Пошукова робота

на тему:

Задачі, що приводять до похідної. Визначення похідної, її геометричний і механічний зміст. Рівняння дотичної і нормалі до графіка функції. Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

План

• Задачі, що приводять до похідної.

• Означення похідної.

• Геометричний та механічний зміст похідної.

• Рівняння дотичної і нормалі до графіка кривої.

• Частинні похідні функції декількох змінних, їх геометричний зміст.

ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ. ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ  ТА ДЕКІЛЬКОХ ЗМІННИХ

1. Вступні відомості

Нехай матеріальна точка рухається прямолінійно, а закон руху її задається деякою функцією

                                                                          (6.1)           

             1. Поставимо задачу: знайти швидкість точки в момент часу .

Нехай в деякий момент часу  точка займала положенням   (рис.6.1).Через проміжок часу  точка займе положення  і пройде шлях .

            Відношення

                                                (6.2)

називається середньою швидкістю руху точки.

            Означення.  Швидкістю  точки в момент часу  називається границя середньої швидкості  на проміжку часу  , коли  прямує до нуля:

                                    (6.3)

            Зазначимо, що формула дає змогу знайти швидкість у момент часу  тільки тоді , коли існує границя цього відношення.

                                               Рис.6.1

2. Задача про дотичну до кривої. З поняттям дотичної до кривої в даній точці ми зустрічалися при вивченні кола за шкільною програмою, за якою давалося означення дотичної до кола як прямої лінії, що має з колом одну спільну точку. Проте це означення є окремим випадком. Його не можна поширити, наприклад, на незамкнуті криві. Тому треба дати загальне означення дотичної, яке б підходило як до замкнутих, так і до незамкнутих кривих.

Нехай маємо деяку довільну криву (рис.6.2, 6.3). Візьмемо на цій кривій точки  та  і через них проведемо пряму , яку називатимемо січною. Якщо точка  переміщатиметься вздовж кривої, то січна  повертатиметься навколо . Нехай , рухаючись вздовж кривої, наближається до точки , тоді довжина хорди  прямує до нуля. Якщо при цьому й значення кута  прямує до нуля, то пряма  називається граничним положенням січної .

                            Рис.6.2                                    Рис.6.3

Означення.  Дотичною до кривої  в точці  називається граничне положення  січної , якщо точка  прямує вздовж кривої до злиття з точкою .

            Зауважимо, що яким би чином точка  не наближалася по кривій до точки , січна  повинна при цьому наближатися до того самого граничного положення (до тієї самої прямої). Тільки в цьому випадку кажуть, що в точці  крива має дотичну. Граничне положення січної може не існувати.

            Із рисунка (6.2) видно, з якого б боку точка  по кривій не рухалася б до точки , січна , обертаючись навколо точки , при цьому наближається до тієї самої прямої .    Якщо січна  наближається до різних прямих (рис.6.3), залежно від того, з якого боку , то кажуть, що в даній точці

дотичної до кривої не існує. Так дотична до кривої  в точці  не існує, бо коли точка  і знаходиться справа від , то січна  наближається до прямої , а коли  і знаходиться зліва, то січна  наближається до прямої .

            Розглянемо випадок, коли крива задана в декартовій системі координат рівнянням:

                                ,                                          (6.4)

де - неперервна функція на деякому проміжку .

            Нехай графік цієї функції (крива ) має вигляд, зображений на рис.6.4. Візьмемо на кривій точку  і застосуємо наведене вище означення дотичної до цієї кривої в точці . Для цього на кривій візьмемо точку . Позначимо її координати через (відповідно прирости  і , вони можуть бути і від’ємними числами). Через точки  і

Рис.6.4

проведемо січну  і продовжимо її до перетину з віссю . Кут, який утворює січна  з додатним напрямом осі , позначимо через . Тоді

                                           .                                  (6.5)

Нехай точка  прямує вздовж кривої до злиття з точкою . Тоді координати точки   наближаються як завгодно близько відповідно до координат точки ,

Тобто

           , .                     (6.6)

            Із співвідношень (6.6) випливає, що  і , якщо точка .

Нехай , тоді й  (внаслідок неперервності функції , а отже, точка ). Припустимо, що розглядувана крива в точці  має дотичну .

            Нехай , Тоді точка  наближається по кривій до злиття з точкою , а січна , обертаючись навколо точки , наближатися до свого граничного положення - прямої , яка згідно з припущенням, і є в цьому випадку дотичною до кривої в точці .

            Продовжимо дотичну  до перетину з віссю  і позначимо кут, який утворює ця дотична з додатним напрямом осі  через . Тоді кутовий коефіцієнт дотичної дорівнює . З другого боку, якщо , то кут  прямує до кута .

Отже, внаслідок неперервності тангенса , проте . Тому приходимо до такого співвідношення:

                                 .                                  (6.7)

Ми довели: якщо крива , де - неперервна на проміжку  функція, має в точці  дотичну

                                       ,                       (6.8)

то кутовий коефіцієнт дотичної визначається співвідношенням

                                    .                         (6.9)

            Досить важливі задачі з механіки, фізики, геометрії можна розв’язувати за допомогою граничного переходу у відношенні  при , тобто за допомогою границі

                                                                                         (6.10)

Тому доцільно вивчити цю границю, зокрема вказати способи її обчислення. При цьому треба величини  і  розглядати абстрактно, не вкладаючи в них конкретного змісту, тоді й границя (6.10) (в математиці називається похідною) буде абстрактною величиною.

2. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної

            1. Нехай функція  задана на деякому інтервалі . Візьмемо довільну точку  і надамо  довільного приросту  (число  може бути як додатнім, так і від’ємним), але такого, щоб точки  і належали інтервалу . Обчислимо в точці  приріст функції :

.

            Означення. Якщо існує границя відношення приросту функції  до приросту аргументу  за умови, що  прямує до нуля, тобто

,

то ця границя називається похідною від функції  в точці

                             .                         (6.11)

Для похідної застосовують і такі позначення:  або  (Лейбніц);  або  (Коші). У подальшому користуванні позначенням(6.11), яке вперше запропонував французький математик Лагранж.

            Якщо функція  має похідну в кожній внутрішній точці  проміжку , то похідну позначатимемо  або, що те саме, .

            Таким чином, якщо - фіксована точка проміжку , то похідна , якщо вона існує, є число. Якщо похідна існує в кожній точці , то  є функція від .

            2. Легко з’ясувати механічний зміст похідної, а саме величина швидкості  в даний момент часу  дорівнює похідній від пройденого шляху  по часу , тобто , або, якщо , то .

            3. Геометричний зміст похідної. Нехай  і - координати точки, взяті на кривій, яку задано рівнянням . Тоді похідна  дорівнює кутовому коефіцієнту  дотичної, проведеної до кривої в точці з координатами .

            4. Правило знаходження похідної. Щоб знайти похідну від функції  у точці , треба:

1) значенню надати довільного приросту , тобто ввести до розгляду точку ;

2) знайти приріст  функції у точці ;

3) знайти відношення

;

4) знайти границю відношення

.

            Якщо ця границя існує то вона й дорівнює похідній .

Зауважимо, що коли похідну треба знайти у будь-якій точці , то правило залишається те саме, тільки замість всюди ставимо .

3. Частинні похідні та їх геометричний зміст

1.      Нехай в деякій області  задано функцію .

Розглянемо відношення частинного приросту

функції  по змінній  до приросту  цієї змінної

Границя даного відношення при , прямуючому до нуля, якщо така існує, називається частинною похідною (першого порядку) функції

Отже

                                (6.12)

Аналогічно означається частинна похідна

від функції  по :

                                (6.13)

            Означення. Частинною похідною функції від кількох змінних по одній із цих змінних називається границя відношення відповідного частинного приросту функції до приросту розглядуваної незалежної змінної при умові, що останній прямує до нуля.

2. Для функції  з’ясуємо геометричний зміст її частинних похідних (рис.6.5).

Покладемо , тоді плоску криву , яка є перетином поверхні  відповідною площиною, паралельною координатній площині . Нехай - дотична до кривої в точці  і - кут, утворений цією дотичною з додатним напрямом осі .На основі геометричного змісту звичайної похідної маємо

.

                                          Рис.6.5

Аналогічно, якщо  є перетин поверхні  площиною  і - кут, утворений з віссю  дотичною  в точці  до кривої , то