Міністерство освіти України

Коломийське В П У-17

Реферат

На тему: Формула Ньютона – Лейбніца.

Учня групи № 15

Лінькова А.М.

Коломия 2002р.

Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x, y = x² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється.

Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням.

.

Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що

)

(

,





b

a

dx

x

f

S

що

Виберемо довільну точку x є [ a; b]і проведемо через

неї пенпендикуляр хК до осі Ох. Площа фігури а А К х

змінюється зі змінною х. Позначемо цю функцію че-

рез S (x) і покажемо, що існує її похідна причина, при-

чому S΄(x)=ƒ(x), де y=ƒ(x) – підінтегральна функція,

графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше

кажечи, покажемо, що S (x) є первісною для ƒ(x).

Надамо змінній x приросту Δx, вважаючи ( для спрощення міркування), що Δx > 0. Тоді й фенкція S (x) набуде приросту ΔS (x). У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку[ a; b]функція y=ƒ(x )досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y=ƒ(x ) є неперервною на відрізку[x,x+Δx], то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже,

m Δx < Δ S (x) < M Δx

Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо

За непервністю функції y=ƒ(x)

lim m =lim M = ƒ(x)

тобто

x

f

x

S

то

x

S

x

x

S

x

x

f

S

x

S

x

тоді

),

(

)

(

),

(

)

(

0

lim

).

(

)

(

0

lim



























Δx→0 Δx→0

Оскільки

Але

функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ).

Позначимо через F(x)будь-яку первісну для функції y=ƒ(x ). За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C. Тому

S(x) = F(x)+ C. (1)

При x=a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A, тому S(x) = 0.

Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S(x) число 0, одер-жимо C= - F(a). Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо

S(x) = F(x)-F(a). (2)

Коли x=b, то площа криволінійної трапеції дорівнює числуS=S(b). Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд

S(b) = F(b)-F(a).

Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює

b

значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що

a

b

∫ ƒ(x) dx = F(b)-F(a). (3)

a

b

a

x

)

(

Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку[a;b] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x=b i x=a.

F

Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так:

b

b

x

F

dx

x

f

)

(

)

(





a

a

Розвязання роглянутих раніше двох задач про площі трикутника і фігури, обмеженої параболою, значно спрощується, якщо використати формулу Ньютона – Лейбніца. Справді,

2

2

2

0

2

k

k

x

xdx

OAB

S

k

o

k

o















(кв. од.);

0

3

3

2

2

k

k

x

dx

x

OAB

S

k

k













3

3

3

o

o

(кв. од.).

П р и к л а д 3. Обчислимо за формулою

Ньютона – Лейбніца площу фігури,

обмеженої зверху синусоїдою y=sin x,

2

4









x

i

x

знизу – віссю Ох, а з боків – прямими

.

2

2

2

2

0

4

cos

2

cos

4

2

cos

sin

2

4































































x

dx

x

S

Розв’язання:

( кв. од.).









































,

.

3

.

,

.

2

.

1

dx

x

dx

x

f

dx

x

f

dx

x

f

k

dx

x

f

k

dx

x

dx

x

f

dx

x

x

f

b

a

c

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

































Запишемосимволічно основні властивості інтеграла, які випливають із властивостей первісної та формули Ньютона – Лейбніца. Їх неважко довести, користуючись означенням інтеграла:

k

.

R



де

тобто якщо відрізок[a;b]розбито на два

в









dt

t

f

k

dx

p

kx

f

p

kb

p

ka

b

a

,

1

.

4













ідрізки точкою с, то інтеграл на відрізку[a;b]дорівнює сумі інтегралів на від- різках[a;b] i [a;c].

.

,

R

k

R

p





де

Доведіть самостійно перші три властивості. Останню иластивість доведен-но в курсі математичного аналізу.





4







3

cos

dx

x

x

Приклад 4. Обчислити

0

Розв’язання:









2

2

dx

x

2

Приклад 5. Обчислити

1

Розв’язання:

dx

x













2

4

sin









4

3

Приклад 6. Обчислити



Розв’яззати: