями:
1)         Þ Е = 0;  2) Þ D = 0;  3) Þ 4l²×A +2l×B + C = 0;  4) Þ 54l²×A + 9l×B +
+ C = 0,  решая относительно А систему из двух последних уравнений:                                                                                                                                                                 9l×B + C = - 54l²×A,
                     2l×B + C =  - 4l×A ,
      получим:  B = (- 50/7)×Al;   C = (72/7)×Al.
Первая и вторая производные от прогиба запишутся:
v¢ = 2A[2z³ – (75/7)lz² + (72/7)l²z],  v¢¢ = 12A[z² – (25/7)lz + (12/7)l²].

  Подставив в (4), вычислим критическую силу

                                     _3l
                     144A²EI_x ò [z² – (25/7)zl + (12/7)l²]²dz
                                     ⁰
          F_cr = ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾   » 1,09EI_x / l² .
                                _3l
                         4A² ò [2z³ – (75/7)z²l + (72/7)zl²]²dz
                                ⁰
Пример 5.   Для сжатой стойки,  показанной  на  Рис.7,  используя энер-
                                                гетический   способ   определить    коэффи-
                z                              циент  приведения  длины  m .    Подобрать
                                                размеры   поперечного  сечения  стойки. Си-
                                                ла  F =200кН. Материал Ст.3: s_adm=160 МПа.
 D              F                            d/D = a = 0,8;  l = 3м. Использовать методи-
                                                ку расчёта  по  коэффициенту  снижения  до-
      d                          l             пускаемых напряжений.
                   0,6l                                            Решение
       z                                           Запишем граничные условия:
1)                                                                                                                              при  z =0:  v = 0;
2)                                                                                                                              при  z = 0:  v¢¢ = 0;
3)                                                                                                                              при  z = l :   v = 0;
4)                                                                                                                              . при  z = l :   v¢¢ = 0
                       Рис.7                                Подставим это в аппроксимирующий полином (6) и во вторую производную от него. В результате получим те же самые выражения для  v¢ и  v¢¢, что и в примере 3. Различие будет состоять лишь в том, что в выражении для критической силы интеграл, стоящий в знаменателе придётся брать в пределах от 0 до 0,6l. Это легко понять, если вспомнить, что знаменатель в формуле (4) представляет собой удвоенное перемещение точки приложения силы, а оно зависит от укорочения части стержня, лежащей ниже сечения, в котором приложена сила.
                                       _l
                      144A²EI_x ò (z² – lz)²dz
                                                  ⁰
      F_cr =    ¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾  » 19,53EI_x / l² .
                         _0,6l
                                 A² ò (4z³ – 6lz² + l³)²dz
                                      ⁰
Найдём коэффициент приведения длины. Для этого представим выражение для критической силы:
                 F_cr = 19,53EI_x / l² = p²EI_x / (p²/ 19,53)×l².
Сопоставляя полученный результат с формулой Эйлера (1), получим:
                                 m² = p² / 19,53 Þ m » 0,711.
Приведенная длина стержня  ml = 0,711×300 » 213см.
Подберём размеры поперечного сечения. Определим геометрические характеристики. Площадь сечения:
 A = pD²(1 - a²)/4 » 0,785D²(1 – 0,8²) » 0,283D².
Момент инерции:
                            I_x = pD⁴ (1 - a⁴) / 64.
Радиус инерции:
                _____                  ______                 _______
       i_x = Ö I_x / A  = 0,25 DÖ 1 +  a²  = 0,25DÖ 1 + 0,8²  » 0,32D.
Для подбора размеров сечения используем следующий сходящийся алгоритм: зададимся некоторым средним значением коффициента j :
j₁ = 0,5, тогда площадь А = F / j₁s_adm = 200kH/ (0,5×16kH/ см² =25см²;
                                                  _______       _______
диаметр сечения равен  D = Ö A/0,283 = Ö 25/0,283 = 9,4см;
радиус инерции  i_x = 0,32D = 0,32×9,4 = 3,01см;
гибкость  l = ml / i_x = 213/3,01 = 70,8;
коэффициент приведенной длины, соответствующий этой гибкости
                 j¢₁ = 0,81 – (0,06/10)×0,8 = 0,8052 (табл.1);
следующее значение j примем равным среднему арифметическому  из двух предыдущих:
j₂ = (j₁ + j¢₁)/2 = (0,5 + 0,8052)/2» 0,653 и повторим расчёт:
                                                               __________
А =  200/(0,653×16) = 19,14см²;  D = Ö 19,14/0,283  = 8,22см;  i_x = 0,32×8,22
= 2,63см;  l = 213/2,63 = 81;  j¢₂ = 0.75 - (0,06/10)×1 = 0,744;
j₃ = (0,653 + 0,744)/2 = 0,7;  А = 200/(0,7×16) = 17,86см²;
          __________ 
D = Ö 17,86/0,283  = 7,94см;  i_x = 0,32×7,94 = 2,54см;  l = 213/2,54 = 83,9
j¢₃ = 0,75 – (0,06/10)×3,9 = 0,727; разница между двумя соседними значениями составляет:
                     100×(0,727 – 0,7)/ 0.7 = 3,9% < 5%.
Расчёт можно считать законченным. Требуемый размер D = 7,94см, но из конструктивных соображений примем  D = 80мм.

Список литературы
1.         Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. – 1986.- 512с.
2.         Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. – 1979. – 744с.