Пошукова робота на тему:

Основні поняття математичного програмування. Побудова моделі задачі лінійного програмування

 

1. Мета і предмет математичного програмування.

Математичне програмування – складова частина прикладної математичної дисципліни «Дослідження операцій». До інших основних розділів цієї дисципліни відносяться теорія марковських випадкових процесів, теорія масового обслуговування, теорія ігор, методи сітьового планування. Мета дослідження операцій полягає в тому, щоб виявити оптимальний (найкращий) спосіб дій при розв’язанні задач керування системами, зокрема – економічними. Предметом вивчення математичного програмування є задачі пошуку оптимальних управлінських рішень, що математично зводяться до задач знаходження умовного екстремуму функції багатьох змінних.

Назва дисціпліни походить від англійського “Programing”, що перекладається як процес пошуку найкращої програми (плану) дій. Слово “математичне” вказує на те, що такий пошук має проводитись із застосуванням математичних методів.

Оскільки математичні методи не можуть застосовуватися безпосередньо до досліджуваного об'єкта, необхідною є побудова адекватної цьому об’єкту математичної моделі. Під математичною моделлю об'єкта (явища, системи) будемо розуміти деяку штучну систему (фізичну або абстрактну), що спрощено відбиває структуру й основні закономірності розвитку реального об'єкта так, що її вивчення подає інформацію про стан і поведінку самого досліджуваного об'єкта.

2. Загальна постановка задачі математичного програмування (ЗМП).

Загальна модель задачі математичного програмування має такий вигляд:

 У структурі моделі (1.1) можна виділити 3 елементи:

1)    Набір керованих змінних x₁, x₂, ... x _n, значення яких підлягають оптимізації. Різні допустимі комбінації значень змінних відповідають можливим розв’язкам задачі.

2)    Цільова функція z (x₁, x₂, ... x _n) - функція, що виражає залежність прийнятого критерію оптимальності від керованих змінних.

Критерій оптимальності є мірою наближення розв’язку до поставленої мети. В економічних задачах, як правило, таким критерієм виступає показник ефективності функціонування системи (наприклад, прибуток від реалізації продукції, продуктивність праці, таке інше) або показник витрат. Слід зазначити, що одній меті можуть відповідати декілька критеріїв оптимальності (багатокритеріальна задача); в цьому разі цільова функція має враховувати всі виділені критерії.

3)    Умови або обмеження g (x₁, x₂, ... x _n), що накладаються на значення змінних або на співвідношення між ними.

3. Коротка класифікація моделей МП.

Основними ознаками, за якими моделі математичного програмування поділяють на класи, є: характер функцій у складі моделі, тип змінних, врахування фактору часу та випадкових факторів 

В залежності від характеру функцій, що входять до складу моделі, задачі МПможуть бути лінійними або нелінійними. Якщо цільова функція іфункції всіх обмежень моделіє лінійними, то дана задача являє собою задачу лінійного програмування (ЗЛП). В інших випадках, якщо хоча б одна функція в складі моделі є нелінійною, маємо справу із задачею нелінійного програмування (ЗНЛП). Зазначимо, що для ЗЛП розроблені універсальний і ціла низка часткових методів розв’язання. Навпаки, лише незначна частина ЗНЛП (а саме, задачі опуклого програмування) може бути ефективно розв’язанана частковимиметодами. Оскільки в даному курсі будуть розглядатись тільки лінійні оптимізаційні моделі, то має сенс представити загальний вид задачі лінійного програмування, а саме:

Z= C₁x₁, C₂x₂, … C_nx_n max (min)

  (1.2)

За типом змінних розрізняють задачі МП з неперервними та дискретними змінними. Останні створюють окремий клас задач дискретного програмування, підкласом якого є задачі цілочисельного програмування. 

За фактором часу задачі математичного програмування поділяють на статичні та динамічні.

Нарешті, в залежності від того, якими є параметри моделі, - постійними чи імовірнісними величинами, - розрізняють ЗМП детерміновані та стохастичні.

Коротка класифікація моделей математичного програмування представлена на рис. 1.1. 

 

 Рис. 1.1. Класифікація моделей математичного програмування.

 

4. Задача лінійного програмування як задача розподілу обмежених ресурсів.

Зауважимо, що задача ЛП у багатьох випадках виявляється асоційованою із задачею розподільчого типу, яка спрямована на пошук найбільш вигідного способу розподілу обмежених ресурсів за декількома видами виробничої діяльності. У сформульованій вище задачі (1.2) представлено п видів виробничої діяльності, інтенсивності використання котрих (шукані величини) скаладають x₁, x₂, … x_n . Для здійснення усіх видів виробничої діяльності є в наявності т видів ресурсів, можливі обсяги споживання яких обмежені значеннями b₁, b₂, …, b_m. Витрати і-го ресурсу на одиницю продукції j-го виду виробництва дорівнюють a_ij. Тому сума , яка являє собою загальний обсяг і-го ресурсу, що використовується n видами виробництва, не може перевищувати величини b_i.

Структура цільової функції z відбиває внесок кожного виду виробничої діяльності в загальний результат, У випадку максимізації величинаC_j являє собою прибуток від j-го виду виробничої діяльності на одиницю відповідної продукції, а у випадку мінімізації C_j характеризує питомі витрати. Зауважимо, що «корисність» деякого виду виробничої діяльности не можна встановити тільки за значенням відповідного коефіцієнта цільової функції, оскільки обсяг споживання обмежених ресурсів також є важливим чинником. Оскільки усі види виробничої діяльності, подані в моделі, претендують на використання обмежених ресурсів, відносна корисність деякого виду виробництва (у порівнянні з іншими видами виробничої діяльності) залежить як від величини коефіцієнта цільової функції с_j, так і від інтенсивності споживання ресурсів a_ij. Тому можлива ситуація, коли через занадто великі витрати обмежених ресурсів деякий j-й вид виробничої діяльності, що характеризується високим прибутком, використовувати недоцільно (тобто  в оптимальному розв’язку відповідна змінна виявиться небазисною).

 

5. Побудова моделі задачі лінійного програмування.

Приклад 1.1.  Для виробництва фарб двох видів підприємство використовує два види сировини: А та Б. Норми витрат та максимальні добові витрати сировини кожного виду, а також питомий прибуток від продажу 1т фарби кожного виду наведені в табл. 1.1.

Таблиця 1.1

 

Вивчення ринку збуту виявило, що добовий попит на фарбу другого виду ніколи не перевищує попиту на фарбу першого виду більше, ніж на 1 т, а попит на фарбу другого виду не буває більшим 2 т на добу. Яку кількість фарби кожного виду має виробляти підприємство, щоб сумарний прибуток від реалізації був максимальним?

Для прикладу, що розглядається, математична модель матиме наступну структуру:

Змінні: x₁, x₂ – добовий обсяг виробництва фарби, відповідно першого та другого видів, у тоннах.

Цільова  функція: Позначивши загальний прибуток через Z, можна подати цільову функцію у вигляді такої формули:

Z= З x ₁+2 x ₂  max

Обмеження: В даній задачі передбачено два види обмежень: на запас сировини та на обсяг можливого збуту. Крім того, неявне обмеження полягає в тому, що обсяги виробництва продукції не можуть приймати від’ємні значення. Таким чином, щоб виключити недопустимі розв’язки, будемо вимагати виконання умов невід’ємності змінних.

В цілому, математичну модель можна записати наступним чином. Визначити добові обсяги виробництва (x₁ та x₂ ) фарби 1 і фарби 2 (у тонах), такі, що забезпечать максимум сумарного прибутку:

Z= 3x₁+2x₂  max (цільова функція)

при додержанні обмежень:

Дана модель є лінійною, оскільки всі функції, що містяться в ній (обмеження й цільова функція), лінійні. Лінійність  передбачає наявність у функції двох властивостей: пропорційності та адитивності.

1. Пропорційність означає, що внесок кожної змінної до цільової функції та загальний обсяг споживання ресурсів є прямо пропорційними величині цієї змінної. Якщо ж, наприклад, підприємство надасть покупцеві знижку, продаючи фарбу першого виду при обсязі закупівлі вище 2 т по ціні на 0,5 тис. г.о. меншій, то питомий прибуток (коефіцієнт цільової функції при x₁) дорівнюватиме 3 тис. г.о. при x₁ 2 т і 2,5 тис. г.о. при x₁2. Пропорційність між прибутком підприємства та величиною x₁ у цьому випадку порушиться.

2. Адитивність полягає в тому, що цільова функція являє собою суму внесків від різних змінних. Аналогічно ліва частина кожного обмеження – це сума витрат, в якій кожна складова є пропорційною величині відповідної змінної. Якщо, наприклад, фірма виготовляє два конкуруючих товари, і збільшення збуту одного з них сприяє зниженню обсягів реалізації другого, то модель не матиме властивості адитивності.

Підсумовуючи все сказане в даному параграфі, зауважимо, що лінійне програмування являє собою теоретичний апарат модельного дослідження, спрямованого на відшукання найкращого способу розподілу обмежених ресурсів за декількома взаємозалежними по меті і використанню ресурсів видами виробничої діяльності. ЛП знайшло широке застосування при розв’язанні багатьох практичних задач організаційно-економічного керування.