План

• Схеми застосування інтеграла до знаходження геометричних і фізичних величин

• Обчислення площі плоскої фігури

• Обчислення площі в декартових координатах

• Площа криволінійного сектора в полярних координатах

ЗАСТОСУВАННЯ ВИЗНАЧЕНОГО ІНТЕГРАЛА

1. Площа  плоскої фігури

1.1. Обчислення площі в декартових координатах

В п.9.2. мова йшла про те, коли розглядається площа криволінійної трапеції, обмеженої віссю кривою   причому  на відрізку  може бути як додатною, так і від’ємною, то площа такої криволінійної трапеції обчислюється за формулою

                                                        (10.1)

Нехай у прямокутній системі координат фігура   (рис.10.1) обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною . Її довжина дорівнюватиме . Тоді площа смужки .

Звідси Отже,

                                                      (10.2)

                 Рис.10.1                                       Рис.10.2         

            Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

                                          (10.3)

Нехай рівняння (10.3) визначають деяку функцію  на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

            Зробивши заміну в цьому інтегралі  і враховуючи, що  одержимо

                                        (10.4)

1.2. Площа криволінійного сектора в полярних координатах

Нехай криві, що обмежують фігуру,  задані рівнянням в полярній системі координат і відрізками двох полярних радіусів (рис. 10.2) .Знайдемо площу фігури якщо:  ,

            У фігурі  виділимо сектор з центральним кутом  Вважатимемо, що дуги, які обмежують сектор , є дугами кіл радіусів . Очевидно, що площа сектора  між дугами  i  дорівнює  Інтегруючи, одержимо            

                                                          (10.5)

Приклад 1.

 Знайти площу фігури, обмеженої  гіперболою , віссю  і прямою, яка з’єднує точку , що лежить на гіперболі, з початком координат.

Р о з в ’ я з о к. З рівняння гіперболи маємо

Щоб знайти площу заштрихованої на рис.10.3  фігури, досить знайти площу фігури   , а потім від площі трикутника    відняти площу фігури .

Отже, .

Найкращим методом для обчислення цього інтеграла є інтегрування частинами. В результаті інтегрування дістанемо

Оскільки

то .

            Цікаво, що цю площу можна записати у вигляді

                Рис.10.3                                     Рис.10.4

,

де  - функція, обернена відносно функції .

Пропонується переконатися в цьому самостійно.

Приклад 2. Знайти площу фігури, обмеженої кривою

.

Р о з в ’ я з о к. Перейшовши в цьому рівнянні до прямокутної системи координат, легко встановити, що відповідна крива є  центрально-симетричною відносно системи координат. Крім того, із заданого рівняння видно, що  , тобто крива повністю знаходиться всередині кола радіуса  з центром в початку координат, що дотикається вона до кола лише в точках , проходить

 через початок координат при , дотикаючись до прямих . Отже графік заданої функції має вигляд чотирипелюсткової троянди (рис. 10.4). Очевидно, що для обчислення площі досить знайти площу заштрихованої фігури і потім її помножити на 8. Отже,